Ejercicios de derivadas e integrales - UV

1 Ejercicios de derivadas e integralesEste material puede descargarse ~montes/ d Estad stica i Investigaci o OperativaUniversitat de Val`enciaDerivadasReglas de derivaci onSumaddx[f(x) +g(x)] =f (x) +g (x)ddx[kf(x)] =kf (x)Productoddx[f(x)g(x)] =f (x)g(x) +f(x)g (x)Cocienteddx[f(x)g(x)]=f (x)g(x) f(x)g (x)g(x)2ddx{f[g(x)]}=f [g(x)]g (x)Regla de la cadenaddx{f(g[h(x)])}=f (g[h(x)])g [h(x)]h (x)ddx(k) = 0ddx(xk) =kxk 1ddx[f(x)k] =kf(x)k 1f (x)Potenciaddx( x) =ddx(x1/2) =12 xddx[ f(x)] =f (x)2 f(x)ddx(1x)=ddx(x 1) = 1x2ddx[1f(x)]= f (x)f(x)22 Reglas de derivaci on (continuaci on)ddx(sinx) = cosxddx[sinf(x)] = cosf(x)f (x)Trigonom etricasddx(cosx) = sinxddx[cosf(x)] = sinf(x)f (x)ddx(tanx) = 1 + tan2xddx[tanf(x)] = [1 + tan2f(x)]f (x)ddx(arcsinx) =1 1 x2ddx[arcsinf(x)] =f (x) 1 f(x)2 Funciones de arcoddx(arc cosx) = 1 1 x2ddx[arc cosf(x)] = f (x) 1 f(x)2ddx(arctanx) =11 +x2ddx[arctanf(x)] =f (x)1 +f(x)2ddx(ex) =exddx(ef(x)) =ef(x)f (x)Exponencialesddx(ax) =axlnaddx(af(x)) =af(x)lnaf (x)ddx(lnx) =1xddx(lnf(x)) =f (x)f(x)Logar tmicasddx(lgax) =1x1lnaddx(lgaf(x)) =f (x)f(x)1lna3 Ejercicios de las tangentes de los angulos que forman con el eje positivo de lasxlas l neastangentes a la curvay=x3cuandox= 1/2 yx= 1, construir la gr afica y representarlas l neas a) 3/4,b) las tangentes de los angulos que forman con el eje positivo de lasxlas l neastangentes a la curvay= 1/xcuandox= 1/2 yx= 1, construir la gr afica y representarlas l neas a) -4,b)

2 La derivada de la funci ony=x4+ 3x2 = 4x3+ la derivada de la funci ony= 6x3 = 18x2 la derivada de la funci ony=x5a+b x2a =5x4a+b 2xa la derivada de la funci ony=x3 x2+ =3x2 la derivada de la funci ony= 2ax3 x2b+ = 6ax2 la derivada de la funci ony= 6x72+ 4x52+ = 21x52+ 10x32+ la derivada de la funci ony= 3x+3 x+ = 32 x+133 x2 la derivada de la funci ony=(x+1) =3(x+1)2(x 1) la derivada de la funci ony=3 x2 2 x+ =2313 x 1 la derivada de la funci ony=ax23 x+bx x 3 x =53ax23 32bx 52+16x la derivada de la funci ony= (1 + 4x3)(1 + 2x2).Soluci = 4x(1 + 3x+ 10x3). la derivada de la funci ony=x(2x 1)(3x+ 2).Soluci = 2(9x2+x 1). la derivada de la funci ony= (2x 1)(x2 6x+ 3).Soluci = 6x2 26x+ Hallar la derivada de la funci ony=2x4b2 =4x3(2b2 x2)(b2 x2) la derivada de la funci ony=a xa+ = 2a(a+x) la derivada de la funci onf(t) =t31+ (t) =t2(3+t2(1+t2) la derivada de la funci onf(s) =(s+4)2s+ (s) =(s+2)(s+4)(s+3) la derivada de la funci ony=x3+1x2 x =x4 2x3 6x2 2x+1(x2 x 2) la derivada de la funci ony= (2x2 3) = 8x(2x2 3).)

3 La derivada de la funci ony= (x2+a2) = 10x(x2+a2) la derivada de la funci ony= x2+ =x x2+ la derivada de la funci ony= (a+x) a =a 3x2 a la derivada de la funci ony= 1+x1 =1(1 x) 1 la derivada de la funci ony=2x2 1x 1+ =1+4x2x2(1+x2) la derivada de la funci ony=3 x2+x+ =2x+133 (x2+x+1) la derivada de la funci ony= (1 +3 x) =(1 +13 x) la derivada de la funci ony= = sin la derivada de la funci ony= 2 sinx+ cos = 2 cosx 3 sin Hallar la derivada de la funci ony= tan(ax+b).Soluci =acos2(ax+b). la derivada de la funci ony=sinx1+ =11+ la derivada de la funci ony= sin 2xcos = 2 cos 2xcos 3x 3 sin 2xsin la derivada de la funci ony= = 10 cot la derivada de la funci onf(t) =tsint+ (t) = la derivada de la funci onf(t) = (t) = sin2t(3 cos2t sin2t). la derivada de la funci ony=a cos = asin 2x cos la derivada de la funci ony= = la derivada de la funci ony= ln = la derivada de la funci ony= ln =2sin la derivada de la funci ony= ln = 2 la derivada de la funci ony=tanx = sinx+ la derivada de la funci ony= ln 1+sinx1 = la derivada de la funci onf(x) = sin(lnx).

4 Soluci (x) =cos(lnx) la derivada de la funci onf(x) = tan(lnx).Soluci (x) =sec2(lnx) la derivada de la funci onf(x) = sin(cosx).Soluci (x) = sinxcos(cosx).47. Hallar la derivada de la funci ony= ln1+x1 =21 la derivada de la funci ony= log3(x2 sinx).Soluci =2x cosx(x2 sinx) ln la derivada de la funci ony= ln1+x21 =4x1 la derivada de la funci ony= ln(x2+x).Soluci =2x+1x2+ la derivada de la funci ony= ln(x3 2x+ 5).Soluci =3x2 2x3 2x+ la derivada de la funci ony= = lnx+ la derivada de la funci ony= =3 la derivada de la funci ony= ln(x+ 1 +x2).Soluci =1 1+ la derivada de la funci ony= ln(lnx).Soluci = la derivada de la funci ony=e(4x+5).Soluci = 4e(4x+5). la derivada de la funci ony= = la derivada de la funci ony= 7(x2+2x).Soluci = 2(x+ 1)7(x2+2x)ln la derivada de la funci ony=ex(1 x2).Soluci =ex(1 2x x2). la derivada de la funci ony=ex 1ex+ =2ex(ex+1) la derivada de la funci ony= = la derivada de la funci ony= = la derivada de la funci ony= =ecosx(cosx sin2x).

5 La derivada de la funci ony=exln(sinx).Soluci =ex(cotx+ ln(sinx)). la derivada de la funci ony= =x1x(1 lnxx2). la derivada de la funci ony= =xlnx la derivada de la funci ony= =xx(1 + lnx). la derivada de la funci ony= =exx(1 + lnx) la derivada de la funci ony= arcsin(x/a).Soluci =1 a2 la derivada de la funci ony= (arcsinx) =2 arcsinx 1 la derivada de la funci ony= arctan(x2+ 1).Soluci =2x1+(x2+1) la derivada de la funci ony= arctan(2x1 x2).Soluci =21+ la derivada de la funci ony=arc = (x+ 1+x2arc cosx)x2 1 la derivada de la funci ony= = arcsinx+x 1 de integrales inmediatas xpdx=xp+1p+ 1+C(p6= 1) f(x)pf (x)dx=f(x)p+1p+ 1+C(p6= 1) 1xdx= ln|x|+C f (x)f(x)dx= ln|f(x)|+C sinxdx= cosx+C f (x) sinf(x)dx= cosf(x) +C cosxdx= sinx+C f (x) cosf(x)dx= sinf(x) +C 1cos2xdx= tanx+C f (x)cos2f(x)dx= tanf(x) +C 1sin2xdx= cotx+C f (x)sin2f(x)dx= cotf(x) +C 11 +x2dx= arctanx+C f (x)1 +f(x)2dx= arctanf(x) +C 1 1 x2dx= arcsinx+C f (x) 1 f(x)2dx= arcsinf(x) +C10 Tabla de integrales inmediatas (continuaci on) 1 1 x2dx= arc cosx+C f (x) 1 f(x)2dx= arc cosf(x) +C exdx=ex+C f (x)ef(x)dx=ef(x)+C axdx=axlna+C f (x)af(x)dx=af(x)lna+CEjercicios de integrales la integral + la integral (x+ x) +2x x3+ la integral (3 x x x4) x 110x2 x+ la integral x2 x+ la integral (1x2+4x x+ 2)

6 1x 8 x+ 2x+ la integral 14 x3+ la integral + Calcular la integral cos 5x5+ la integral cosaxa+ la integral + la integral cot 3x3+ la integral 7x7+ la integral 13x |3x 7|+ la integral 11 ln|1 x|+ la integral 15 12ln|5 2x|+ la integral tan 12ln|cos 2x|+ la integral + la integral cos4x4+ la integral x x2+ (x2+ 1)3+ la integral x 2x2+ 2x2+ 3 + la integral 1sinx+ la integral cos2x+ la integral + la integral cot2x2+ la integral ln(x+ 1)x+ (x+ 1)2+ la integral cosx 2 sinx+ 2 sinx+ 1 + la integral sin 2x(1 + cos 2x) (1 + cos 2x)+ la integral sin 2x 1 + 1 + sin2x+ la integral tanx+ (tanx+ 1)3+ la integral + Calcular la integral arcsinx 1 + la integral xx2+ (x2+ 1) + la integral x+ 1x2+ 2x+ (x2+ 2x+ 3) + la integral + la integral + la integral + la integral 3 + 1+ la integral e 13e 3x+ la integral ex2+4x+3(x+ 2) +4x+3+ la integral 11 + 2arctan( 2x) + la integral 1 1 3arcsin( 3x) + la integral 1 9 + Calcular la integral 14 + + on por partesRecordemos la f ormula de la deriva del producto de funcionesddx[u(x)v(x)] =u (x)v(x) +u(x)v (x),que expresada bajo forma de diferencial da lugar ad[u(x)v(x)] =d[u(x)]v(x) +u(x)d[v(x)].

7 De donde se obtiene,u(x)d[v(x)] =d[u(x)v(x)] v(x)d[u(x)].Integrando ahora ambos miembros tendremos u(x)d[v(x)] =u(x)v(x) v(x)d[u(x)],que se escribe tambi en en forma abreviada, udv=uv vdu.(1)Esta expresi on es conocida como laf ormula de la integraci on por partesy es de gran utilidadpara la resoluci on de integrales . Se aplica a la resoluci on de las integrales udva partir dela integral vduque se supone m as sencilla. La aplicaci on de (1) exige primero identificaradecuadamente en el integrando las funcionesu(x) yv(x). Veamos un ejemploEjemplo 1Si queremos calcular la integral x3lnxdx,observemos que la integral dex3es inmediata y que la derivada delnxes tambi en muy , si asignamosu= lnxydv=x3dx,tendremosdu=dxxyv=x44+C1,si integramos ahora x3lnxdx= lnx[d(x44+C1)]=(x44+C1)lnx (x44+C1)dxx=(x44+C1)lnx (x34+C1x)dx=x44lnx x416+ que la primera constante de integraci onC1se cancela de la respuesta final (C1lnx C1lnx).

8 Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr actica, nuncaincluimos una constante de integraci on env(x), simplemente tomaremos parav(x)cualquierprimitiva dedv(x).16 Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes xnexdxu=xndv=exdx xnsinxdx u=xndv= sinxdx xncosxdx u=xndv= cosxdx xnlnxdx u= lnxdv=xndx arctanxdx u= arctanx dv=dx arcsinxdx u= arcsinx dv=dx lnxdxu= lnxdv=dxEjercicios de integraci on por la integral ex+ la integral x+ la integral (x23 2x9+227)+ la integral x3e e x(x3+ 3x2+ 6x+ 6)+ la integral xcosx+ sinx+ la integral x2cos 2x2+xcos 2x2 14sin 2x+ la integral excosx+exsinx2+ la integral (x3 1) + de integrales definidas y c alculo de la integral definida la integral definida la integral definida la integral definida 1011 + el area de la figura comprendida entre la curvay= 4 x2y el el area de la figura comprendida entre las curvasy2= 9xey= el area de la figura limitada por la hip erbola equil ateraxy=a2, el ejeXy lasrectasx=ayx= 2.