Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2017 - Pondichéry

1 17 MASOIN1 Page 1/9 BACCALAUR AT G N RAL SESSION 2017 MATH MATIQUES S rie S Dur e de l preuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT Obligatoire Les calculatrices lectroniques de poche sont autoris es, conform ment la r glementation en vigueur. Le Sujet est compos de 5 exercices ind pendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r sultat pr c demment donn dans le texte pour aborder les questions suivantes, condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, m me incompl te ou non fructueuse, qu il aura d velopp e. Il est rappel que la qualit de la r daction, la clart et la pr cision des raisonnements seront prises en compte dans l appr ciation des copies. Avant de composer, le candidat s assurera que le Sujet comporte bien 9 pages num rot es de 1/9 9/9. Le Sujet comporte deux feuilles d annexes la page 8/9 et 9/9, remettre avec la copie.

2 17 MASOIN1 Page 2/9 EXERCICE 1 (5 points) Commun tous les candidats Les parties A, B et C peuvent tre trait es de fa on ind pendante. Dans tout l exercice, les r sultats seront arrondis, si n cessaire, au milli me. La chocolaterie Choc o fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annonc e est de 85 %. Partie A l issue de la fabrication, la chocolaterie consid re que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cass es, mal emball es, mal calibr es, etc. La chocolaterie dispose de deux cha nes de fabrication : la cha ne A, lente, pour laquelle la probabilit qu une tablette de chocolat soit commercialisable est gale 0,98. la cha ne B, rapide, pour laquelle la probabilit qu une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95. la fin d une journ e de fabrication, on pr l ve au hasard une tablette et on note : A l v nement : la tablette de chocolat provient de la cha ne de fabrication A ; C l v nement : la tablette de chocolat est commercialisable.

3 On note x la probabilit qu une tablette de chocolat provienne de la cha ne A. 1. Montrer que 95,003,0)(+=xCP. 2. l issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour mod liser la probabilit qu une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilit que la tablette provienne de la cha ne B est deux fois gale celle que la tablette provienne de la cha ne A. Partie B Une machine lectronique mesure la teneur en cacao d une tablette de chocolat. Sa dur e de vie, en ann es, peut tre mod lis e par une variable al atoire Z suivant une loi exponentielle de param tre . 1. La dur e de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. D terminer le param tre de la loi exponentielle. 2. Calculer (Z2)P>. 3. Sachant que la machine de l atelier a d j fonctionn pendant 3 ans, quelle est la probabilit que sa dur e de vie d passe 5 ans ? 17 MASOIN1 Page 3/9 Partie C On note X la variable al atoire donnant la teneur en cacao, exprim e en pourcentage, d une tablette de 100g de chocolat commercialisable.

4 On admet que X suit la loi normale d esp rance 85=m et d cart type 2=s. 1. Calculer )7883( XP. Quelle est la probabilit que la teneur en cacao soit diff rente de plus de 2 % du pourcentage annonc sur l emballage ? 2. D terminer une valeur approch e au centi me du r el a tel que : (85 85)0, 9 PaXa += . Interpr ter le r sultat dans le contexte de l exercice. 3. La chocolaterie vend un lot de 10 000 tablettes de chocolat une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l enseigne que, dans ce lot, 90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant l intervalle []81, 7 ; 88, 3. Afin de v rifier si cette affirmation n est pas mensong re, le responsable achat fait pr lever 550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet chantillon, 80 ne r pondent pas au crit re. Au vu de l chantillon pr lev , que peut-on conclure quant l affirmation de la chocolaterie ?

5 EXERCICE 2 ( 3 points) Commun tous les candidats On munit le plan complexe d un rep re orthonorm direct ()vuO , ; . 1. On consid re l quation ()2:60 Ezz c + = o c est un r el strictement sup rieur 9. a. Justifier que ()E admet deux solutions complexes non r elles. b. Justifier que les solutions de ()E sont 3 i9 Azc= + et 3 i9 Bzc= . 2. On note A et B les points d affixes respectives Az et Bz. Justifier que le triangle OAB est isoc le en O. 3. D montrer qu il existe une valeur du r el c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et d terminer cette valeur. 17 MASOIN1 Page 4/9 EXERCICE 3 (4 points) Commun tous les candidats Une entreprise sp cialis e dans les travaux de construction a t mandat e pour percer un tunnel flanc de montagne. Apr s tude g ologique, l entreprise repr sente dans le plan la situation de la fa on suivante : dans un rep re orthonormal, d unit 2 m, la zone de creusement est la surface d limit e par l axe des abscisses et la courbe.

6 On admet que est la courbe repr sentative de la fonction f d finie sur l intervalle []5,2 ; 5,2 par : ()5,132ln)(2+ =xxf. L objectif est de d terminer une valeur approch e, au m tre carr pr s, de l aire de la zone de creusement. Partie A : tude de la fonction f 1. Calculer '( )f x pour []2, 5 ; 2, 5x . 2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur []5,2 ; 5,2 . En d duire le signe de f sur []5,2 ; 5,2 . 17 MASOIN1 Page 5/9 Partie B : Aire de la zone de creusement On admet que la courbe est sym trique par rapport l'axe des ordonn es du rep re. 1. La courbe est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la r ponse. 2. Justifier que l aire, en m tre carr , de la zone de creusement est =520d8,x)x(fA. 3. L algorithme, donn en annexe page 8/9, permet de calculer une valeur approch e par d faut de 2,50( )dIf x x= , not e a. On admet que : (0)(2, 5)2, 5ffaIan + a. Le tableau fourni en annexe, page 8/9, donne diff rentes valeurs obtenues pour R et S lors de l ex cution de l algorithme pour n = 50.

7 Compl ter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes. b. En d duire une valeur approch e, au m tre carr pr s, de l aire de la zone de creusement. 17 MASOIN1 Page 6/9 EXERCICE 4 (5 points) Candidats n ayant pas suivi l enseignement de sp cialit On consid re deux suites ( )nu et ( )nv : la suite ( )nu d finie par 01u= et pour tout entier naturel n : 123nnuun+= + ; la suite ( )nv d finie, pour tout entier naturel n, par 2nnv=. Partie A : Conjectures Florent a calcul les premiers termes de ces deux suites l aide d un tableur. Une copie d cran est donn e ci-dessous. 1. Quelles formules ont t entr es dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ? 2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les r sultats suivants : Conjecturer les limites des suites ( )nu et nnvu. Partie B : tude de la suite ( )nu 1. D montrer par r currence que, pour tout entier naturel n, on a 223 + =nunn. 2.

8 D terminer la limite de la suite ( )nu. 3. D terminer le rang du premier terme de la suite sup rieur 1 million. Partie C : tude de la suite nnvu 1. D montrer que la suite nnvu est d croissante partir du rang 3. 2. On admet que, pour tout entier n sup rieur ou gal 4, on a : 10 2nnn<;. D terminer la limite de la suite nnvu. 17 MASOIN1 Page 7/9 EXERCICE 5 (3 points) Commun tous les candidats On consid re un cube ABCDEFGH fourni en annexe page 9/9. L'espace est rapport au rep re ()AEADABA,,; . On note le plan d quation 013121= ++zyx. Construire, sur la figure fournie en annexe page 9/ 9, la section du cube par le plan . La construction devra tre justifi e par des calculs ou des arguments g om triques. 17 MASOIN1 Page 8/9 ANNEXE compl ter et remettre avec la copie EXERCICE 3 Variables R et S sont des r els n et k sont des entiers Traitement S prend la valeur 0 Demander la valeur de n Pour k variant de 1 n faire R prend la valeur knfn5,25,2 S prend la valeur SR+ Fin Pour Afficher S Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies 610 , obtenues lors de l ex cution de l algorithme pour 50n=.

9 Initialisation 0S= 50n= Boucle Pour tape k R S 1 .. 2 0,130 060 0,260 176 3 0,129 968 0,390 144 4 0,129 837 .. 24 0,118 137 3,025 705 25 0,116 970 3,142 675 49 0,020 106 5,197 538 50 .. Affichage S= .. 17 MASOIN1 Page 9/9 ANNEXE compl ter et remettre avec la copie EXERCICE 5