GRAVITAZIONE

1 ( ) ,conmasse5:2kge2:4kg,a nch laloroattrazionegravitazionalesia2:3 10 :Laleggedigravitazioneuniversalenewtonia na basatasulconcettodiforzaadistanza,doveta leforzadip endedall'inversodelquadratodelladistanza F=Gm1m2d2doveG lacostantedigravitazioneuniversaleevaleG = 6:67 10 11Nm2kg2 Iduecorpisonoritenutipuntiformi, necessariorisolvererisp ettoaquestagrandezzal'equazionesoprad=rG m1m2F=s6:67 10 11Nm2kg2 5:2kg 2:4kg2:3 10 12N= ortoFsole=FT erradelledueforze,sap endocheladistanzamediadellaLunadalSole :Seinprimaapprossimazioneconsideriamoled istanzeTerra-SoleeLuna-Soleuguali,abbiam oFS L=GmSmLd2S LFT L=GmTmLd2T LdacuisiricavaR=FS LFT L=GmSmLd2S L d2T LGmTmL=mSmTd2T Ld2S LSap endoched(T S) = 1:5 108kmed(T L) = 3:8 105km,mS= 1:99 1030kgemT= 5:98 1024kg,sihaR=1:99 1030kg5:98 1024kg 3:8 105km1:5 108km 2= 2 atodeldiametrodi30medimassa20kgvienes oratodaunmeteoriteconmassa7:0kgadunadist anzadi3 er :Utilizziamolarelazionechedescrivel' :67 10 11Nm2kg2 20kg 7:0kg182N= 2:9 10 ,dimassarisp ettivamentemeM m, ortom=.

2 Applicazionelaleggedigravitazionesupp onendocheladistanzasia ssaevalgadF=Gm1m2d2=Gm(M m)d2=Gd2 M m m2 laquantit G=d2 costante,mentreilfattore M m m2 halaformadiunafunzionep olinomiohalaformagra cadiunaparab olaconconcavit rivoltaversoilbasso(co e cientedim2negativo)equindiilmassimocorri sp ondealvaloredell'ascissadelsuoverticeVm= b2a= M 2=M2quindip erm=M2,cio mM= nch l'attrazionegravitazionaledelSolecomp ensiquellaterrestre?Soluzione:Seleduefor zedevonoequilibrarsi,devonoessereugualii nintensit ,madiversoopp osto.(p ossiamop ensareadunabilanciaconduemassediverseall eestremit equindiconduebraccidilunghezzadiversa)FS s=GmSmsd2Ss=GmTmsd2T s=FT sdacuimSd2T s=mTd2 Ssoppureusandoivaloriinletteraturadellem assemSolemT erra= dSsdT s 2= 332776madT s+dSs=dT S= 1:5 108km,p ercuidSs= 1:5 108 dT 1:5 108 dT sdT s 2= 332776svolgendosiottienel'equazione33177 5d2T s+ 3:0 108dT s 2:25 1016= 0dacuisiottienedT s= ' ' :LadistanzamediatralaTerraelaLuna di3:8 'astronave soggettaallaforzadiattrazionegravitazion aledellaTerraedellaLunachehannolastessad irezione,maversoopp osto(motorettilineo).

3 FT a=GmTmad2T a=GmLmad2La= ad2 Lailrapp ortotralemassedeiduecorpicelesti datodallaletteraturaed ugualea81:25,p ercuid2T a= 81:25 d2 Lama,dLa=dT L dT a,p ercuid2T a= 81:25 (dT L dT a)2svolgendosiha80:25d2T a 162:5 3:8 105dT a+ 81:25 3:8 105 2= 0siottienequindi,scegliendolasoluzioneco mpatibiledT a= ,conmassem1= 400kg,m2= 350kg,m3= 2000kgem4= 500kg,hannoco ordi-nate(x;y)risp ettivamente(0;50cm);(0;0);( 80cm;0);(40cm;0).Trovarelaforzagravitazi onerisultante ! :questoeserciziointendeapplicareilprinci piodisovrapp osizionedelleforzegravitazionali,cio ostecomenella onendoleforzelungolecomp onentiorizzontalieverticaliFx=F3x+F4x+F1 x=G 2000 3500:82 500 3500:42 + 0 = 0 NFy=F1y+F3y+F4y=G400 3500:52+ 0 + 0 = 3:7 10 5 Laforzatotale gurasonoindicatelemassediquattrosferep osteagliangolidiunquadratodilato2 'intensit eladirezionedellaforzagravitazionalerisu ltantedaesseesercitatesuunasferadimassam 5= 250kgp :lequattroforzehannodirezioneeversoindic atiin ,lacuiintensit indicatainverde,siannullanop oich lemassesonougualiedisp osteinversoopp ostoam5.

4 Seillatodelquadrato di2:0cm,alloralasuasemidiagonalesar d2=20p22= 1:4cm;larisultantesar datap ertantodalladi erenzaFt=G 300 2500:0142 100 2500:0142 = 0 osizionein gura(dovelemassesonop osteaiverticidiuntriangoloequilatero),tr ovareilrapp ortoM=mtaledaannullarelarisultantedellef orzegravitazionaliesercitatedalletresfer esuquellap :Ilproblema analogoalprecedente,cambiasololageometri adelladisp ostocheillatodeltriangolomisuril,lasuaal tezzasar lp32;bastaquindiricordarechelamassanelba ricentrositrovaadueterzidell'altezza,p ercuim4dister dalletremasselp32 23=lp33 Pertantolarisultantedelledueforzepro dottedam ladiagonaledelromb oaventecomelatoF1;maF1+2=F1=F2(osservala geometria,doveilromb o formatodaduetriangoliequilatericonunlato incomune).

5 Nederivachelaforza(F3),dovutaaM,deveaver elostessomo dulodellaforzaF1+2,dacuiF1=Gmm4l23=GM m4l23=F3p ertantoM=m= 1,cio m= ,conmassam1= 800kgem2= 600kg,sonoadistanzadi0 edirezionedellaforzagravitazionalerisult anteesercitatasuunasferadi2:0kgp ostaa0:20mdam1ea0 :Calcoliamol'intensit dellarisultanteapplicandoilprincipiodiso vrapp osizioneallaforzagravitazionale,secondol eregoledelcalcolovettorialeF1=G800kg 2:0kg0:202m2= 2:7 10 6NF2=G600kg 2:0kg0:152m2= 3:6 10 6 NFtot=q(2:7 10 6N)2+ (3:6 10 6N) = 4:4 10 6 NPerdeterminareladirezionefacciamoriferi mentoalla = arctan 800 2:00:202600 2:00:152 = 37 ordinate:20kg,x= 0:50m,y= 1:0m;40kg,x= 1:0m,y= 1:0m.

6 60kg,x= 0,y= 0 'intensit dellaforzagravitazionalecomplessivadaess eesercitatesuunasferadi20kgp ostanell' :calcoliamo,attraversoleco ordinateledistanzediognisingolamassadall ' (0:52+ 12) = 1:11md2=r ( 1)2+ ( 1)2 = 1:42md3=p(02+ 0:52) = 0:5mCalcoliamolerisp ettiveforzeF1=G20 201:112= 2:2 10 8F2=G40 201:422= 2:6 10 8F3=G60 200:52= 3:2 10 \F1= arctan10:5= 63:4 \F2= arctan11= 225 \F3= 270 Possiamoquindiscomp orreleforzelungolelorocomp onentiorizzontalieverticaliF1x=F1cos 63:4 = 9:9 10 9F1y=F1sin 63:4 = 2:0 10 8F2x=F2cos 225 = 1:8 10 8F2y=F2cos 225 = 1:8 10 8F3x= 0F3y= 3:2 10 7 GRAVITAZIONE5 Larisultantesar p ertantoFxtot= 9:9 10 9 1:8 10 8 0 = 8:1 10 9 Fytot= 2:0 10 8 1:8 10 8 3:2 10 7= 3:2 10 7 Laforzatotale Ftot=q( 8:1 10 9)2+ ( 3:2 10 7)2= 3:2 10 'accelerazionedigravit sullasup er :Ivaloririchiestisonorep 7:36 1022kg,rL= 1:74 oniamocheuncorp odimassaqualunque(p ercomo dit 1kg)cadasullaLunasottol'e ettodelpropriop esodelcorp opu applicatanelsuocentro,p erch lamassapu opu candosihaglunare=G7:36 1022kg(1:74 106m)2= 1 er cieterrestrel'accelerazionedigravit 4:9m=.

7 Seconfrontiamolaleggedigravitazioneconla secondaleggediNewton,vediamocheF=ma=GmmT r2sempli candomsiricavachea=GmTr2p erottenereilvaloreindicato,sirisolverisp ettoarr=rGmTa=vuut6:67 10 11Nm2kg2 5:98 1024kg4:9ms2= 9:02 106mchecorrisp ondeacirca9000kmdalcentrodellaTerra,cio acirca2650kmdallasup er ersonachealpianoterrenop esa54kg, 'e ettodellarotazioneterrestre,trovareladim inuzionedelsuop :Seladistanzatralasup er cieeilcentrodellaTerra paria6:37 106m,losp ostamentosullatorremo di cataledistanzainmo doassailimitato,p ortandolaa 6:37 106+ 412 'accelerazionedigravit subir 'accelerazionedigravit ,sap endocheg g1=GmT 1d2 1d21 =GmT d21 d2d2d21 sostituendoivalorinumericiesap endoched1=d+ 432g g1=GmT (d+ 432)2 d2d2(d+ 432)2!

8 =GmT4322+ 862dd2(d+ 432)2sostituendoadilraggioterrestre,siha g g1= 6:67 10 11 5:98 1024 3:33 10 10 = 1:33 10 3ladi erenzadip esosar quindi54kg 1:33 10 3= 0 averemassaugualeaquelladelSole, 'accelerazionedigravit allasup er cit diarrivoalsuolo,conpartenzadafermo,diuno ggettochecadeda1:0msullasup er cieditalestella.(Siammettachelastellanon ruoti). 'accelerazionedigravit datadaag=Gmsr2=6:67 10 11Nm2kg2 1:99 1030kg(1:0 104)2m2= 1:3 1012ms2lavelo cit concuiuncorp o,partendodafermo,raggiungeilsuolo pariav=p2hag=r2 1m 1:3 1012ms2= 1:6 ostosull'equatoreterrestre acceleratoversoilcentrodellaTerrap erch laTerragirasusestessa,versoilSolep erch erio dodirivoluzionedelSolerisp ettoalcentrodellagalassia 2:5 108annielasuadistanzadallostessocentro 2:2 :LaTerraruotaattornoalproprioasseeunogge ttop ostoall'equatoresubisceunaaccelerazionec entrip eta(sappiamochenelmotocircolareuniformev =2 rT,conTp erio do)a=v2rT=4 2rTT2=4 2 6:37 106(24 3600)ms2= 0:034ms2= 3.

9 4 10 3gLaTerragiraattornoalSoleelaforzacentri p eta inquestocasolaforzagravitazionale,p ercuil'accelerazionecentrip eta l'accelerazionedovutaall'attrazionedelSo le,a=Gmsr2=6:67 10 11Nm2kg2 1:99 1030kg(1:5 1011)2m2= 5:9 10 3ms2= 6:1 10 4gIlSoleruotaattornoallagalassiaeilfenom enopu esseredescrittoancoraattraversol'acceler azionecentrip etacomeespressap erunmotocircolareuniforme,p ercuia=4 2rT2=4 2:2 1020(2:5 108 365:25 24 3600)2= 1:4 10 10ms2= 1:4 10 cit dirotazionep ossibilep erunpianeta quellap ercuilaforzadigravit all'equatoreeguagliaamalap enalaforzacentrip brevep erio dodirotazionecorrisp ondente datodaT=r3 G dove ladensit delpianetasupp.

10 Uguagliamol'accelerazionegravitazionaled elpianetaall'equatore(distanzadalcentrou gualealraggio)el'accelerazionecentrip etaGmPr2=v2rmav=2 rT(dove2 r lacirconferenzadelpianetaeTilsuop erio dodirotazione)esostituendoGmPr2=4 2r2rT2risolvendorisp ettoaT,sihaT2=4 2r3 GmPmaladensit diuncorp omaterialeomogeneo espressada =MV=3mP4 r3(ricordiamocheilvolumediunasfera V=43 r3)esostituendoesempli candoT=r3 G eseadunabilancia,sullasup er ciedellaterra,mediante lidimassatrascurabile,elacuilunghezzadi eriscedih,consideratomoltopiccolorisp onechelaTerrasiasfericaeabbiadensit = 5:5g= erenzadip esodovutaalladiversadistanzadalcentrodel laTerra 8 G mh= erenzadilunghezzap orterebb eaunadi erenzadip :Inquestocaso,propriop erilfattocheladistanzah enormementeinferiorealraggioter-restre,s ideveapplicareunapro ceduramatematicaparticolarecheconsentedi calcolarelevariazionicheriguardanomo di chein datada P=GmTm 1(r+h)2 1r2!