LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ - Zanichelli

1 7. CAPITOLO. [ numerazione araba] [ numerazione devanagari] [ numerazione cinese]. LE FUNZIONI . E LE LORO PROPRIET . IL PREZZO GIUSTO. Ogni volta che acquistiamo un prodotto o un servizio, paghiamo in cambio una certa cifra di denaro. Chi stabilisce qual il prezzo giusto? La risposta a pag. 366. TEORIA CAPITOLO 7. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIET . 1. LE FUNZIONI DI. VARIABILE REALE. Che cosa sono le FUNZIONI DEFINIZIONE. Funzione A f B. Una relazione fra due insiemi A e B una funzione se a ogni elemen- to di A associa uno e un solo ele- mento di B. A "B. Poich una funzione fa corrispondere a ogni elemento di A un unico elemento di B, essa viene anche chiamata corrispondenza univoca.

2 Per indicare una funzione si usa una lettera minuscola (spesso la lettera f ) nel seguente modo: f f: A " B , oppure A B, che si legge: f una funzione da A a B . L'insieme B pu coinci- Si dice che A l'insieme di partenza della funzione e B l'insieme di arrivo. dere con A. Si pu utilizzare una notazione simile anche per indicare che a un elemento x di A. corrisponde un elemento y di B: f: x 7 y ;. Analogamente, x detta y detta l'immagine di x mediante la funzione f. controimmagine di y. L'insieme di partenza A detto domi- Spesso il dominio di una A B. f nio della funzione; il sottoinsieme di B.

3 Funzione viene indicato con formato dalle immagini degli elementi la lettera D. y di A detto codominio. Indichiamo x il codominio con la lettera C. Vale la C. relazione C 3 B . dominio codominio b Figura 1. Si legge: y uguale a f di Per indicare una funzione si utilizza anche la scrittura: y = f(x). x . Le FUNZIONI numeriche Quando i due insiemi A e B sono numerici, le FUNZIONI vengono dette FUNZIONI numeriche. In seguito, quando parleremo di FUNZIONI numeriche, sar sottinteso che esse sono definite per valori reali, cio il loro dominio sar R o un sottoinsieme di R e l'insieme di arrivo sar R stesso.

4 Tali FUNZIONI si chiamano FUNZIONI di variabile 334. PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI DI VARIABILE REALE TEORIA. reale. Inoltre esse saranno in genere descrivibili mediante un'espressione analiti- ca, ossia mediante una formula matematica. ESEMPIO. Consideriamo la funzione f R " R descritta dalla legge matematica y = 2x + 5. A ogni valore di x la legge fa corrispondere uno e un solo valore di y. Per esempio, per x = 3 il valore di y y = 2 $ 3 + 5 = 11. Possiamo anche dire che 11 l'immagine di 3, cio f(3) = 11. Il valore che assume y dipende da quello attribuito a x. Per questo motivo y prende il nome di variabile dipendente e x di variabile indipendente.

5 I valori della x sono quindi gli elementi del dominio, mentre quelli assunti dalla y sono gli elementi del codominio. Di una funzione numerica possiamo disegnare il grafico, ossia l'insieme dei punti Il grafico viene anche P(x; y) del piano cartesiano tali che x un numero reale nel dominio di f e y detto diagramma carte- siano. l'immagine di x, ossia y = f(x). Se la funzione f definita da un'equazione y = f(x), il suo grafico una curva, luogo di tutti i punti del piano che soddisfano l'equazione. ESEMPIO. Nella figura 2 abbiamo rappresentato il grafico della funzione y = 2x + 5. Il grafico di una fun- Figura 2 Il grafico della funzione y = 2x + 5.

6 Zione del tipo y = mx + q . y una retta che interseca gli assi nei punti una retta. Per rappresen- 5 tarla sufficiente determi- b- 5 ; 0l e (0; 5). nare due suoi punti, per 2. y = 2x + 5 esempio le intersezioni con gli assi x e y che si otten- gono ponendo, rispettiva- mente, y = 0 e x = 0. 5 O x nell'equazione. 2. Le FUNZIONI definite per casi Esistono FUNZIONI definite da espressioni analitiche diverse a seconda del valore attribuito alla variabile indipendente. Tali FUNZIONI sono dette FUNZIONI definite Si chiamano anche fun- per casi. zioni definite a tratti. ESEMPIO. y La funzione 2x + 6 se x #- 1.

7 Y=( y = 2x + 6 Il grafico di una funzione x2 - 2x + 1 se x 2 - 1 del tipo una funzione definita per casi. y = ax2 + bx + c 2. Il suo grafico rappresentato nella y = x 2x + 1. (con a ! 0) una parabola figura 3. con asse parallelo all'asse y. 1 O x 2x + 6 se x 1. Figura 3 Un esempio di grafico di una fun- y=. x2 2x + 1 se x > 1. zione definita per casi. 335. TEORIA CAPITOLO 7. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIET . c Figura 4 Il grafico della Anche la funzione valore assoluto pu . funzione y = uxu. y essere definita per casi: y = x la funzione rappre- x se x $ 0. sentata dalla bisettrice del y = x y=x y= x ='.)

8 Primo e terzo quadrante; -x se x 1 0. y = - x rappresentata dalla bisettrice del secondo e Il suo grafico rappresentato nella O x quarto quadrante. figura 4. x se x 0. y=. x se x < 0. La classificazione delle FUNZIONI L'espressione analitica che descrive una funzione pu avere due forme: forma esplicita, del tipo y = f(x); per esempio, y = 2x 2 - 1;. forma implicita, del tipo F(x; y) = 0; per esempio, 2x 2 - y - 1 = 0. Se l'espressione y = f(x) contiene soltanto operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice, la funzio- ne algebrica.

9 Una funzione algebrica pu essere: Il grafico di una funzione razionale intera (o polinomiale) se espressa mediante un polinomio; in par- lineare una retta, quello di ticolare, se il polinomio di primo grado rispetto alla variabile x, la funzione si una funzione quadratica dice lineare, se il polinomio in x di secondo grado, la funzione detta quadra- una parabola. tica;. razionale fratta se espressa mediante quozienti di polinomi;. irrazionale se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice. ESEMPIO. 1. Le FUNZIONI y = 5x - 7 e y = - x2 + 3x - 8 sono razionali intere. La pri- ma lineare, la seconda quadratica.

10 5x - 1. 2. y = una funzione razionale fratta. x2. 4. 3. y = x3 - 9 una funzione irrazionale. c Figura 5 La classificazione delle FUNZIONI reali di varia- FUNZIONI goniometriche bile reale della forma y = f(x) y = cos (3x + 1). e alcuni esempi. algebriche trascendenti logaritmiche y = log (x + 3)2. razionali irrazionali esponenziali y= x+1.. y = 42x + 3. intere fratte 2x 1. y = 5x 7 y = . 3x + 2. Se una funzione non algebrica, si dice trascendente. Studieremo in seguito le FUNZIONI esponenziali, logaritmiche e goniometriche, che sono FUNZIONI trascendenti. 336. PARAGRAFO 2. IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE TEORIA.