Método simplificado para cálculo de lajes maciças …

1 Teoria e Pr tica na Engenharia Civil, , , Outubro, 2009. M todo simplificado para c lculo de lajes maci as apoiadas em vigas flex veis: valida o por meio da an lise n o linear Simplified method for calculation of solid slabs supported on flexible beams: validation through the non-linear analysis Jos Milton de Ara jo Escola de Engenharia da FURG Rio Grande, RS. e-mail: RESUMO: O objetivo deste trabalho demonstrar a validade do m todo simplificado proposto pelo Autor para c lculo de lajes maci as de concreto armado apoiadas em vigas flex veis. Esse m todo simplificado foi validado anteriormente, por compara o com resultados num ricos obtidos atrav s de uma an lise linear elaborada com o emprego do m todo dos elementos finitos. Neste trabalho, emprega-se um modelo n o linear para a an lise integrada de pisos de concreto armado, constitu dos por lajes maci as apoiadas em vigas . Esse modelo n o linear utilizado como refer ncia para confirmar a validade do m todo simplificado proposto.

2 ABSTRACT: The subject of this work is to demonstrate the validity of the simplified method proposed by the Author for design of reinforced concrete solid slabs supported on flexible beams. This simplified method was validated previously, by its comparison with numerical results obtained through a linear analysis based on the finite element method. In this work, a non-linear model is employed for analysis of reinforced concrete floors, constituted by solid slabs supported on beams. This non-linear model is used as reference to confirm the validity of the simplified method proposed. 1. INTRODU O sugerido na NBR-6118[5], onde I o momento de in rcia da se o de concreto simples e Ecs o Em artigo anterior [1], foi feita uma an lise m dulo de deforma o longitudinal secante do el stica linear de pavimentos de concreto armado, concreto. constitu dos por lajes maci as apoiadas em vigas Al m disso, foram feitas duas considera es deform veis.

3 Para a realiza o dessa an lise quanto rigidez tor o das vigas : vigas sem acoplada do sistema laje- vigas , foi empregado um rigidez tor o e vigas com rigidez tor o GJ , programa de computador desenvolvido com base onde G = 0,5 Ecs o m dulo de elasticidade no m todo dos elementos finitos (MEF). Na formula o do MEF, as lajes s o transversal do concreto e J a constante de tor o discretizadas em elementos finitos isoparam tricos da se o transversal da viga. quadr ticos de 8 n s, conforme descrito nas Esse modelo num rico, baseado no MEF, foi refer ncias [2,3]. A formula o do elemento empregado para verificar a precis o de alguns baseada na teoria de placas de Mindlin. As vigas processos simplificados largamente utilizados no s o discretizadas com elementos finitos de tr s projeto das lajes de concreto armado. n s, formulados com base na teoria de vigas de Do estudo realizado em [1] conclui-se que o Timoshenko, conforme descrito na refer ncia [4].

4 Tradicional m todo de c lculo, que consiste em Nessa an lise num rica, considerou-se que as considerar as lajes isoladas perfeitamente lajes estivessem no est dio I. Para as vigas , foram engastadas nas lajes vizinhas, n o adequado para consideradas duas situa es: vigas no est dio I, a an lise de lajes apoiadas em vigas deform veis. Esse m todo s satisfat rio quando as lajes s o com rigidez flex o Ecs I , e vigas no est dio II. apoiadas em paredes ou em vigas muito r gidas. com uma rigidez reduzida 0,4 Ecs I , conforme Quando as lajes s o apoiadas em vigas 72 Teoria e Pr tica na Engenharia Civil, , , Outubro, 2009. deform veis, como usual nos pavimentos de No presente trabalho, feita uma amplia o do edif cios de concreto armado, o m todo tradicional estudo anteriormente mencionado, para incluir a superestima os momentos negativos e subestima os n o linearidade f sica das lajes de concreto momentos positivos e as flechas das lajes .

5 Armado. As vigas do pavimento continuam sendo Da an lise num rica realizada com o MEF modeladas com uma rigidez flex o Ecs I. tamb m foram obtidos os seguintes resultados, constante, onde 1 . A rigidez tor o das vigas como sendo representativos das situa es desprezada, em virtude dos resultados obtidos no frequentemente encontradas nos edif cios: trabalho anterior [1]. a rigidez tor o das vigas pode ser desprezada Para a laje, emprega-se um modelo n o linear, o na an lise do pavimento; qual associado ao m todo dos elementos finitos. os momentos negativos nos apoios de Os detalhes desse modelo podem ser obtidos nas extremidade das lajes s o muito pequenos e podem refer ncias [7,8]. Nas se es seguintes, apresenta- ser desprezados; se uma breve descri o do modelo n o linear os momentos tor ores nos cantos simplesmente empregado na modelagem das lajes maci as de apoiados s o pequenos, podendo-se omitir as concreto armado.

6 Armaduras de canto na face superior das lajes . Essas conclus es s o restritas s situa es 2. MODELO LAMINAR PARA AN LISE DE. usuais, onde as vigas s o deform veis e possuem lajes DE CONCRETO ARMADO. uma rigidez tor o pequena. Uma vez constatado que o m todo tradicional Na fig. 1, apresenta-se uma laje maci a de de c lculo n o satisfat rio, foi proposto um concreto armado situada no plano x-y, onde a m todo simplificado para c lculo das lajes maci as espessura h foi dividida em n camadas de apoiadas em vigas deform veis. No m todo concreto de espessura constante h = h n . A laje proposto, adota-se o seguinte procedimento: pode ter diversas camadas de armadura, orientadas consideram-se todas as lajes simplesmente arbitrariamente em rela o ao sistema de eixos x- apoiadas, para efeito de c lculo dos momentos y. positivos, flecha e rea es de apoio; esse c lculo . feito conforme detalhado na refer ncia [6] para as lajes armadas em cruz e armadas em uma dire o; y em um bordo comum (apoio interno), adota-se h um momento negativo de valor absoluto igual ao x n do maior momento positivo das duas lajes z adjacentes, na dire o considerada; As2.

7 As armaduras de canto e as armaduras negativas h nos bordos de extremidade podem, em geral, ser omitidas. 1. A an lise dos resultados obtidos com esse As1. m todo simplificado proposto mostrou total coer ncia com os resultados obtidos atrav s do MEF. Al m disso, tamb m foi mostrado que o Fig. 1 Laje maci a de concreto armado sistema laje- vigas , projetado de acordo com esse procedimento, satisfaz o equil brio dos momentos Uma armadura gen rica, de rea Asi por totais, mesmo considerando que as rea es de unidade de comprimento, fazendo um ngulo si apoio das lajes s o uniformemente distribu das com o eixo x, substitu da por uma l mina sobre as vigas , o que n o ocorre no c lculo tradicional. cont nua de espessura t i = Asi . Por ltimo, em fun o dos resultados num ricos Na teoria de placas de Mindlin[9], as rota es obtidos com o MEF, foi sugerido que as armaduras x ( x, y ) e y ( x, y ) s o independentes da flecha de distribui o das lajes armadas em uma dire o w( x, y ) da superf cie m dia da placa.

8 Com isso, tamb m respeitem a armadura m nima. s o consideradas as deforma es por corte da placa. No caso das lajes de concreto armado, Teoria e Pr tica na Engenharia Civil, , , Outubro, 2009 73. devem-se considerar, ainda, os deslocamentos Ec , sendo o coeficiente de flu ncia do u o ( x, y ) e vo ( x, y ) no plano da laje, pois, de um concreto. modo geral, a superf cie m dia n o coincide com a Na submatriz D 33 aparece o m dulo de superf cie neutra. Ece Assim, ao empregar o m todo dos elementos deforma o transversal Gce = . finitos, consideram-se cinco graus de liberdade 2(1 + ). para cada n do elemento: um deslocamento Na obten o da matriz de rigidez do elemento transversal, duas rota es e dois deslocamentos no finito, indicada na equa o (1), adota-se um plano do elemento. processo de integra o seletiva. Para os termos A matriz de rigidez do elemento finito de placa, correspondentes submatriz D 33 , adota-se K e , dada por integra o num rica com 2x2 pontos de Gauss.

9 Os demais termos s o integrados com integra o completa, adotando-se 3x3 pontos de Gauss ao Ke = B. T. DB dA (1). longo da superf cie do elemento finito. Ae Ap s a montagem da matriz de rigidez global da estrutura e a introdu o das condi es de onde a integra o feita ao longo da rea Ae do contorno, resolve-se o sistema de equa es elemento. linearizadas para a obten o da primeira Na equa o (1), B a matriz que relaciona as aproxima o para os deslocamentos nodais. O. deforma es generalizadas com os deslocamentos vetor de deforma es generalizadas , em um nodais e D a matriz de constantes el sticas do ponto de integra o situado na superf cie de um material, integrada na espessura da laje. elemento finito, igual a = BU e , onde U e Na montagem de K e , pode-se desconsiderar a representa o vetor de deslocamentos nodais do contribui o das armaduras, pois, como o elemento. equil brio garantido atrav s de um processo Conhecido , podem-se obter as deforma es iterativo, a matriz de rigidez s empregada para normais x , y e a distor o xy no centro de inicializar o processo.

10 As armaduras s o inclu das uma camada de concreto gen rica, situada ao no c lculo das a es nodais n o lineares, durante longo da espessura da laje. As distor es xz e os ciclos iterativos. Desse modo, a matriz D inclui apenas as propriedades do concreto. yz n o variam na espessura da laje. A matriz D , obtida atrav s de integra o exata As tens es de cisalhamento xz e yz s o dadas ao longo da espessura da laje, dada por por 5 5. D11 0 0 xz = Gce xz ; yz = Gce yz (3). 6 6. D = 0 D 22 0 (2). 0 0 D 33 onde Gce o m dulo de elasticidade transversal efetivo do concreto. onde a submatriz D11 inclui os termos de estado Na se o seguinte, apresentam-se os modelos constitutivos para o c lculo das tens es no plano de tens es, D 22 inclui os termos de flex o e concreto e nas armaduras, no plano x-y da laje. D 33 inclui os termos correspondentes s deforma es por corte. 3 - MODELOS CONSTITUTIVOS PARA OS.