I LIMITI - Zanichelli

1 I LIMITINON PU FARE PI FREDDO DI COS ! Non c limite al caldo, ma esiste un limite al freddo. La temperatura pi bassa teoricamente raggiungibile nell Universo si definisce zero as-soluto ed pari a 273,15 il termometro non pu scendere sotto lo zero assoluto?La risposta a pag. 765 CAPITOLO[numerazione cinese][numerazione devanagari][numerazione araba]12 CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA7161. GLI INTORNIE sponiamo alcune nozioni fondamentali della topologia dell insieme R dei nume-ri reali riguardanti loro particolari sottoinsiemi. Poich esiste una corrispondenza biunivoca tra R e i punti di una retta orientata r, detta retta reale, possiamo iden-tificare ogni sottoinsieme di R (insieme numerico) con un sottoinsieme di punti della retta r e quindi parlare anche di topologia della retta.

2 Gli intorni di un puntoDEFINIZIONEI ntorno completoDato un numero reale x0, si chia-ma intorno completo di x0 un qualunque intervallo aperto I(x0) contenente x0: I(x0) = ]x0 - d1; x0 + d2[,con d1, d2 numeri reali positivi. ESEMPIOSe x0 = 1, l intervallo aperto I = ] 0; 3 [ un intorno completo di 1. In questo caso d1 = 1 e d2 = 2, perch possiamo scrivere:I = ]1 - 1; 1 + 2 [.Questo intorno ha ampiezza (x0 + d2) - (x0 - d1) = d1 + d2 = 1 + 2 = ]- 1; 2 [ e 21;4;E sono intorni completi di d1 = d2, il punto x0 il punto medio dell intervallo. In questo caso parlia-mo di intorno circolare di circolareDato un numero reale x0 e un numero reale positivo d, si chiama intorno circolare di x0, di raggio d, l intervallo aperto Id(x0) di centro x0 e raggio d: Id(x0) = ] x0 - d; x0 + d[.

3 L intorno circolare del punto 5 di raggio 2 ] 5 - 2; 5 + 2 [, ossia ] 3; 7 [.Poich l intorno circolare di x0 di raggio d l insieme dei punti x ! R tali chex0 - d 1 x 1 x0 + d,cio tali che - d 1 x - x0 1 d, possiamo anche scrivere:R()Ixxxx001!d=-d$.. Il termine topologia significa studio del luogo e deriva dalla parola greca topos che significa appunto luogo .31012 1412 1x0 x0x0 + = raggio (x0)375 2(5)22 Ricorda che ( )Ax1 equivalente a()kAxk11-e viceversa. (x0)x0 1 1 2x0x0 + 2 Un intervallo un sot-toinsieme di numeri reali che corrisponde a una semi-retta (intervallo illimitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta intervallo pu essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi apparten-gano o meno all di punto di un intervallo intenderemo sia il numero reale, sia il punto del segmento che lo gli intorni completi e circolari di un punto x0 vale la seguente propriet.

4 PROPRIET L intersezione e l unione di due o pi intorni di x0 sono ancora degli intorni di intorno destro e l intorno sinistro di un puntoDato un intorno di un punto x0, talvolta interessa considerare soltanto la parte dell intorno che sta a destra di x0 oppure quella che sta a generale, dato un numero d ! R+, chiamiamo: intorno destro di x0 l intervallo Id+(x0) = ]x0; x0 + d[; intorno sinistro di x0 l intervallo Id-(x0) = ]x0 - d; x0[.Per esempio, l intervallo ] 2; 2 + d[ un intorno destro di 2; l intervallo ]-5; -3 [ sia un intorno sinistro di -3, sia un intorno destro di -5. Gli intorni di infinitoDati a, b !

5 R, con a 1 b, chiamiamo: intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente:R();Iaxxa331!-=-=6@",; intorno di pi infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato definisce inoltre intorno di infinito l unione tra un intorno di 3- e un intorno di 3+, cio :R()()()IIIxxaxb,033312!=-+=",. La scrittura 3, priva di segno, indica contemporaneamente sia -3 che +3. Quindi, se si vuole indicare solo +3, bisogna esplicitamente scrivere il segno + davanti al simbolo al caso di un punto reale x0, possiamo parlare di intorno circolare di infinito:();;Iccc,333=--+66@ 1. GLI INTORNIx0intorno destro di x0x0 + intorno sinistro di x0x0x0 +(x0) (x0)bFigura 1 Per esempio:intornosinistro di 11intornodestro di 1 (1) +(1)CAPITOLO 12.

6 I LIMITITEORIA718 I punti di accumulazioneDEFINIZIONEP unto di accumulazioneSi dice che il numero reale x0 un punto di accumulazione di A, sottoinsie-me di R, se ogni intorno completo di x0 contiene infiniti punti di A. ESEMPIOC onsideriamo l insieme:0,21,32,43,54,65,76,,1 Annf=+&0, n ! aumentare di n, i corrispondenti valori di A si avvicinano al valore 1, come si pu osservare dalla tabella:n10100100010 000fnn1+,11100 90=,1011000 9900=,100110000 999000=,10 00110 0000 9999000=f possibile verificare che il punto 1 gode della seguente propriet : comunque scegliamo un intorno completo di 1 (anche di raggio molto piccolo), questo contiene infiniti elementi di A.

7 Quindi 1 un punto di accumulazione di esempio l intorno ] 0,9; 1,1 [ del punto 1 contiene infiniti punti di A: ,,,111012111312fL intorno ] 0,99; 1,01 [ contiene altri infiniti punti di A: ,,,101100102101103102fE cos punto di un intervallo di accumulazione per l intervallo stesso. Anche gli estremi dell intervallo sono suoi punti di accumulazione. Si dimostra che equivalente alla definizione data dire che x0 punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x0 contiene almeno un elemento di A distinto da x0. Il termine accumula-zione indica che i punti di A si addensano intorno a ,91011 1112 0,9911,010,99100101 101102 102103 11,011,11213 cFigura 2 Disegniamo alcuni punti dell insieme A contenuti in ] 0,9; 1,1 [.

8 Ingrandiamo poi la figura e disegniamo alcuni punti di A, contenuti in ] 0,99; 1,01 [. Questo procedimento pu essere ripetuto considerandoun intorno con raggio preso piccolo a piacere. Osserva che il punto 1 punto di accumulazione di A, ma non appartiene ad 2. LA DEFINIZIONE DI ()<limfx())xx0xx=2. LA DEFINIZIONE DI ()<limfx())xx0xx=Sia D un sottoinsieme di R. Consideriamo la funzione f : D " R, y = f(x) e sup-poniamo che il suo grafico sia quello rappresentato nella figura uno strumento matematico che permetta di descrivere con precisione la propriet che vediamo nella figura 3: pi scegliamo x vicino al valore x0 e pi la sua immagine f(x) si avvicina a un certo valore , per esempio, la funzione, definita in D = R - {3}:()y fxxxx6322== studiare il comportamento della funzione vicino al punto x0 = che f(x) non definita in 3, quindi non ha senso considerare f(3).

9 Cerchiamo allora a quale valore l si avvicina la funzione quando x si approssima al valore alla variabile x dei valori che si avvicinano sempre pi (per eccesso o per difetto) a 3 e calcoliamo le loro immagini f(x).xf(x)xf(x)2,95,83,16,22,995,983,016 ,022,9995,9983,0016,0022,99995,99983,000 16,0002ffffVediamo che quanto pi x si avvicina a 3, tanto pi f(x) si avvicina al valore in generale, se prendiamo un qualunque valore di x in un intorno di 3 sempre pi piccolo, allora f(x) si trova sempre pi vicino a 6, cio si trova in un intorno di 6 sempre pi piccolo. Per comodit , consideriamo degli intorni circolari.

10 , = f(x0)f(x) x0x ,f(x)x0x f(x)x a. Nel caso di una funzione f comequella disegnata in figura vediamoche, se x si avvicina a x0, allora f(x) siavvicina a , = f(x0).b. Possiamo porci la stessa domandaanche nel caso in cui x0 punto diaccumulazione per D, ma x0 D equindi l espressione f(x0) nonha significato. A quale valore , siavvicina f(x) quando x si avvicina a x0?yxOyxOcFigura 3 Quando x si avvi-cina a x0, f(x) si avvicina a ,? Negli esempi che consi-dereremo, D sar spesso un intervallo o un unione di intervalli. Vedremo che l pu coin-cidere con f(x0), ma pu anche essere 2mTabella 1 CAPITOLO 12. I LIMITITEORIA720 Possiamo allora dire che, se consideriamo un qualunque intorno circolare di 6 di ampiezza f, che indichiamo con If(6), esiste sempre un intorno di 3 i cui punti x (con x !)