Fórmulas práticas para cálculo de flechas de vigas …

1 Teoria e Pr tica na Engenharia Civil, , Novembro, 2011 F rmulas pr ticas para c lculo de flechas de vigas de concreto armado Practical formulas for calculation of deflections of reinforced concrete beams Jos Milton de Ara jo Escola de Engenharia - FURG, Rio Grande, RS e-mail: RESUMO: O objetivo deste trabalho apresentar duas f rmulas pr ticas para o c lculo de flechas de vigas de concreto armado. Essas f rmulas foram desenvolvidas a partir do modelo bilinear do CEB. A primeira f rmula permite calcular a flecha de vigas para diversos est gios do carregamento. Nessa f rmula utilizam-se as reas de a o realmente existentes nas se es da viga. Uma segunda f rmula, independente das armaduras, permite calcular a flecha de vigas para as cargas de servi o, antes mesmo do detalhamento das armaduras. A precis o das duas f rmulas demonstrada por compara o com o m todo bilinear.

2 ABSTRACT: The subject of this work is to present two practical formulas for calculation of deflections of reinforced concrete beams. Those formulas were developed with base in the bilinear model of CEB. The first formula allows to calculate beam deflections in several stages of the loading. This formula uses the existent reinforcement in the cross sections of the beam. A second formula allows to calculate deflections under service loads, before of the detailing of the reinforcement. The precision of the two formulas is demonstrated by comparison with the bilinear method. 1 - INTRODU O Em trabalhos anteriores [1,2,3], o Autor analisou diversos m todos dispon veis para c lculo de flechas de vigas de concreto armado. Nesses artigos foram analisados um modelo n o linear, o m todo bilinear do CEB, o m todo do ACI, o qual adotado na NBR-6118, e uma f rmula pr tica apresentada no CEB/90.

3 Em outro artigo, o Autor prop e uma melhoria no modelo do ACI para c lculo de flechas de vigas [4]. Nesses estudos ficou constatado que ambos os m todos simplificados apresentam uma boa concord ncia entre si e com o modelo n o linear, no que se refere ao c lculo das flechas iniciais das vigas de concreto armado. A op o por um ou por outro m todo, como, por exemplo, o m todo bilinear do CEB [5,6] ou a f rmula de Branson, adotada na NBR-6118 [7], pode ser uma quest o de prefer ncia ou de costume do projetista. Por m, quando se consideram as deforma es diferidas do concreto, verifica-se uma boa concord ncia entre o m todo bilinear e o modelo n o linear. Entretanto, o m todo da NBR-6118 n o reproduz satisfatoriamente os efeitos das deforma es diferidas do concreto na resposta das vigas de concreto armado.

4 Esse m todo subestima as flechas das vigas pouco solicitadas, quando elas ainda se encontram no est dio I, ou no in cio do est dio II (na regi o de forma o das fissuras). Por outro lado, o m todo da NBR-6118 superestima as flechas das vigas mais solicitadas, em um estado de fissura o mais adiantado. Em vista desses estudos, o Autor tem recomendado o emprego do m todo bilinear do CEB, como sendo o m todo simplificado mais preciso, desaconselhando o uso do m todo da NBR-6118 para o c lculo de flechas de vigas sob cargas de longa dura o. Entretanto, o emprego do m todo bilinear pode n o ser muito simples, especialmente em c lculos manuais de verifica o de flechas das vigas sob as cargas de servi o. Nesse sentido, o CEB apresenta uma f rmula pr tica, derivada do m todo bilinear, a qual permite um c lculo r pido.

5 Essa f rmula possui boa precis o para o n vel de carregamento a que Teoria e Pr tica na Engenharia Civil, , , Novembro, 2011 64 . as vigas dos edif cios est o submetidas usualmente. Por m, a f rmula pr tica do CEB n o permite alterar o n vel de carga, o coeficiente de flu ncia ou a resist ncia do concreto. A f rmula apresenta valores razo veis da flecha para concretos com resist ncia caracter stica compress o ckf da ordem de 20 a 25 MPa, coeficiente de flu ncia 2 e um n vel de carga t pico das vigas dos edif cios residenciais e de escrit rios. O objetivo deste trabalho desenvolver uma f rmula pr tica, nos moldes da f rmula do CEB, por m, que permita variar os principais par metros envolvidos no problema: n vel de carregamento, coeficiente de flu ncia e resist ncia compress o do concreto.

6 Para isto, foram desenvolvidos dois conjuntos de f rmulas: uma para verifica o, a qual depende das taxas de armaduras existentes na viga, e outra para projeto, a qual pressup e que as armaduras existentes s o exatamente iguais quelas obtidas no dimensionamento. 2 O M TODO BILINEAR DO CEB De acordo com o m todo bilinear do CEB, descrito em detalhes na refer ncia[8], a flecha W de uma viga obtida por interpola o da flecha 1W, calculada no est dio I, e da flecha 2W, calculada no est dio II puro. Assim, a flecha W, levando em conta a colabora o do concreto tracionado entre fissuras, interpolada na forma ()211 WWW + = (1) 0= , se rMM (2) MMr5,01 = , se rMM> (3) Nas equa es (2 e (3), M o momento fletor solicitante na se o cr tica da viga e rM o momento de fissura o.)

7 As parcelas 1W e 2W s o calculadas levando-se em conta a flu ncia e a retra o do concreto. Deve-se observar que o coeficiente varia ao longo do eixo da viga pois, tanto M, quanto rM, variam de se o para se o transversal. Na pr tica, necess rio adotar um valor constante para , calculado para uma se o cr tica. Do mesmo modo, as flechas 1W e 2W devem ser calculadas considerando a rigidez da se o cr tica. Assim, a rigidez no est dio I, IK, e a rigidez no est dio II puro, IIK, s o obtidas com as armaduras existentes na se o cr tica. No caso de uma viga biapoiada ou de uma viga cont nua, a se o cr tica considerada no meio do v o. Para os balan os, a se o cr tica corresponde ao extremo engastado. Observa-se que a flecha calculada em uma se o de refer ncia, que pode n o coincidir com a se o cr tica.

8 O momento de fissura o dado por ()IcsctIrxhEfKM = (4) onde ccsEE85,0= o m dulo de deforma o longitudinal secante do concreto, h a altura da se o transversal da viga e Ix a profundidade da linha neutra no est dio I. As express es de Ix, IK e IIK podem ser obtidas na refer ncia [8]. Se as armaduras forem desprezadas, hxI5,0= e 123bhEKcsI=, resultando a express o aproximada para o momento de fissura o 62ctrfbhM= (5) 3 A F RMULA PR TICA DO CEB Uma vez que as flechas 1W e 2W s o calculadas atrav s de uma an lise linear, pode-se escrever IKCW=1 ; IIKCW=2 (6) onde C uma constante que depende da carga, do v o e das condi es de contorno da viga. Por exemplo, para uma viga biapoiada de v o l, submetida a uma carga uniformemente distribu da p, tem-se ()38454plC=.

9 Ao empregar a equa o (6), os efeitos da flu ncia devem ser inclu dos diretamente nas rigidezes IK e IIK. Para isto, deve-se trabalhar Teoria e Pr tica na Engenharia Civil, , , Novembro, 2011 65. com o m dulo secante efetivo do concreto () +=1cscseEE. Os efeitos da retra o podem ser inclu dos separadamente, como uma flecha adicional (ver refer ncia [8].) A flecha de refer ncia cW, considerando a rigidez ccsIE da se o de concreto simples, tem a express o ccscIECW= (7) Para uma se o retangular com largura b, altura total h e altura til d, pode-se escrever 123bhIc= (8) cseIEbdkK31= ; cseIIEbdkK32= (9) onde os adimensionais 1k e 2k dependem das taxas de armadura e , da rela o entre o m dulo de elasticidade do a o e o m dulo efetivo do concreto, csesEEn=, e do par metro dd = (ver refer ncia [8]).

10 Observa-se que, para incluir a flu ncia do concreto, trabalha-se com o m dulo efetivo cseE. Considerando as equa es (6) a (9), pode-se mostrar que a equa o (1) pode ser escrita na forma ()cWkkdhW + + =213121211 (10) O termo + 2112121kk depende das taxas de armadura e , do coeficiente de flu ncia (que est inserido no par metro csesEEn=), da resist ncia tra o do concreto e do n vel de carga, representado pelo par metro . Considerando os valores de refer ncia j mencionados, pode-se escrever a rela o aproximada ()() = + +20112121121tKkk (11) onde tK, dado em uma tabela em fun o da taxa de armadura tracionada , foi ajustado pelo Autor [8] express o 71186,009547,0 = tK (12) A partir dessas considera es, chegou-se express o ()ctWKdhW =2013 (13) conforme consta no CEB/90[6].