EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA …

1 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndez EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL1 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndezEJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONALE jercicio Un experimento consiste en lanzar tres veces una moneda. Sea la variablealeatoria: X ="n mero de caras que se obtienen". Se pide:a) Distribuci n de probabilidad de Xb) Funci n de distribuci n de X. Representaci n gr ficac) Media, varianza y desviaci n t pica de Xd) Probabilidad de que salgan a lo sumo dos carase) Probabilidad de que salgan al menos dos carasSoluci n:a) Espacio muestral: (c,c,c),(c,c,e),(c,e,c),(e,c,c),(c,e,e), (e,c,e),(e,e,c),(e,e,e) X(c, c, c) 3 P( X 3) 1 8 X(c, c, e)X(c, e,c)X(e, c, c) 2 P( X2) 3 8 X(c, e, e)X(e, c, e)X(e, e, c ) 1 P( X 1) 3 8 X(e, e, e) 0 P( X 0) 1 8 La distribuci n de probabilidad ser :iXx iiP( Xx ) p 180002x1 38381383x2 3868412 84x3 1838998112 8 1,5 24 8 3 b) La funci n de distribuci n.

2 IiiixxxxF( x ) P( Xx )P( Xx )p x0 F( x ) P( Xx ) P( ) 0 0x1 F( x ) P( Xx) P( X0) 1 8 1x 2 F( x) P( Xx) P( X 2) P( X 0) P( X 1) 1 8 3 84 8 2x3 F(x) P( Xx) P( X 3) P( X 0) P( X 1) P( X2) 1 8 3 8 3 8 7 8 x3 F( x) P( X 3) P( X 0) P( X 1) P( X2) P( X 3) 1 x3 F( x ) P( Xx) P( ) 1 2iXx 0123iP( Xx ) 18383818F( x) P( Xx) 18487810x018 0 x 1F( x )48 1 x 278 2 x 31x3 c) Media, varianza y desviaci n t pica de XMedia: 441 Xiiiii1i112E( X)x .P( Xx )x . p1, 58 i442222iiii1i124E( X )x .P( Xx )x . p38 Varianza: 42222xXix (X x) 222x2131,5 0,75 Desviaci n t pica: x0, 750, 87 d) Probabilidad de que salgan a lo sumo dos caras133 7P( X 2) P( X 0) P( X 1) P( X2)888 8 o bien 7P( X 2) F(2)8 e) Probabilidad de que salgan al menos dos caras31 4 1P( X 2) P( X2) P( X 3)88 8 2 o bien 41P( X 2) F(1)82 3 Ejercicio La VARIABLE ALEATORIA : X ="n mero de hijos por familia de una ciudad" tienela siguiente distribuci n de probabilidad:X 0123456iP( Xx ) 0,470,30,10,060,040,020,01Se pide:a) Media o esperanza matem tica.

3 Significadob) Varianza y desviaci n t picac) Si el Ayuntamiento de la ciudad paga 2000 euros por hijo e Y2000. X , cu l es ladistribuci n de probabilidad?d) Media, varianza y desviaci n t pica de YSoluci n:a) iXx iiP( Xx ) p 0,470002x1 0,30,310,33x2 0,10,240,44x3 0,060,1890,545x4 0,040,16160,646x5 0,020,10250,57x6 0,010,06360,36112,74 Media: 771 Xiiiii1i1E( X)x .P( Xx )x . p1 Si se toma al azar una familia de la ciudad, el n mero de hijos que se espera que tengapor t rmino medio es ) Varianza y desviaci n t picaVarianza: 72222xXix (X x) i772222iiii1i1E( X )x .P( Xx )x . p2, 74 22 2x212, 74 11, 74 Desviaci n t pica: x1, 7 41, 3 2 c) Distribuci n de probabilidad de la VARIABLE Y2000. X 4jYy jjP( Yy ) p 1y0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,011d) Media, varianza y desviaci n t pica de YY2000XE(2000. X) (X) 2222Y2000 XVar(2000. X) 2000 . Var(X) 2000 . 1,74 ,18 Ejercicio Completar la ley de probabilidad , conociendo que la esperanza matem ticaes 1,8X0123iiP( Xx ) p 0,2a b0,3 Soluci n: 4ii1p 0,2ab0,3 1ab 0,5 4iii1x.

4 Pa 2b 0,9 1,8a 2b 0,9 Resolviendo el sistema: a b0, 5b0, 4a2b 0,9a 0,1 5 Ejercicio Al lanzar cuatro monedas se considera el n mero de escudos obtenidos. Dela VARIABLE ALEATORIA X as obtenida, se pide:a) Ley de probabilidad. Representaci n gr ficab) Funci n de distribuci n. Representaci n gr ficac) Esperanza matem tica y varianzad) Mediana y moda de la distribuci ne) Probabilidad de obtener m s de uno y menos de tres escudosSoluci n:a) Sea X ='n mero de escudos en la tirada de cuatro monedas'(c,c,c,c),(c,c,c,e),(c,c,e,c),(c ,c,e,e),(c,e,c,c),(c,e,c,e),(e,c,c,c),(e ,c,c,e),(e,e,e,e),(e,e,e,c),(e,e,c,e),(e ,e,c,c),(e,c,e,e),(e,c,e,c),(c,e,e,e),(c ,e,e,c) X(c, c, c, c) 0 P( X 0) 1 16 X(c, c, c, e)X(c, c, e, c)X(c, e, c, c)X(e, c, c, c) 1 P( X 1)4 16 X(c, c, e, e)X(c, e,c, e)X(e, c, e, c)X(e, e, c, c )X(e, c, e, c )X(c, e, c, e)2 P( X2) 6 16 X(e, e, e, c )X(e, e, c, e)X(e, c, e, e)X(c, e, e, e) 3 P( X 3) 4 16 X(e, e, e, e)4 P( X4) 1 16 La ley de probabilidad o funci n de cuant a:iXx 01234iP( Xx ) 116416616416116b) Funci n de distribuci n.

5 IXx 01234iP( Xx ) 116416616416116F( x) P( Xx) 11651611 1615 1610x01160 x 1516 1 x 2F( x )11 16 2 x 315 16 3 x41x4 6 Ley de ProbabilidadFunci n de distribuci nc) C lculo de la esperanza matem tica y varianzaiXx 01234iP( Xx ) (X x) 041612 1612 (X x) 2 (X x) 041624 1636 1616 (X x) 5 Media: 51 Xiii1E( X)x .P( Xx ) 2 5222iii1E( X )x .P( Xx ) 5 Varianza: 222X21 Var(X)5 21 d) Observando la ley de probabilidad la moda dM2 Observando la funci n de distribuci n la mediana eM2 por ser F( x2) 11 16 elprimer valor que iguala o deja por debajo a 0,5e) 6P(1 X 3) P( X2)0, 37516 o bien 1156P(1 X 3) F(2) F(1)16 1616 7 Ejercicio Calcular la media, varianza y coeficiente de variaci n de la VARIABLE aleatoriaque tiene como funci n de distribuci n: 0x20, 22x4F( x )0, 55 4x60, 85 6x81x8 Soluci n:La ley de probabilidad o funci n de cuant a:iXx 2468iP( Xx ) 0,20,350,300,15 Advi rtase que la funci n de distribuci n F(x) es una funci n acumulativa, por tanto.

6 P( X2) F(2) F(0) 0, 2 P( X4) F(4) F(2) 0, 55 0, 2 0, 35 P(X 6) F(6) F(4) 0,85 0,55 0,30 P( X8) F(8) F(6) 1 0, 850,15 C lculo de la esperanza matem tica y varianzaiXx 2468iP( Xx ) 0,20,350,300, (X x) 0,41,41,81, (X x) 4,8 (X x) 0, 85,610,89, (X x) 26,8 Media: 41 Xiii1E( X)x .P( Xx ) 4, 8 4222iii1E( X )x .P( Xx ) 26, 8 Varianza: 222X21 Var(X)26,8 4,83,76 Desviaci n t pica: x3, 761, 94 Coeficiente variaci n: xx1, 9 4CV0, 404, 8 8 Ejercicio La VARIABLE discreta X tiene como distribuci n de probabilidadX 1234iP( Xx ) 0,300,250,100,35Se realiza un cambio de origen hacia la izquierda de dos unidades y un cambio de escalade 3 pide:a) Media y varianza de la Xb) Media, varianza y coeficiente de variaci n de la VARIABLE transformada por el cambiode origenc) Media, varianza y coeficiente de variaci n de la VARIABLE transformada por el cambiode escalad) Media, varianza y coeficiente de variaci n de la VARIABLE transformada por el cambiode origen y escalaSoluci n:a) iXx iiP( Xx ) p 0,300,3010,302x2 0,250,5041,003x3 0,100,3090,904x4 0,351,40165,6012,57,8 Media: 441 Xiiiii1i1E( X)x.

7 P( Xx )x . p2, 5 i442222iiii1i1E( X )x .P( Xx )x . p7, 8 Varianza: 222x217, 8 2, 51, 55 Desviaci n t pica: X1, 5 51, 2 4 5 Coeficiente de variaci n: XXX1, 2 4 5CV0, 4982, 5 b) Sea Y la VARIABLE transformada, al realizar un cambio de origen hacia la izquierda dedos unidades hay que restar 2, quedando: YX 0 'X ( 2) X 2 .Media: YYE( Y) E X 2E( X 2) E( X) 2E( Y) 2, 5 24, 5 9 Varianza: 2222 YXXYVar X 2 Var(X) Var(2)01,55 Desviaci n t pica: Y1, 5 51, 2 4 5 Coeficiente de variaci n: YXYxYX1, 2 4 5CV0, 28 CV24,5 En consecuencia, el cambio de origen afecta a la media y, en consecuencia, alcoeficiente de variaci ) Al realizar un cambio de escala de 3 unidades, la VARIABLE transformada es XY3 Media: YYXX11 2,5E(Y) E. E( X).3333 Varianza: 222 YXYX1111,55 Var. Var(X)..1,5539999 Desviaci n t pica: YX1, 5 ,55 .933 Coeficiente de variaci n: , El cambio de escala afecta a la media y a la desviaci n t pica de la misma forma, enconsecuencia deja invariante al coeficiente de variaci que se observan en la tabla, donde XY3 jYy jjP( Yy ) p 0,300,1190, 3 92x23 0,250, 5 349193x1 0,100,110,14x43 0,351, 4 316 95, 6 912, 5 37, 8 9 Media: 441 YjjjjXj1j12, 51E( Y)y.

8 P( Yy )y . 4422222jjjjj1j17, 81E( Y )y .P( Yy )y . p. E( Y )99 Varianza: 2222Y21X7,82,511, 99 10 Desviaci n t pica: YX1, 5 ,55 .933 Coeficiente de variaci n: , d) Al realizar simult neamente un cambio de origen de 2 unidades a la izquierda y uncambio de escala de 3 unidades, la VARIABLE transformada es X2Y3 Media: YX2 112E( Y) E. E( X 2). E( X)3333 con lo que, Y12124,5E( Y). E( X). 2, 51, 533333 Varianza: 22 YXX2 111 Var(Y) Var. Var(X 2). Var(X).3999 Desviaci n t pica: YX1, 5 ,55 .933 Coeficiente de variaci n: , 2 4 53CV0, 28 CV1224, El cambio de origen y de escala afecta a la media y desviaci n t pica de distinta forma,en consecuencia tambi n queda afectado el coeficiente de variaci que se observan en la tabla, donde X2Y3 jYy jjP( Yy ) p 0,300,3010,302x43 0,251316 9493x53 0,100, 5 325 92, 5 94x2 0,350,7041,414, 5 321,8 9 Media: 441 Yjjjjj1j14, 5E( Y)y.

9 P( Yy )y . p1, 53 442222jjjjj1j121,8E(Y )y .P(Yy )y . p9 11 Varianza: 2222Y21X21,84,511, Desviaci n t pica: YX1, 5 ,55 .933 Coeficiente de variaci n: , 2 4 53CV0, 28 CV14, 54, ,53 Ejercicio En un cine de verano hay instaladas 800 sillas, sabiendo que el n mero deasistentes es una VARIABLE ALEATORIA de media 600 y desviaci n t pica 100. Qu probabilidad existe de que el n mero de personas que vaya al cine un d acualquiera sea superior al n mero de sillas instaladas?Soluci n:Sea la VARIABLE ALEATORIA X = "n mero de sillas del cine", donde 600 ,100 2x2PX 800P Xkk xk800k800600200 221001PX 8000,252004 Ejercicio La VARIABLE discreta X tiene como distribuci n de probabilidad 1P( X k )10 siendo k2, 3,, 11 Se pide:a) Funci n de distribuci nb) P(X 7) c) P(X 5) d) P(3X 7) Soluci n:a) x1F( x) P( Xx )10 siendo x2, 3,, 11 Advi rtase que entre dos valores consecutivos de la VARIABLE , la funci n de distribuci ntoma el valor ) 64P( X 7) 1 P( X 7) 1 F(7) 10, 41010 12o bien, 4P( X 7) P( X 8) P( X 9) P( X 10) P( X 11)0, 410 c) 4P( X 5) F(5)0, 410 o bien, 4P( X 5) P( X 1) P( X2) P( X 3) P( X4)0, 410 d) 62 4P(3X 7) F(7) F(3)0, 410 1010 o bien, 4P(3X 7) P( X 3) P( X4) P( X 5) P( X6)0, 410 Ejercicio Se desea conocer el n mero de autom viles que se deben poner a la ventadurante un periodo determinado para que se satisfaga una demanda media de 300unidades con una desviaci n t pica de 100 unidades, con una probabilidad no inferior al75%.

10 Soluci n:Sea la VARIABLE ALEATORIA X = "n mero de autom viles a la venta"300 ,100 Seg n Chebyshev: 22xxx22 PXk 1Pk Xk 1kk 220,75100P300 k X 300 k1k 22222221001001001000, 75 10, 25kk200kk0, 250, 25 300 k300 200 500 autom vilesEjercicio La demanda media de un producto es de 100 unidades con una desviaci nt pica de 40 unidades. Calcular la cantidad del producto que se debe tener a la venta parasatisfacer la demanda de forma que puedan ser atendidos al menos el 80% de n:100 ,40 Seg n Chebyshev:13 22xxx22 PXk 1Pk Xk 1kk 220,8040P 100 kX100 k1k 2222222404040400, 80 10, 20kk89, 44kk0,200,20 Se deben poner a la venta 90 La VARIABLE X ="n mero de cent metros a que un dardo queda del centrode la diana" al ser tirado por una persona tiene como funci n de densidad: k0 x10f(x)0 en otros casos Se pide:a) Hallar k para que f(x) sea funci n de densidad. Representarlab) Hallar la funci n de distribuci n.