PROBLEMARIO DE VECTORES, RECTAS, PLANOS, …

1 PROBLEMARIO de vectores, rectas, planos, sistemas de ecuaciones lineales , c nicas y esferas Con anexo Jos V. Becerril Jaime Grabinsky Jos Guzm n UNIVERSIDAD. AUTONOMA. METROPOLITANA. Casa abierta al tiempo Azcapotzalco B sicas DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo PROBLEMARIO de vectores, rectas, planos, sistemas de ecuaciones lineales , c nicas y esferas Con anexo Jos V. Becerril Jaime Grabinsky Jos Guzm n UNIVERSIDAD. AUTONOMA. METROPOLITANA Divisi n de Ciencias B sicas e Ingenier a Casa abierta al tiempo Azcapotzalco Departamento de Ciencias B sicas DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico).

2 Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo UAM AZCAPOTZALCO. RECTOR. Mtro. V ctor Manuel Sosa God nez SECRETARIO. Mtro. Cristian Eduardo Leriche Guzm n COORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACAD MICO. Mtra. Mar a Aguirre Tamez COORDINADORA DE EXTENSI N UNIVERSITARIA. DCG Ma. Teresa Olalde Ramos JEFA DE LA SECCI N DE PRODUCCI N Y DISTRIBUCI N EDITORIALES. DCG Silvia Guzm n Bofill ISBN: 970-654-764-9. UAM-Azcapotzalco Jos V. Becerril Jaime Grabinsky Jos Guzm n Dise o de Portada: Modesto Serrano Ram rez Secci n de producci n y distribuci n editoriales Tel. 5318-9222 / 9223. Fax 5318-9222. Universidad Aut noma Metropolitana Unidad Azcapotzalco Av.

3 San Pablo 180. Col. Reynosa Tamaulipas Delegaci n Azcapotzalco 02200. M xico, 2a. edici n, 2001. 1a. reimpresi n, 2004. Impreso en M xico DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo CONTENIDO. PRESENTACI N 5. I VECTORES EN R2 .. i II E C U A C I N D E L A R E C T A E N R2 32. III E J E R C I C I O S D E A P L I C A C I N S O B R E L A R E C T A E N R2 .. 48. IV VECTORES EN R3 . , .. , .. , . 68. V RECTAS E N R3 Y PLANOS ..,..,,. 78. VI EJERCICIOS A RESOLVER * .. 9s VII sistemas D E ecuaciones lineales .. 103. VIII EJERCICIOS D E APLICACI N SOBRE sistemas D E ecuaciones .

4 lineales .. 135. IX PROBLEMAS PROPUESTOS 157. X MATRICES Y DETERMINANTES .. 102. ANEXO. XI PROBLEMAS PROPUESTOS .. 209. XII C NICAS Y ESFERA , ..,.. 215. XIII PROBLEMAS PROPUESTOS 201. DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo P R E S E N T A C I N. E*td Zibno dd pn,obZdma* pKdtdndd /id y , Za p/i ctica pasta Za *oZuci n d< pn,obZd_. ma* en Zo* tdma* c e: *, Kdcta*, plano *, de e c a a c x o n e ^ l vu <xl< >, c n ca y &.

5 Hay psiob < ma x< &u< JL o > y p/iopu&Ato >, y En to > CUIAOA c e < >to& turna* UL^aalmantz faltan d< < j2,/iCyic .o* qu< a\ x<lLi,< n a Z06 aZumnoA, < >p< h,a quiZ z*tt t/iabajo txpZa en patitd ( a d< - No hay m&jo/i modo c e aptidndtti que kac zndo, pon. tratan. d< si< oZv< /i pKobZzma* pon, Z. d< vdti Za* *oZuc on&*, qut z*ta* *6Zo o con,n. jan Zo ctmo* a Zo* < *on.< * lr< Z p< Mon/ioy, Jo- * d< J( *u* BdZmontd Zo* < j c o* *{xgzn,JLdo* y, aZ. p/Lo z*on. 3o* Lu * Zo* dj< o* apontado*. Ag/taddCdmo* a Za Sn,a. CastoZZna RangdZ dZ trabajo gri ^ldo y dd mdaanog/ia^Za y aZ Si. GabxidZ BstlzudZa pon. Zo* dibujo* zado*. Lo* * . DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM.))}

6 E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo . VECTORES EN R. Dibuja los siguientes vectores a = ( 5 , 2 ) ; b = ( - 2 , 3 ) ; c=(-3," 1 t);. d=(2,-5). Calcula su norma y d i r e c c i n . 52 + 2 2 = / 2 5 + 4..'Su direcci n 9 ser : = 11 b II - /EfT"bf = /(-2)2 + 32 = A + 9. 11 t 11 = AJ. Para determinar la direcci n nos auxiliaremos de un ngulo a. Ver figura C-2,31 Tan a = y - 1 5 a = As 6 = 180 - a = 180 - '. ,\ 6 = DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM.

7 E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo C II = /C| + C 2 = = /9 + 16 =. II c I I = 5. Para la direcci n de c nos ayudaremos tambi n de un n guio agudo. Ver figura. Tan a = -j = a = Luego la direcci n 8 de c es: 180 + a = '. I I d I I = V \ + \ = / 2 2 + (-5)2 = A + 25 =. II c I I = / 2 9. Una vez m s para determinar la direcci n se har con la ayuda de otro ngulo a. Tan a = ~ = a = De donde la direcci n 8 de d ser . 8 = 360 - a e = o DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo Localiza en el punto A indicado los vectores dados. a).- A(4,2); u = (-3,3) b ).

8 - A(-2,3); v = (-2,-2). c ) . - A(-4,-2); w = (2,-2) d ) . - A(2,-3); x = (3,2). SOLUCI N. Se dan a = (-3,3); b =(-4,-3); c - (1,5); d = (-3,1). i).- Calcula a + b; c - d; d - b; anal tica y geom tricamente. i i ) . - Calcula II a" + t + c II; compara con Ma'll llc'll t- (a + t); (a + b) (c - d ) ; I I a + t + c I I (c SOLUCI N. Anal ticamente tenemos = (-3,3) + (-4,-3) = (-3+(-4),3+(-3)) - (-3-4,3-3) = (-7,0). a + b = (-7,0). DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo Geom tricamente: Colocamos el vector a con su inicio en el origen donde termina el vector a tomando como punto de referencia colocamos el vector b, el vector suma a + b ser el vector que inicia donde inicia a y termina donde termina b.

9 A + b = (-7, 0 ). c 3 = (1,5) " (-3,1). = (i-(-3), 5 - 1) 3-t- (-3,O-(-4,-: = (1 + 3,A). = (5,A) = (-3+^,(1+3)) = (1,4). c - d = (5,k).. - b = d,J. DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo II t + t + c II = ll(a + b ) + c II = II (-7,0) + ( 1 , 5 ) N = I I (-6,5)11. /(-6) 2 + 5 2 = /36 + 25 =. 11 a" 11 / 8~ = I I b II 11 c I I=/2T. ll Tll + l l & l l + M c l l = 3/2 + 5 + II a + b + c II. + b) = (-3,0 -(-7,0) = (-3) (-7) + 1 (0) - 21 + 0 = 21. (a + t)-(t - ) = (-7,0)-(h,h) = -7(h) + 0(h) = -28 + 0 = -28. c lll(. l ( c - 3 ) = / 5 T [( )-(-3,1)] = /ST [1(-3) +5(1)].)))

10 = /6T [-3 + 5] = 2/ST. Determina anal tica y geom tricamente el vector que inicia en el punto P(3,3) y termina en el punto Q(-2,2), da el vector de igual magnitud y tido contrario al vector anterior. SOLUCI N. Geom tricamente es la flecha que va del punto P al punto Q. (Ver figura). De esta misma figura podemos derivar la soluci n anal tica. Introduzcamos DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Aut noma Metropolitana (M xico). Prohibida la reproducci n de esta obra as como la distribuci n y venta fuera del mbito de la UAM . E-libro Bibliomedia Casa abierta al tiempo los vectores p ,q . De aqu deduciremos: p + PQ = q ; PQ = q - ' p As PQ = (-2,2) - (3,3) = (-5,-1). - (-5,-0. Observa como si tomas de referencia el punto P, el vector PQ efectivamente tiene coordenadas (-5,-1).)