Studio - DISMA Dipartimento di Scienze …

1 StudiodifunzioniEsercizisvolti1)Esercizi oDatalafunzionef(x)=x 1x2 x 6,a)determinareildominio,ilsegno,ilimiti agliestremieglieventualiasintotidif;b)de terminaregliintervallidimonotoniaeglieve ntualiestremidif;c)tracciareungra )Perdeterminareildominiodif,imponiamoche ildenominatoresiadiversodazero,quindidom f=IRnf 2; 1x2 x 6>0ottenendo:f(x)>0perxin( 2;1)e(3;+1).Risultalimx! 2 f(x)= 1;limx! 3 f(x)= 1;limx! 1f(x)=0:Quindi,x= 2ex=3sonoasintotiverticalicompletiey=0 )Sihaf0(x)= x2 2x+7(x2 x 6)2:Laderivataprima edecrescentenegliintervalli( 1; 2);( 2;3);(3;+1) )Ilgra coqualitativodellafunzionef :Gra codellafunzionef(x)=x 1x2 x 62)EsercizioSiaf(x)=e x e 3x:a)Disegnareungra codifmettendoneinevidenzaglizeri,ipuntic ritici,gliintervallidimonotoniaeconvessi t )Veri careinparticolarechefhaununicopuntodi essoedeterminareilpi )Sicalcoliladerivataprimaditalefunzionei nversanelpuntodi )Scriviamof(x)=e x(1 e 2x)eosserviamochee x>0perognix,quindif(x)=0se1 e 2x=0,ossiaperx= (x)= e x+3e 3x= e x(1 3e 2x);dunquef0(x)=0se1 3e 2x=0,ossiaperx=ln32;f0(x)>0sex<ln32equin dif ecrescentein( 1;ln32)edecrescentein(ln32;+1).

2 Sihaf00(x)=e x 9e 3x=e x(1 9e 2x);dunquef00(x)=0se1 9e 2x=0,ossiaperx=ln3;f00(x)>0sex>ln3,quind if econcavain( 1;ln3)ed econvessain(ln3;+1).Figura2:Gra codellafunzionef(x)=e x e 3xIlgra coqualitativodellafunzionef )Perquantovistoalpuntoprecedente,x=ln3 el'unicopuntodi ( 1;ln32)e(ln32;+1)equindiilpi ugrandeintervallochecontieneilpuntodi essoeincuif einvertibile e(ln32;+1).c)Poich ef(ln3)=827,risulta(f 1)0(827)=1f0(ln3)= 276:3)EsercizioSiadatalafunzionerealediv ariabilerealef(x)=2x ) ) )Veri carechef eunin nitoperx!+1edeterminarnel'ordinerispetto allafunzioneg(x)=exassuntacomein )Tracciareungra )Possiamoscriveref(x)=2x 1 (5=2)x ,cos f(x)=0per1 (5=2)x=0,ossiaperx= )Sihaf0(x)=2xln2 5xln5ef0(x)=0per(5=2)x=ln2=ln5ossiax0=ln ln2ln5ln52<0 ,scriviamof0(x)=2xln2 1 (5=2)xln5ln2 enotiamoche2xln2>0,ln5=ln2 (x)<0perx>x0ef0(x)>0perx< eunpuntodimassimoassolutoelafunzionerisu ltacrescentesull'intervallo( 1;x0)edecrescentesull'intervallo(x0;+1).

3 C)Poich elimx!+1f(x)=limx!+12x 1 (5=2)x = 1;lafunzione eunin nitoperx!+ 'ordinerispettoall'in nitocampioneg(x)=ex,calcoliamolimx!+1f(x )e x=limx!+1 exln2 exln5 e x=limx!+1ex(ln5 ) ex(ln2 ln5) 1 = limx!+1ex(ln5 )poich eln2 ln5<0elimx!+1 ex(ln2 ln5) 1 = nch etalelimitesia nitoediversodazero,laquantit aln5 =ln5 el'ordinediin )Ilgra coqualitativodellafunzionef :Gra codellafunzionef(x)=2x 5x4)EsercizioSiconsiderilafunzionef(x)=lnx arctan(x 1):a)Determinareildominiodif, ) )Determinareilnumerodisoluzionidell'equazionef(x)= )Tracciareungra )Ildominiodif el'intervallo(0;+1).Risultalimx!0+f(x)= 1;limx!+1f(x)=+1:Inoltrelimx!+1f(x)x=0;equindilafunzionehasoltantounasintotoverticale(destro)diequazionex= )Sihaf0(x)=(x 1)(x 2)x[1+(x 1)2]equindif0(x)=0perx=1ex=2;f0(x)>0perxin(0;1)ein(2;+1).Lafunzione ecrescentenegliintervalli(0;1)e(2;+1),de crescentenell'intervallo(1;2).

4 Ilpuntox=1 eunpuntodimassimorelativoconf(1)=0eilpun tox=2 eunpuntodiminimorelativoconf(2)=ln2 =4< )Lesoluzionidell'equazionef(x)=0sonodue:x=1eunpuntox0>2,comerisultadall'applicazionedelteorema diesistenzadeglizerinell'intervallo[2;K] conKnumerorealesu cientementegrandeetalechef(K)>0(siricord ichelafunzione ein nitaperx!+1equinditalepuntoesistecertame nte).d)Ilgra coqualitativodellafunzionef :Gra codellafunzionef(x)=lnx arctan(x 1)5)EsercizioSiconsiderilafunzionef(x)=3 q(x 1)(x 2)2:Sichiededia)determinarneildominio,il imitiagliestremideldominioeglieventualia sin-toti;b)determinarnegliintervallidimo notonia,ipuntidinonderivabilt aeglieven-tualiestremi;c)determinareilpi ugrandeintervallodiinvertibilit adifcontenenteilpuntox=1;d)tracciareungr a coqualitativodellafunzionef(x)edellafunz ionef(jxj).Soluzionea)Ildominiodif etuttol' ! 1f(x)= 1;limx! 1f(x)x=1;limx!

5 1f(x) x==limx! 1(3q(x 1)(x 2)2 x)(3q(x 1)2(x 2)4+x3q(x 1)(x 2)2+x2)(3q(x 1)2(x 2)4+x3q(x 1)(x 2)2+x2)==limx! 1 5x23x2= 53:equindilarettay=x 53 )Sihaf0(x)=13(3x 4)(x 2)3q(x 1)2(x 2)4;quindif0(x)=0perx=43ef0(x)>0perxin( 1;43)e(2;+1).Alloraf ecrescentenegliintervalli( 1;43)e(2;+1)edecrescentein(43;2);x=43 eunpuntodimassimorelativoconf(43)=3p23ex =2 eunpuntodiminimorelativoconf(2)= adellafunzioneinquantolimx!1 f0(x)=+1;limx!2 f0(x)= 1;pi uprecisamentex=1 eunpuntoatangenteverticaleex=2 )Ilpi ugrandeintervallocontenentex=1sucuilafun zione einvertibile el'in-tervallo( 1;43].d)Igra ciqualitatividellafunzionef(x)edellafunz ionef(jxj) y 2 4/3 1 Figura5:Gra codellafunzionef(x)=3q(x 1)(x 2)2 Figura6:Gra codellafunzionef(jxj)=3q(jxj 1)(jxj 2)26)EsercizioSiconsiderilafunzionef(x)= x21 3x xjxj:Sichiededia)determinarneildominio,i limitiagliestremideldominioeglieventuali asin-toti;b)determinarnegliintervallidim onotonia,ipuntidinonderivabilt aeglieven-tualiestremi;c)determinareilnu merodisoluzionidell'equazionef(x)= 1;d)determinarel'immaginedellafunzione;e )tracciareungra )Perdeterminareildominio,osserviamochef( x)=8<:x21 3x x2x 0x21 3x+x2x<0,inoltrex2+3x 1=0sex= 3 p132eperx 0soltantolaradicex0= 3+p132 edaconsiderare,mentrex2 3x+1= !

6 1f(x)= 1;limx!x 0f(x)= 1;dunquelarettay= 1 eunasintotoorizzontaledestro,larettay=1 eunasintotoorizzontalesinistroelarettax= x0 )Sihaf0(x)=8<:x(2 3x)(1 3x x2)2x>0;x6=x0x(2 3x)(1 3x+x2)2x< (x)=0sex=23;f0(x)>0perx2(0;x0)[(x0;23).Dunque,gliintervall idimonotoniadifsono:( 1;0);(23;+1)dovelafunzione edecrescente,(0;x0);(x0;23)dovelafunzion e (0)=0eunpuntodimassimorelativoinx=23conf (23)= ,f econtinuanell'origine,limx!0 f0(x)=0,equindiladerivataprimanell'origi neesisteevale0; )L'equazionef(x)= 1haunasolasoluzioneperx=13,comesipu ofacilmenteveri careimponendol'equazionex21 3x x2= )Dalgra co,risultaimf=( 1; 413][[0;+1).e)Ilgra coqualitativodellafunzionef :Gra codellafunzionef(x)=x21 3x xjxj7)EsercizioSiconsiderilafunzionef(x) =x2lnjxj 1:Sichiededia)determinarneildominio,ilim itiagliestremideldominioeglieventualiasi n-toti;b)determinarnegliintervallidimono toniaeglieventualiestremi;c)determinarel 'immaginedellafunzione;d)tracciareungra coqualitativodif;e)postof(0)=0,discutere lacontinuit aeladerivabilit adifinx= )Osserviamochelafunzione epari,quindilastudieremosoltantoperx> ; egelimx!]]

7 1f(x)=+1;limx!e f(x)= 1;limx! e f(x)= 1:Lerettex=eex= esonoasintotiverticalicompleti; )Sihaf0(x)=x(2lnx 3)(lnx 1)2;x>0;quindif0(x)=0perx= e3=2;f0(x)>0perxnegliintervalli( e3=2; e),( e;0),(e3=2;+1) edecrescentein( 1; e3=2),(0;e),(e;e3=2).Ipuntix= e3=2ex=e3= )Dalgra cosivedecheimf=( 1;0)[[2e3;+1).d)Ilgra coqualitativodellafunzionef :Gra codellafunzionef(x)=x2lnjxj 1e)Postof(0)=0,lafunzionerisultacontinua ederivabileinx=0,inquantolimx!0 f(x)=0;limx!0 f0(x)=0:8)EsercizioSiconsiderilafunzione f(x)=(x 1)3(2 x):Sichiededia)studiarneilcomportamentoe disegnarneungra coqualitativo;b)considerarelefunzionig1( x)=3qf(x);g2(x)=3qjf(x)jedeterminare,per ciascunadiesse,ipuntidiestremoeipuntidin onderivabilit )Non edi cileveri carechedomf=IR,limx! 1f(x)= 1;lafunzione ecrescentein( 1;74)edecrescentein(74;+1),ilpuntox=74 eunpuntodimassimoassolutoconf(74)=27256; f econvessain(1;32),concavain( 1;1)ein(32;+1),ipuntix=1ex=32sonopuntidi coqualitativodellafunzionef :Gra codellafunzionef(x)=(x 1)3(2 x)b)Possiamoscrivereg1(x)=(x 1)3p2 x;g2(x)=jg1(x)j:Lafunzioneg1haunpuntodim assimoinx=74eunpuntodinonderivabilt ainx=2(tangenteverticale).]]

8 Lafunzioneg2haunpuntodimassimorelativoin x=74eduepuntidiminimoassolutoinx=1ex= :Gra codellafunzioneg1(x)Figura11:Gra codellafunzioneg2(x)