Mouvement de charges dans un champ (E,~ B~

1 M caniqueChapitre 7 Mouvement de charges dans unchamp(~E,~B)PCSI1, Fabert (Metz)I Force subie par une chargeMouvement de charges dans unchamp(~E,~B)Nous savons d j que les charges , immobiles ou en mouvements, sont des sources de champ lectrique et magn tique. Nous allons voir dans ce chapitrequ en plus d tre source du champ , ellessubissentdes effets dus la pr sence de ces champs, des effets m dans ce chapitre, nous verrons comment le Mouvement des charges est influenc par lapr sence de champs lectrique ou magn tique statiques. Si dans la premi re partie, nous nous int -resserons aux mouvements de particules seules dans l espace, nous verrons dans la deuxi me partiel interaction entre le champ magn tique et le Mouvement d ensemble de charges appel courant lectrique .I Force subie par une chargeI 1 La force lectromagn tiqueI 1 i expressionsLversion force deLorentzGCette force est donn e par les lois de la nature.

2 C est une des lois de force subie par un point mat riel de chargeqplong dans un champ lectromagn tique est laforce deLorentzqui s crit :~f=q ~E(M(t))+~v(t) ~B(M(t)) avec ~v(t)la vitesse du point mat riel par rapport au r f rentiel d tude ~E(M(t))et~B(M(t))les champs~Eet~B l endroitM(t)o se trouve le point mat riel l instantt!ne pas confondre~EM(t)avec~E(M,t). Le premier est le champ l endroit o se trouve le pointM l instanttalors que le 2esous-entend que le champ ~Eesta priorinon uniforme et non dit dans le premier cas, nous nous int ressons lavaleur du champ en un point bien pr cisde l espace, alors que dans le 2enous sommes plut t en train de consid rer la totalit du champ dansson ici, ce qui exerce la force est le champ (~E,~B), il n estpas possibled appliquer la 3eloideNewtonqui, rappelons-le, ne concerne que despoints mat : la 3eloi deNewtonreste valable, c est juste que la force deLorentzn entre pas dansson champ d force deCoulombGNous connaissons le champ cr par une charge ponctuelle (ouau moins de sym trie sph rique), nouspouvons donc en d duire la force qu elle exerce.

3 Matthieu Rigaut1 / 42 Version du 1 ao t 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I 1 La force lectromagn tiqueLa force exerc e par une charge immobileq1sur une autre charge immobileq2s crit :~f1 2=q1q24 0r2~u1 2=q1q24 0 M1M2M1M23q1~u1 2q2~f1 2GM me si cette loi n est en toute rigueur valable que pour des charges immobiles, elle reste uneexcellente approximation pour des charges en Mouvement des vitesses faibles devant la lumi re etpas trop loign es l une de l deuxi me approximation (l loignement) sera pr cis en 2eann force deCoulombest une force newtonienne qui s crit :~f= kr2~uraveck= q1q24 constatons que deux charges de m me signe ont tendance se repousser alors que deux chargesde signes oppos s ont tendance s force deCoulombpeut- tre attractive ou r magn tiqueGNous en reparlerons dans la suite du chapitre lorsque nous aurons vu le lien entre un courant et lemouvement d une retiendrons :Le champ magn tique cr par une charge en Mouvement est tel que :Bcr 0 qsourcevsourcer2 GNous allons voir pourquoi nous allons syst matiquement le n 1 ii ordres de grandeurValeurs fondamentales : charge l mentaire :e= 1, 19C masse de l lectron :me= 31kg masse du proton.

4 Mp= 1, 27kgLversionLorentzYpartie lectrique Matthieu Rigaut2 / 42 Version du 1 ao t 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I 1 La force lectromagn tiqueGUne pile plate de4,5 Vdont les deux lectrodes sont s par es de1 cmengendre un champ lectriquede450 qu il y ait une tincelle dans de l air sec, il faut que lechamp lectrique d passe les3 un champ tr s faible 1et comparons la force deLorentzsubie par un proton son poids :k~fLkk~Pk=e Em g=1, 19 1031, 27 10= 1010 GNous pouvons donc n gliger le poids devant la force magn tiqueGLe champ magn tique cr par la Terre est de l ordre de10 5T, celui par un magnet de10 laboratoire, il n est pas tr s difficile d obtenir des champs de l ordre de 0,1 1 le rapport de la force deLorentzsur le poids :k~fLkk~Pk=e v Bm g=vvcritavecvcrit=m ge B=1,7 10 27 101,6 10 19 0,1= 10 1GD s qu une particule va des vitesses bien sup rieure la vitesse critique pr c dente, nous pouronsn gliger l influence du niveau des particules l mentaires, le poids sera toujours n gligeable devant la forcedeLorentz.

5 !s il s agit d objets macroscopiques charg s (cf. lectricit statique), le poids ne sera pas forc mentn pouvoir n gliger le poids devant la force deLorentz, il faut que cette derni re crivons le rapport entre la force deCoulombet le poids d un proton :k~fCkk~Pk=q24 0r2m g=r02r2avecr02=q1q24 0m g=(1,2 10 19)24 10 936 1,7 10 27 10= 10 2m2 GCe qui donner0 10 d s que deux charges sont prochesr <10 cmle poids devient n gligeable devant la force 1 iii vision nerg tique Matthieu Rigaut3 / 42 Version du 1 ao t 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I 2 Exemples fondamentauxLversionLorentzLa force deLorentzest conservative s il n y a pas de champ magn tique et que lechamp lectrique ne d pend pas du temps. Dans ces conditions, une chargeqposs del nergie potentielleEp=q VGPour le montrer, partons de l expression de la force deLorentzcompte-tenu de l absence du champmagn tique.

6 ~f=q(~E+~v ~B) =q~EGComme le champ lectrique est lectrostatique, nous avons~E= gradV ~f= q gradV= grad (q V)GCe qui montre bien que la force est force deCoulombd rive de l nergie potentielleEp=q1q24 0ro rest la distance entre les deux d monstration a d j t faite dans le cadre des forces effet, une force newtonienne~f= kr2~urest associ e l nergie potentielleEp= kret la forcedeCoulombest une force newtonienne aveck= q1q24 2 Exemples fondamentauxI 2 i Mouvement dans un champ ~Euniforme et constantLpr sentation, analyseGConsid rons une particule de chargeqen Mouvement dans un champ lectrique uniforme et cons-tant~E.~uz~uy~uxO~v0~Et= 0 GAnalyse physique : comme il s agit d une particule dans un champ , le Mouvement sera essentiellement d termin par la force deLorentz ici il y a trois degr s de libert a prioripuisque la particule peut se mouvoir dans les troisdirections de l espace Matthieu Rigaut4 / 42 Version du 1 ao t 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I 2 Exemples fondamentaux la force deLorentz toutinstant et la vitesse l instant initial tant dans le m meplan(~E,~v0), l ensemble du Mouvement se fera dans ce plan donc il n y a quedeux degr s dedescription les grandeurs pertinentes sontm(inertie),q,E(action) ainsi quev0et un angle entre~v0et~ technique.

7 Choisissons le rep rage de telle sorte qu un axe soit parall le ~E 2 degr s de description, nous allons utiliser un PFDO~uz~uy~v0 ~Et= 0L quation d volutionGEn n gligeant le poids devant la force deLorentz, le PFD appliqu la particule dans le r f rentielgalil en du laboratoire donne :m~a(t)=q~E ~a(t)=qm~EGIl s agit d un Mouvement uniform ment acc l r et donc d uncas que nous avons d j rencontr lorsde l tude de la chute solutionGLa r solution est tr s rapide (ne pas oublier les conditionsinitiales) d2xdt2(t)= 0d2ydt2(t)= 0d2zdt2(t)=q Em dxdt(t)= 0dydt(t)=v0cos dzdt(t)=q E tm+v0sin x(t)= 0y(t)= (v0cos )tz(t)=q E t22m+ (v0sin )tGPour avoir la trajectoire, liminonstentrey(t)etz(t)t=yv0cos z=q E2mcos2 t2+ (tan )tLa trajectoire d une particule dans un champ lectriqueuniformeetconstantest uneparabole ou une droite suivant les conditions initiales.

8 Matthieu Rigaut5 / 42 Version du 1 ao t 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I 2 Exemples fondamentauxI 2 ii Mouvement dans un champ ~Buniforme et constantLpr sentation, analyseGConsid rons une particule de chargeqen Mouvement dans un champ lectrique uniforme et cons-tant~B.~uz~uy~uxO~v0~Bt= 0 GAnalyse physique : comme il s agit d une particule dans un champ , le Mouvement sera essentiellement d termin par la force deLorentz ici il y a trois degr s de libert a prioripuisque la particule peut se mouvoir dans les troisdirections de l espace la force deLorentz toutinstant orthogonale ~Bet comme l instant initial la vitessen estpasorthogonale ~Baussi, nous pouvons en d duire que le Mouvement ne serapasplan. les grandeurs pertinentes sontm(inertie),q,B(action) ainsi quev0et un angle entre~v0et~ technique : choisissons le rep rage de telle sorte qu un axe soit parall le ~Bet que, dans le plan orthogonal ~B, la vitesse soit suivant un seul axe.

9 Il y a 3 degr s de description donc nous allons utiliser un PFDv//v ~v0~B~uz~uyO~ux~uy~v ~Bt= 0L quations d volutionGComme il s agit d un Mouvement d une particule dans un champ , nous pouvons n gliger le poidsdevant la force deLorentzet ainsi le PFD appliqu la particule dans le r f rentiel galil en dulaboratoire s critm~a(t)=q ~v(t) ~B ~a(t)=qm vx(t)vy(t)vz(t) 00B GUne fois le calcul des composantes du produit vectoriel effectu , nous arrivons Matthieu Rigaut6 / 42 Version du 1 ao t 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I 2 Exemples fondamentaux d2xdt2(t)=q Bmvy(t)d2ydt2(t)= q Bmvx(t)d2zdt2(t)= 0Lr solutionYsuivant~BGIl s agit de la projection sur~uzd2zdt2(t)= 0 dzdt(t)= Cte=v// z(t)=v//tGIl s agit d un Mouvement uniformesur l axe parall le le plan orthogonal ~B, m thode 1 GCommen ons par r crire les quations en consid rantq >0 dvxdt(t)= cvy(t)dvydt(t)= cvx(t)o c=q Bm c=|q|Bmest appel e lapulsation nom s expliquera de lui-m me au sous-paragraphe pouvons ainsi r soudre par substitutionvx(t)= 1 c vy(t) 1 c d2vydt2(t)= cvy(t) d2vydt2(t)+ c2vy(t)= 0 GDe m mevy(t)=1 c vx(t) 1 c d2vxdt2(t)= cvx(t) d2vxdt2(t)+ c2vx(t)= 0 GEt ainsi, en rapprochant les deux quations, cela donne d2vxdt2(t)+ c2vx(t)= 0d2vydt2(t)+ c2vy(t)= 0 (vx(t)=Acos( ct)+Bsin( ct)vy(t)=A cos( ct)+B sin( ct) Matthieu Rigaut7 / 42 Version du 1 ao t 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I 2 Exemples fondamentauxGLes conditions initiales se voient sur le sch ma pourvx(0)etvy(0)et se trouvent l aide des quationsdiff rentielles pourdvxdt(0)etdvydt(0))

10 (vx(0)= 0vy(0)=v et dvxdt(0)= cv dvydt(0)= 0 GCela donnevx(0)=v sin( ct)etvy(t)=v cos( ct)GCette m thode : pr sente l avantage d tre assez intuitive pr sente l inconv nient de faire appel des conditions initiales cach es ( cause du fait qu un moment il a fallu d river une quation pour substituer)Ydans le plan orthogonal ~B, m thode 2 GIntroduisons une fonction complexe inconnue (comme nous l avons fait avec le pendule deFoucault)H(t)=vx(t)+ jvy(t).GL quation diff rentielle v rifi e parH(t)s critdHdt(t)=dvxdt(t)+ jdvydt(t)= cvy(t) j cvx(t)= j c(vx+ jvy(t)) = j cH(t)GIl s agit d une quation diff rentielle lin aire du premierordre coefficient constant qui se r sout tr svitedHdt(t)+ j cH(t)= 0 H(t)=H0e j ctGOr les conditions initiales donnentH(0)=vx(0)+ jvy(0)= jv H(t)= jv e j ctGEt en revenant aux notations r ellesvx(t)=Re H(t) = +v sin( ct)etvy(t)=Im H(t) = +v cos( ct)GIl s agit bien du m me r m thode.)