Metodo della trasformata di Laplace

1 Metodo della trasformata di Laplace Il Metodo simbolico consente di affrontare l'analisi di reti contenenti com- ponenti reattivi (condensatori e induttori) in regime sinusoidale, aggiran- do la complessit matematica introdotta dalle relazioni integro-differen- ziali (con derivate e integrali) che legano le tensioni e le correnti su quei componenti. Se i segnali d'ingresso hanno un andamento generico o se vogliamo stu- diare la fase transitoria che segue l'applicazione di un segnale a una rete, dobbiamo usare un Metodo pi generale, di cui quello simbolico un caso particolare: il Metodo della trasformata di Laplace . La FIGURA 1 riassume i metodi per l'analisi delle reti lineari nelle varie condizioni. trasformata Transitorio di Laplace Reti con generatori Metodi di in continua Soluzione della rete, trasformazione per sostituendo: l'analisi di reti Regime permanente lineari continuo con con trasformata Transitorio Reti con generatori di Laplace sinusoidali isofrequenziali Regime permanente Metodo simbolico sinusoidale trasformata di Reti con generatori Laplace di forme d'onda qualsiasi Altre tecniche FIGURA 1 Quadro riassuntivo dei metodi per l'analisi delle reti lineari.

2 Si ricordano le formule che legano, in modo differenziale , la tensione e la corrente nei condensatori e negli induttori: dv(t ) di(t ). i(t ) = C v(t ) = L. dt dt Nei resistori, invece, il legame non contiene derivate: v(t ) = Ri(t ). Questo file costituisce un approfondimento online dei corsi di elettrotecnica ed elettronica 1. di Stefano Mirandola - 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna [6126]. Determinare l'espressione che lega la corrente i(t), SOLUZIONE. ESEMPIO 1. nella rete RL di FIGURA 2, con la tensione d'ingresso In base alle relazioni che legano le tensioni e le cor- vi(t), a partire dall'istante in cui viene chiuso l'interrut- renti nei singoli componenti, si pu scrivere: tore. di ( t ). vi(t) = vR(t) + vL(t) = R i(t) + L (1). i(t) R dt vi(t) Considerando i(t) come segnale d'uscita e vi(t) come L segnale d'ingresso che nell'istante di chiusura dell'in- vi(t) terruttore varia con un gradino da 0 V al valore E, si E. E osserva che il legame tra il segnale d'uscita e quello t d'ingresso costituito da un'equazione differenziale .

3 Si pone in evidenza come anche una semplice rete A B contenente un solo componente reattivo sia descritta da un'equazione differenziale . La soluzione dell'equazione differenziale 1 consente di FIGURA 2 determinare l'andamento nel tempo della corrente dopo la chiusura dell'interruttore, ovvero nella fase transitoria di adeguamento del circuito al segnale d'ingresso. La trasformata di Laplace , come il Metodo simbolico, una trasformazione delle variabili del problema che consente di cambiare operazioni complesse in altre pi semplici. In particolare nella soluzione delle reti con la trasformata di Laplace , le variabili sono convertite da funzioni del tempo a funzioni complesse (parte reale e immaginaria), in modo che le equazioni integro-differenziali di- ventino espressioni algebriche. Riportando poi le variabili in funzione del tempo si trova la soluzione del problema. P Si definisce trasformata di Laplace (L- trasformata ) di una funzione f(t), la funzione della variabile complessa: s = + j (operatore di La- place con le dimensioni dell'inverso di un tempo [t 1]), definita dalla relazione integrale.

4 L [f(t)] = F(s) = f (t ) e dt st ( 2). 0. L'espressione precedente evidenzia che l'intervallo d'integrazione ha ori- gine da 0; questo significa che la L- trasformata di una funzione f(t) indi- pendente dal valore che aveva prima dell'istante assunto come t = 0. Il significato fisico della condizione evidenziata che, se si assume come istante iniziale quello in cui applicato il segnale d'ingresso a una rete, il ricorso alle L-trasformate permette di risolvere la rete trascurando lo stato precedente. Nel caso di componenti reattivi questo equivale a non considerare, nella trasformazione, l'energia eventualmente immagazzinata nei componenti all'atto dell'applicazione del segnale. La ricerca della risposta consiste nell'esprimere l'andamento nel tempo del- la grandezza elettrica incognita, in funzione del segnale di eccitazione e dei parametri caratteristici della rete; con riferimento alla FIGURA 3 si indica con: Questo file costituisce un approfondimento online dei corsi di elettrotecnica ed elettronica 2.

5 Di Stefano Mirandola - 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna [6126]. si(t): il generico segnale d'ingresso (funzione del tempo);. si(t) su(t). su(t): il segnale funzione del tempo che rappresenta la risposta; g(t). g(t): il legame tra ingresso e uscita dovuto ai parametri della rete. su (t ) FIGURA 3 Blocco funzio- La relazione : g (t ) = e quindi l'espressione della risposta : si (t ) nale di una rete generica. su (t) = si (t) g (t) (3). Poich generalmente nota l'espressione del segnale si(t), per conoscere su(t), sufficiente determinare g(t); la presenza dei componenti reattivi fa si che g(t) sia una equazione differenziale . Nella maggior parte delle reti la funzione g(t) costante nel tempo (siste- mi tempo-invarianti). P Utilizzando la trasformata di Laplace , possibile ridurre espressioni di tipo integro- differenziale in espressioni algebriche (trasformazione) e ri- cavare la risposta cercata, come schematizzato nella FIGURA 4: in pratica si trasforma sia il segnale d'ingresso sia l'equazione integro- differenziale , poi una volta risolta l'equazione algebrica nel campo complesso (s) si antitra- sforma il risultato per trovare la risposta su(t) in funzione del tempo.

6 Per i problemi tipici dell'elettronica, la soluzione dell'equazione algebrica relativamente semplice, perch le equazioni differenziali sono del tipo a coefficienti costanti ed agevole risolverle in s, per poi risalire alle espres- sioni in funzione del tempo. In alternativa possibile fermarsi ad analizzare la risposta in s, senza effet- tuare l'antitrasformazione, in base a dei criteri che consentono di valutare il comportamento nel tempo della rete in esame. Nei capitoli che seguono, si far spesso ricorso agli strumenti d'analisi in s, ma in questa fase vengono descritti i metodi di trasformazione e antitra- sformazione, secondo il percorso rappresentato in FIGURA 4. Rete elettrica s i (t ) g(t ): equazione s u (t ). integro- differenziale risposta nel tempo in t L- trasformata L- trasformata antitrasformata G(s ): equazione soluzione della S i (s) S u (s ). algebrica equazione risposta in s in s algebrica FIGURA 4 Calcolo della risposta nel tempo mediante la L- trasformata .

7 Questo file costituisce un approfondimento online dei corsi di elettrotecnica ed elettronica 3. di Stefano Mirandola - 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna [6126]. Per poter operare secondo lo schema di FIGURA 4, deve esistere una relazio- ne di tipo biunivoco tra le funzioni del tempo e quelle in s, in modo che a ciascuna f(t) corrisponda una e una sola F(s) e viceversa. Questa condizione verificata se: si ricerca unicamente la risposta forzata della rete (ovvero il valore della variabile incognita dall'istante di applicazione del segnale in poi, sepa- rando le eventuali condizioni iniziali);. l'integrale di Laplace espresso dalla FORMULA 2 convergente, ovvero ha valore finito per uno o pi valori della variabile s. La trasformazione La trasformazione dalle funzioni nella variabile t a quelle corrisponden- ti nella variabile s pu essere realizzata applicando la FORMULA 2, ma nor- malmente nell'elettronica si fa ricorso a tabelle di trasformate notevoli: si scompone l'equazione differenziale in un insieme delle funzioni riportate nella TABELLA 1 da trasformare singolarmente, nel rispetto dei teoremi espo- sti nel seguito.

8 Si utilizzeranno le lettere minuscole per indicare le funzioni di t e quelle maiuscole per indicare le corrispondenti funzioni di s. Le principali propriet delle L-trasformate sono le seguenti. 1) trasformata del prodotto per una costante: la L- trasformata del prodotto tra la funzione f(t) e la costante a, data dal prodotto a F(s), ove F(s) . la L- trasformata di f(t); in formule: se F(s) = L[f(t)] allora L[a f(t)] = a F(s). 2) trasformata di una combinazione lineare di funzioni: la L- trasformata di una combinazione lineare di funzioni data dalla combinazione lineare delle L-trasformate delle singole funzioni; in formule: se F(s) = L[f(t)], G(s) = L[g(t)] e a, b = costanti, allora: L[a f(t) + b g(t)] = a F(s) + b G(s). 3) trasformata della derivata prima di una funzione: la L- trasformata della de- rivata prima di una funzione f(t) che abbia come L- trasformata F(s), vale: df (t ) . L = s F (s) f (0)+. dt . dove f(0)+ esprime il valore assunto da f(t) dall'istante di applicazione del segnale in poi; se tale valore 0 (questo equivale all'assenza di ener- gia immagazzinata nel componente il cui comportamento espresso dalla derivata), risulta: df (t ).

9 L = s F (s ). dt . 4) trasformata dell'integrale di una funzione: la L- trasformata dell'integrale di una funzione f(t), che abbia come L- trasformata F(s), vale: Questo file costituisce un approfondimento online dei corsi di elettrotecnica ed elettronica 4. di Stefano Mirandola - 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna [6126]. TABELLA 1 Trasformate di F(s) trasformata n f(t) funzione del tempo per t 0 Laplace per funzioni note- di Laplace voli. 1. 1 u(t) = 1 (gradino unitario). s 2 (t) (impulso unitario di Dirac) 1. 1. 3 t (rampa unitaria) s2. 4 t n 1 1. (con n intero e > 0) sn ( n 1)! 1. 5 e at s+ a 1 1. 6. a (1 e at ) s ( s + a). e at e bt 1. 7 ( s + a)( s + b). b a 1. 8 t e at 2. ( s + a). 1 1. 9. ( n 1)! (t n 1) e at n (n intero e > 0). ( s + a).. 10 e at sen t 2. ( s + a) + 2.. 11 sen t s2 + 2. s 12 cos t s2 + 2. k at s+ b e sen( t + ) con: = arctg 13 b a ( s + a )2 + 2. k = ( b a )2 + 2. 0+. 1. f (t )dt L f (t )dt = F (s) + 0. s s 0+. dove f (t )dt rappresenta il valore delle primitiva di f(t) dall'istante di 0.

10 Applicazione del segnale in poi; se tale valore 0 (questo equivale all'as- Questo file costituisce un approfondimento online dei corsi di elettrotecnica ed elettronica 5. di Stefano Mirandola - 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna [6126]. senza di energia immagazzinata nel componente il cui comportamento espresso dall'integrale), risulta: 1. L f (t )dt = F (s). s Nell'analisi delle reti hanno particolare importanza due teoremi, che con- sentono di ricavare i valori della risposta f(t) per t = 0 e per t = , diret- tamente dalla espressione in s, senza ricorrere ad antitrasformazione. 5) Teorema del valore iniziale: se F(s) = L[f(t)], risulta: lim f (t ) = lim s F (s). t 0+ s . 6) Teorema del valore finale: se F(s) = L[f(t)], risulta: lim f (t ) = lim s F (s). t s 0. Trasformare l'equazione 1 della rete RL dell'ESEM- il prodotto della trasformata per E: ESEMPIO 2. PIO 1 in un'espressione algebrica, mediante la E. L- trasformata , e risolverla determinando l'espressio- L[vi(t)] = Vi(s) =.