ESTIMADORES - fuenterrebollo.com

1 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndez ESTIMADORES1 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndezESTIMADORESUn estimador es un estad stico (una funci n de la muestra) utilizado para estimar unpar metro desconocido de la poblaci ejemplo, si se desea conocer el precio medio poblacional de un art culo (par metrodesconocido) se recogen observaciones del precio de dicho art culo en diversosestablecimientos (muestra) pudiendo utilizarse la media aritm tica de las observacionespara estimar el precio medio cada par metro pueden existir varios ESTIMADORES diferentes.

2 En general, se eligeel estimador que posea mejores propiedades que los restantes, como insesgadez,eficiencia, convergencia y robustez (consistencia).El valor de un estimador proporciona una estimaci n puntual del valor del par metro enestudio. En general, se realiza la estimaci n mediante un intervalo, es decir, se obtieneun intervalo par metro muestral error muestral dentro del cual se espera seencuentre el valor poblacional dentro de un cierto nivel de confianza. El nivel deconfianza es la probabilidad de que a priori el valor poblacional se encuentre contenidoen el DE LA ESPERANZA Y VARIANZAa) 121212 EaX bXEaXEbXaEXbEX b) 22121212 Var a Xb XVar a XVar b Xa Var Xb Var X SESGOSe denomina sesgo de un estimador a la diferencia entre la esperanza (valor esperado)del estimador y el verdadero valor del par metro a estimar.

3 Es deseable que unestimador sea insesgado o centrado, esto es, que el sesgo sea nulo para que laesperanza del estimador sea igual al valor del par metro que se desea ejemplo, si se desea estimar la media de una poblaci n, la media aritm tica de lamuestra es un estimador insesgado de la misma, ya que la esperanza (valor esperado)es igual a la media una muestra 12nX(x,x, ,x) procede de una poblaci n de media : iEx para i(1,2, n) La media aritm tica muestral es un estimador insesgado de la media poblacional: nnniii12ni1i1i1111 11Ex ExExExEx ExExnnnn nn 2 La varianza de una muestra aleatoria simple es un estimador sesgado de la varianzapoblacional, siendo su esperanza:La varianza muestral n2i2i1x(xx)n Para calcular su esperanza matem tica se realizan previamente algunos c lculossumando y restando la esperanza de la variable aleatoria poblacional.

4 Nn22iin22i1i1xii1(xx)(xx)1(x) (x)nnn Desarrollando el cuadrado:n222xiii11(x)(x)2(x)(x)n nn22iii1i11(x)n(x)2(x)(x)n n22ii11(x)n(x)2 (x) (n x n )n n22222ii11(x)nxn2nx2nx2nx2nx2nn n22ii11(x)n(x)n Calculando la esperanza matem tica de la varianza muestral 2x: nn222 22xiii1i1var ianza mediavarianza poblacionalmuestral11EE(x)n(x)E (x)E (x)nn En el segundo miembro aparecen dos esperanzas, la primera 2iE(x) coincide con lavarianza poblacional 2 al tratarse de una muestra aleatoria simple, la segundaesperanza 2E(x) es la varianza de la media muestral 2n Por tanto, 2222xn1 Enn 3 La cuasivarianza de una muestra aleatoria simple es un estimador insesgado de lavarianza poblacional: n2i2i1x(xx)sn1 La relaci n entre varianza y cuasivarianza: 2222xxxxnn(n1)ssn1 La esperanza de la cuasivarianza 2xs es igual a la varianza poblacional 2 :22 222xx n Un estimador es insesgado (centrado) cuando E( ) Un estimador es sesgado cuando sesgo E( )b( ) b( )E( ) Un estimador es asint ticamente insesgado si su posible sesgo tiende a cero alaumentar el tama o muestral que se calcula.

5 N lim b ( ) 0 Sea el estimador nii11 xn1 nnnii ii1i1i11111n E( )ExExE(x )(n )n1n1n1n1n1 ninsesgadoasint ticamentennn b( ) E( )0n1n1n1 ERROR CUADR TICO MEDIO DE LOS ESTIMADORES (ECM)La utilizaci n de la estimaci n puntual como si fuera el verdadero valor del par metroconduce a que se pueda cometer un error m s o menos Error Cuadr tico Medio (ECM) de un estimador viene definido: 22sesgo ECM( ) E ()V ( )E ( ) siendo el sesgo b( ) E( ) Cuando el estimador es centrado, el sesgo b( ) 0 ECM( ) V( ) Un error cuadr tico medio peque o indicar que en media el estimador no seencuentra lejos del par metro .4 CONSISTENCIASi no es posible emplear ESTIMADORES de m nima varianza, el requisito m nimo deseablepara un estimador es que a medida que el tama o de la muestra crece, el valor delestimador tienda a ser el valor del par metro poblacional, propiedad que se estimador consistente es un estimador asint ticamente insesgado cuya varianzatiende a cero al aumentar el tama o estimador es consistente cuando nn lim E ( )y lim V ( ) 0 EFICIENCIAUn estimador es m s eficiente o m s preciso que otro estimador, si la varianza delprimero es menor que la del 1 y 2 dos ESTIMADORES insesgados, se dice que 1 es m s eficiente que 2 sise verifica que 12 Var ( )Var () La eficiencia relativa se mide por el ratio.

6 12 Var ( ) Var () La eficiencia de los ESTIMADORES est limitada por las caracter sticas de la distribuci n deprobabilidad de la muestra de la que estimador es eficiente cuando verifica: Es insesgadoPosee varianza m nima La cuesti n de tener varianza m nima queda resuelta mediante la Cota de Cram varianza de un estimador verifica siempre la Cota de Cram r-Rao: V( ) CCR . Unestimador ser eficiente cuando V( ) CCR y la cota resulta 2222 1b()1b() V( )CCRlnL(x, )lnL(X, )nEE Si el estimador es insesgado, b( ) 0 : 21 V( )CCRlnL(x, )nE Y en muestras aleatorias simples: 22 1b() V( )CCRlnL(x, )nE 5Es preciso destacar que la Cota de Cram r-Rao (CRR) no tiene por qu tomar siempreun valor muy peque o (cercano a cero).Un estimador es asint ticamente eficiente si: x lim V( ) CCR El denominador de la Cota de Cram r-Rao es la cantidad de informaci n de Fisher enuna muestra: 2ln L (X, )I( )E o bien 2ln L (x, )i( ) E donde I( ) ni( ) A la funci n ln L (X, ) se llama soporte o log-verosimilitudEl denominador de la expresi n, I( ) , puede simplificarse en una muestra aleatoriasimple ( ), seg n sea el caso discreto o continuo, obteniendo la expresi n:2212n2212nln P(x , x ,, x ; )ln P(x ; )Discreto : f (x , x ,, x ; )ln f (x.)

7 Continuo : M TODO DE M XIMA VEROSIMILITUD (EMV)La estimaci n por m xima verosimilitud es un m todo de optimizaci n que supone que ladistribuci n de probabilidad de las observaciones es 1n(x ,,x ) una muestra aleatoria (no necesariamente simple) de una poblaci n Xcon funci n de masa P (o funci n de densidad f ) donde 1n(, , ). El estimador de m xima verosimilitud (probabilidad conjunta) de es el formado por losvalores 1n (, , ) que maximizan la funci n de verosimilitud de la muestra1n(x ,,x ) obtenida: 1n1n1nP (x , )P (x , ) caso discretoL( )L(X; )L(x ,,x ; )f (x )f (x ) caso continuo En muchas ocasiones, es m s pr ctico encontrar el estimador de m xima verosimilitudes considerar la funci n soporte o log-verosimilitud lnL ( ) , en lugar de la funci n deverosimilitud L ( ) , ya que es m s f cil de manejar y presenta los mismos m ximos ym despeja 1n (, , ) de la ecuaci n: lnL ( )0 y se obtiene el estimadorde m xima verosimilitud ( ) 6 SUFICIENCIAUn estimador es suficiente cuando no da lugar a una p rdida de informaci n.

8 Es decir,cuando la informaci n basada en es tan buena como la que hiciera uso de toda identificar estad sticos suficientes se utiliza el criterio de factorizaci n deFisher-Neyman, que dice que dada una muestra aleatoria )x,,x(n1 de una poblaci nX con funci n de masa P (o funci n de densidad f ) un estad stico es suficiente para si y s lo s : 1n1n1n 1n1n1n P(x,,x) g (x ,, x ), .h(x ,,x ) f(x,,x) g (x ,, x ), .h(x ,,x ) caso discretocaso continuoPara encontrar un estad stico suficiente hay que factorizar la funci n de verosimilitudde la forma: 1n L( )g ( , ).h(x ,,x ) M TODO DE LOS MOMENTOSEl procedimiento consiste en igualar momentos poblacionales respecto al origen )(r alos correspondientes momentos muestrales respecto al origen )a(r, formando as tantasecuaciones como par metros poblacionales se pretenden estimar: nii1111n2i2i1222nriri1rrrx E(X)axnx E(X )anx E(X )an 7 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndezC LCULO DE LA INSESGADEZ y EFICIENCIA DE LOS La variable aleatoria poblacional "renta de las familias" del municipio de Madrid sedistribuye siguiendo un modelo 2N( ,).

9 Se extraen muestras aleatorias simples detama o 4. Como ESTIMADORES del par metro , se proponen los siguientes:12 313223x2x 3x 6x4x 3 x Se pide:a) Comprobar si los ESTIMADORES son insesgadosb) Cu l es el m s eficiente?c) Si tuviera que escoger entre ellos, cu l escoger a?. Razone su respuesta a partir delError Cuadr tico n:a) Un estimador es insesgado (o centrado) cuando se verifica E( ) 12 31123123x2x 3x1E( )EE x2x3x6611E( x ) 2E( x ) 3E( x )666 1221212x4x11E( )EE x4xE( x ) 4E( x )333133 12 34312341234xx xx1E( )EE xxxx4411E(x )E(x ) E(x ) E(x )444 Los tres ESTIMADORES son insesgados o ) El estimador m s eficiente es el que tenga menor 12 31123222123x2x 3x1V VVx 2x 3x6361114V(x ) 4V(x ) 9V(x )140,39363636 1221212222x4x11V VV x4xV(x ) 16V(x )399117171,8999 12 343123422 21234xx xx1V VVx x x x416114V(x )V(x ) V(x ) V(x )40,25161616 El estimador 3 es el m s ) Se elige el estimador que presente menor Error Cuadr tico Medio (ECM)

10 22sesgo ECM( ) E ()V ( )E ( )sesgo b ( )E ( ) Si insesgado E( )ECM( ) V( ) Al ser los tres ESTIMADORES insesgados (centrados), se elige al que menor varianza presenta, que coincidir con el que menor ECM tiene, es decir, se opta por el estimador 3 Advi rtase que si el estimador es insesgado: ECM( ) V ( ) ESTIMADORES SESGADOS:9C LCULO DEL SESGO Y ESTIMACI N La variable aleatoria X representa los gastos mensuales de una empresa, cuyafunci n de densidad es 1f( ,x)xcon0 y 0 x 1 . Se realiza una detama o 3, y se proponen tres ESTIMADORES :122212323123 xx2x3x 6x2x4x 6 a) Calcule los sesgosb) Si la muestra que se obtiene es (0,7 ; 0,1 ; 0,3), calcule las estimaciones puntualesc) Cu les son las funciones estimadas para las estimaciones anteriores?