T 6 I MONOMI - Zanichelli

1 268 TCAPITOLO6I MONOMIChe cosa sono i monomiI MONOMI sono le espressioni letterali pi semplici. Li troviamo spesso in leggi ma-tematiche, fisiche o economiche che legano grandezze di tipo esempio, se indichiamo con b la base di un triangolo e con h la sua altezza, la suaarea A data dalla formula Abh21=. Il prodotto bh21 un monomio un espressione letterale in cui compaiono soltanto moltiplicazio-ni fra numeri e potenze di lettere con numeri naturali per Sono MONOMI : aba23, a216, bxb2-, xyy325-, a543+` sono MONOMI : yx3, ab2+^h, ab432-, numero pu essere considerato un esempio, possiamo scrivere il numero 7 anche in tanti altri modi: 7a0(con a0!), 7b0 (con b0!), 7a0b0x0 (con , ,abx0!), Quindi 7 un particolare, 0 il monomio nullo. La riduzione di un monomio a forma normaleDEFINIZIONEUn monomio ridotto a forma normale quando scritto come prodotto fra un numero e una o pi lettere, diverse fra loro, con eventuali Sono MONOMI ridotti a forma normale: ab342, xz34-, MONOMI 6a3ab e 12a2b3(- 2)a3non sono ridotti a forma | Esercizi a p.

2 275 Listen to itA monomial is a product of numbers and powers of variables, with positive integer exponents. Fra le seguenti espres-sioni trova quali sono MONOMI e quali no. Motiva la ; 9-; a 1b2; a23-;2xaxy; a3b2 - a2b0; 1. Che cosa sono i MONOMI 269 TEORIATPer ridurre a forma normale un monomio, si applicano le propriet commutativa e associativa della moltiplicazione e la prima propriet delle potenze: aaamnmn$=+.ESEMPIO Riduciamo a forma normale il monomio 2ab2 3b3a2:2ab2 3b3a2 =Applichiamo la propriet commutativa della moltiplicazione:2 $ 3aa2b2b3 =Applichiamo la propriet associativa della moltiplicazione:(2 $ 3)(aa2)(b2b3) =Calcoliamo il prodotto dei numeri e applichiamo la prima propriet delle po- un monomio ridotto a forma normale, il fat-tore numerico il coefficiente, le lettere sono la parte ora in poi, parlando di MONOMI , intenderemo MONOMI ridotti a forma il coefficiente di un monomio uguale a 1 o a - 1, il numero 1 non si scrive e viene sottinteso.

3 Per esempio nel monomio a3b2, il coefficiente uguale a 1 e la parte letterale a3b2. Il monomio - xz4 ha coefficiente uguale a - 1. Il grado di un monomioDEFINIZIONEIl grado di un monomio rispetto a una lettera l esponente che la lettera ha nel grado (complessivo) di un monomio la somma dei gradi rispetto a tutte le lettere del rispetto ad aGrado rispetto a bab342321a4-440b101Se un monomio costituito soltanto da un numero, il suo grado 0. Per esempio, 8 un monomio di grado monomio nullo non si attribuisce alcun grado. Scrivi in forma normale i seguenti MONOMI :a66-^h; ()abab2183--; a8bc2parteletteralecoefficiente Riconosci il coeffi-ciente e la parte letterale dei seguenti ; abc213-; 2a;31-; 12; a2mn. Completa ciascun monomio in modo che abbia il grado indicato a fianco. a2b, 1 grado xby31-, 4 grado abx242, stesso grado di ay6 xy872z4, 8 gradoCapitolo monomi270 TEORIATLe operazioni con i MONOMI L addizione e la sottrazione di monomiConsideriamo l addizione: 2a2 + raccogliamo a fattore comune a2, otteniamo: (2 + 5)a2 = risultato un , l addizione 2a2 + 5a non pu essere semplificata in modo che il risultato sia un ottiene un monomio solo quando i MONOMI addendi hanno la stessa parte che hanno la stessa parte letterale si dicono 3a5 e 4a5 sono simili; 5a5 e 5a4 non sono somma o la differenza di due MONOMI ancora un monomio solo se i MONOMI sono simili fra loro.

4 In questo caso, per calcolare la somma, basta applicare la pro-priet del raccoglimento a fattore per i MONOMI , come per i numeri relativi, le operazioni di addizione e sottra-zione possono essere indicate sinteticamente con addizione algebrica e il loro risul-tato con somma Calcoliamo la somma algebrica di: 4a2b + 6a2b - 8a2b =Raccogliamo la parte letterale a fattore comune: (4 + 6 - 8)a2b =Calcoliamo la somma algebrica dei coefficienti: somma algebrica di due o pi mo nomi simili un monomio che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e la stessa parte MONOMI simili sono opposti se sono opposti i loro coefficienti. Per esempio, 2a e - 2a sono MONOMI opposti. La somma di due MONOMI opposti + (- 5ab) = 5ab - 5ab = (5 - 5)ab = per i numeri relativi, anche per i MONOMI la sottrazione pu essere considerata come un addizione con l opposto del differenza fra due MONOMI data dalla somma del primo con l opposto del secondo.

5 La moltiplicazione di monomiConsideriamo la moltiplicazione fra MONOMI : 2a2 $ le propriet commutativa e associativa della moltiplicazione e la prima propriet delle potenze, otteniamo:2a2 $ 7a3 = 2 $ 7 $ a2a3 = | Esercizi a p. 276 Sottolinea i MONOMI simili nel seguente gruppo. Per ogni monomio scrivi il suo ; ax712; 23a;ax212-; ax92. Calcola la somma e la differenza dei seguenti MONOMI . xyz21-; xyz47- 8a2x; -23a2x xy313; xy1523- by104-; by274 Paragrafo 2. Le operazioni con i MONOMI 271 TEORIATP rodotto fra monomiIl prodotto di due o pi MONOMI un monomio in cui: il coefficiente il prodotto dei coefficienti; nella parte letterale ogni lettera ha per esponente la somma degli esponenti con cui la lettera compare nei prodotto di due MONOMI sempre un monomio. Semplifica la seguente espressione:xyxyxyxyxyxyxyxy325485122122 33232445-+--+----aa^a^kkhkh. Animazione La potenza di un monomioPer eseguire la potenza di un monomio si applicano le propriet delle potenze rela-tive alla potenza di un prodotto (ab)n = anbn e alla potenza di potenza (am)n = (7a3)2 = 72(a3)2 = 49a3 $2 = di un monomioPer calcolare la potenza con esponente n di un monomio: eleviamo a esponente n il suo coefficiente; moltiplichiamo per n ognuno degli esponenti delle sue 536 15-=-=-=-$$``^` potenza con esponente 0 di un monomio diverso da 0 uguale a esempio: ()xx441300 30==$.

6 La potenza con esponente 1 di un monomio uguale al monomio esempio: ()yyy111111411414$==$. La divisione fra due monomiConsideriamo la divisione fra MONOMI : 4a2b3 | la propriet invariantiva della divisione e la propriet commutativa della moltiplicazione, mx | ny = (m | n) $ (x | y), possiamo eseguire la divisione fra i coef-ficienti e la divisione fra le parti letterali: ab b4223 2||^^ poi la seconda propriet delle potenze, aa amnmn|=-, si ottiene:(4 | 2)(a2b3| b2) = 2a2b3 - 2 = risultato ancora un monomio. Calcola i seguenti pro-dotti. ()()xx42-+ ()()yy522+- abcab c82149404245--aakk Calcola le seguenti potenze di MONOMI .()a bc2322-; ()xy553;xy21233-ak; ()x yt432--;a monomi272 TEORIATR ipetiamo le stesse operazioni in un altro caso:4a2b3 | (2b5) = (4| 2)(a2b3 | b5) = 2a2b3 - 5 = risultato non un monomio, perch l esponente di b fra monomiUn monomio (dividendo) divisibile per un altro monomio (divisore) quando in esso compaiono tutte le lettere del divisore, ognuna con esponente maggiore o uguale a quello con cui compare nel divisore.

7 In questo caso si dice che il monomio dividendo multiplo del monomio monomio divisore non pu essere il monomio nullo. Per esempio, la divisione 3a2b|0 non ha fra monomiDati i MONOMI A e B, con A divisibile per B e B0!, il quoziente di A diviso B un monomio in cui: il coefficiente il quoziente dei coefficienti; nella parte letterale ogni lettera ha per esponente la differenza tra gli espo-nenti con cui la lettera compare in A e ||||===--^^^^hhhh. possibile dividere un monomio per un qualunque numero (diverso da 0).ESEMPIOaaa2352351103$|==` numero, infatti, un particolare monomio in cui la parte letterale ha esponente massimo comune divisore e il minimo comune multiplo fra monomiI concetti di massimo comune divisore e minimo comune multiplo che abbiamo visto per i numeri naturali si possono estendere anche ai MONOMI . Esaminiamo le regole che servono per calcolarli. Listen to itA monomial P is divisible by a second monomial Q if and only if the letters in P are all raised to a power greater or equal to the corresponding powers in Q.

8 Calcola quando esiste il monomio quo-ziente delle divisioni fra MONOMI . ()abab1243|-; ()xyxy153324| ()ab cab c325222|; ()a xya xy574725| Guarda il video sulle operazioni fra MONOMI e fornisci esempi per spie-gare perch nell insieme dei MONOMI la moltipli-cazione e la potenza sono operazioni interne, mentre l addizione e la divisione non lo sono. Video Semplifica la seguente espressione: axaxaxaxxa23232943221233232355233||----+ -aa^aaakkhkkk. Animazione3| Esercizi a p. 295 Paragrafo 3. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo fra MONOMI 273 TEORIAT Il massimo comune divisoreIl massimo comune divisore (MCD) di due o pi MONOMI un monomio che ha: come coefficiente il MCD dei valori assoluti dei coefficienti, se sono tutti interi, il numero 1 se qualche monomio non ha coefficiente intero; come parte letterale il prodotto delle lettere comuni a tutti i MONOMI , ognuna presa una sola volta e con l esponente Troviamo il MCD di xyc2342, x6y, xyc523 non tutti i MONOMI hanno coefficiente intero, il coefficiente del MCD uguale a 1.

9 Mettiamo le lettere in colonna:x4 y2 cx6 yx3 y3 lettera c non pu comparire nel MCD perch non comune a tutti e tre i MONOMI ; nella colonna delle x, x3 ha l esponente minimo; nella colonna delle y, y ha l esponente pi piccolo. Il MCD x3y. Il minimo comune multiploIl minimo comune multiplo (mcm) di due o pi MONOMI un monomio che ha: come coefficiente il mcm dei valori assoluti dei coefficienti, se sono tutti interi, il numero 1 se qualche monomio non ha coefficiente intero; come parte letterale il prodotto di tutte le lettere presenti in almeno uno dei MONOMI , ognuna presa una sola volta e con l esponente Troviamo il mcm di xyc2342, x6y, xyc523 coefficiente uguale a 1. Mettiamo le lettere in colonna:x4 y2 cx6 yx3 y3 mcm devono comparire tutte le lettere, ognuna con l esponente pi alto, perch il monomio ottenuto deve essere multiplo di tutti gli altri. Il mcm x6y3c4. Calcola il MCD e il mcm dei seguenti xy1035-; xy24; a bc3410 8 6; ab842; abc126 66.

10 Animazione Listen to itThe greatest common factor (GCF) of two or more monomials is a monomial that has the highest possible degree among all the factors of the monomials. Calcola il MCD dei seguenti MONOMI . 15abc, 6b4, 9bc5 2x2y2, 16xy4, 4yz Listen to itThe least common multiple (lcm) of two or more monomials is a monomial that has the lowest possible degree among the monomials that are divisible by all of the original monomials. Calcola il mcm dei seguenti MONOMI . 2a3x, ax y3-, 3y2t p412, 8pq, 12q4 Capitolo monomi274 TEORIATIN SINTESII MONOMI Che cosa sono i monomiUn monomio un espressione letterale in cui compaiono soltanto moltiplicazioni fra numeri e potenze di lettere con numeri naturali per espo-nenti. Perci , fra le lettere, non compaiono addi-zioni, sottrazioni o un monomio 4a3b2 non un monomioUnUn monomio in forma normale scritto come monomioUn monomio in forma normale scritto come inUn monomio in forma normale scritto come formaUn monomio in forma normale scritto come normaleUn monomio in forma normale scritto come Un monomio in forma normale scritto come scrittoUn monomio in forma normale scritto come comeprodotto fra un numero (il coefficiente) e una o pi lettere diverse fra loro, con i relativi esponen-ti (la parte letterale).