Teoría Centros de Masa - unican.es

1 Jose Javier Sandon s Ruiz CALCULO DE Centros DE MASA EXPRESION general : La posici n del centro de masas de un sistema de part culas viene dada por la expresi n: ! r ! r ii!mii!=mi! r ii!M (1) donde M es la masa total del sistema de part culas. Esta es una ecuaci n vectorial, cada una de las componentes de la posici n del centro de masas vendr dada por: !mii!=mixii! !mii!=miyii! !mii!=mizii!M (2) Ejemplo: Sistema de 3 part culas: m1=1kg,m2=m3=2kg,! r 1=1,!1,0()m,! r 2=!1,2,1()m,! r 3=2,2,1()m ! r ! r ii!mii!=1,"1,0()+2"1,2,1()+22,2,1()1+2+2 m=35,75,45# $ % & m PASO AL CONTINUO: Cuando un sistema est formado por un n mero extremadamente grande de part culas (como es el caso de un s lido, un volumen l quido, etc.) Se realiza lo que se llama el paso al continuo que consiste en considerar el sistema constituido no por part culas individuales sino como un continuo de materia. En este caso se divide al sistema en peque os diferenciales de masa dm, cada uno con su posici n correspondiente.

2 Las sumas de la expresi n anterior se transforman ahora en integrales (ya que en el l mite estamos sumando un n mero infinitamente grande de cantidades infinitesimalmente peque as), y la expresi n de la posici n del centro de masas queda ahora: ! r ! r dm!dm!=! r dm!M" ! ! !M (3) Si el cuerpo es filiforme (tiene forma de hilo o alambre) los diferenciales de masa dm en que lo dividimos est n asociados a diferenciales de longitud dl: dm=!dl, donde es la densidad lineal (masa por unidad de longitud). Esta densidad lineal puede ser constante o no. En caso de que sea constante puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador simplific ndose. Las integrales se transforman en integrales de longitud y las ecuaciones (3) quedan en este caso: Jose Javier Sandon s Ruiz ! ! !L (4) donde L es la longitud total del cuerpo. Si el cuerpo tiene forma de placa los diferenciales de masa dm en que lo dividimos est n asociados a diferenciales de rea dA: dm=!

3 DA, donde es la densidad superficial (masa por unidad de superficie). Esta densidad superficial puede ser constante o no. En caso de que sea constante, igual que en el caso anterior, puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador simplific ndose. Las integrales se transforman en integrales de superficie y las ecuaciones (3) quedan en este caso: ! ! !A (5) donde A es la superficie total del cuerpo. Por ltimo, si el cuerpo es vol mico los diferenciales de masa dm en que lo dividimos est n asociados a diferenciales de volumen dV: dm=!dV, donde es la densidad vol mica (masa por unidad de volumen). Esta densidad lineal puede ser constante o no. En caso de que sea constante, como en los dos casos anteriores, puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador simplific ndose. Las integrales se transforman en integrales de volumen y las ecuaciones (3) quedan en este caso: !

4 ! !V (6) donde V es el volumen total del cuerpo. NOTA: Es un error t pico utilizar las siguientes expresiones para calcular la masa de un objeto utilizando las densidades lineal, superficial o vol mica: M=!L,M="A,M=#V Esto s lo es correcto cuando las densidades son constantes, es decir, cuando la masa del objeto est uniformemente repartida a lo largo de su longitud, superficie o volumen, seg n sea el caso. Si las densidades no son constantes la forma correcta de calcular la masa del objeto es por integraci n: M=!dl",M=#dA",M=$dV" Jose Javier Sandon s Ruiz EJEMPLOS PRACTICOS: En cualquiera de los tres casos el c lculo de la posici n del centro de masas puede realizarse de muchas formas posibles dependiendo de c mo se haya dividido el sistema en diferenciales de masa. Dependiendo de la elecci n dicho c lculo puede ser m s o menos laborioso. De forma de ilustrar diferentes formas de calcular un mismo vamos a analizar un caso concreto.

5 1) USO DE DIFERENCIALES DE MASA CORRECTOS Ejemplo: Primeramente deberemos dividir al semic rculo en diferenciales de rea y despu s aplicar las ecuaciones (5). En nuestro caso si el semic rculo se encuentra en el plano XY, no es necesario calcular la coordenada ya que todas las part culas del semic rculo tienen coordenada z nula con lo que = 0. La elecci n del diferencial de rea correcto debe hacerse de forma de poder calcular las integrales de las ecuaciones (5). En la figura de la derecha se presentan algunas de las muchas elecciones posibles de diferencial de rea. NOTA: Es un error muy com n encontrar la expresi n del diferencial de longitud, superficie o volumen, seg n sea el caso, a partir de la expresi n de la longitud, superficie o volumen total diferenciando. En el caso del ejemplo del semic rculo, su superficie total es A=12!R2. El razonamiento err neo consiste en interpretar que el diferencial de rea debe forzosamente tomar la expresi n: dA=!

6 RdR. Por un lado no tiene sentido hablar de un dR, R es el radio del semic rculo, es una constante, no una variable ! Un segundo error bastante habitual consiste en que d ndose cuenta del razonamiento err neo anterior se sustituye R por la variable r, tomando como diferencial de rea la expresi n: dA=!rdr. El origen de todos estos errores est en el concepto matem tico de diferencial. Cuando se aplica a un ejemplo concreto, el diferencial no es algo abstracto que se pueda manipular matem ticamente sin entender qu es lo que se est haciendo, sino que tiene una geometr a determinada. Se puede y se deber a dibujar, para indicar claramente con qu tipo de diferencial, de los muchos posibles con los que se puede trabajar, (ver ejemplos) estamos realmente trabajando. C lculo de la posici n del de un semic rculo homog neo (densidad superficial constante) x y R dx dr Rd dx dy dy r Jose Javier Sandon s Ruiz Para el c lculo de la coordenada el diferencial de rea escogido debe tener una coordenada x bien determinada.

7 Si escogemos el rect ngulo de lados dx, dy, todos los puntos de dicho diferencial de rea tienen la misma coordenada x (y la misma coordenada y). Nuestra integral se transformar a en una integral doble en x y en y de forma de coger los infinitos rect ngulos infinitesimalmente peque os que forman el semic rculo. Una manera de simplificar el c lculo ser a coger bandas verticales de espesor dx. Todos los puntos de dichas bandas tienen la misma coordenada x, y nuestra integral ser una integral sencilla en x, desde x igual a R hasta x igual a R: Para el c lculo de la coordenada el diferencial de rea escogido debe tener una coordenada y bien determinada. Por analog a con el c lculo anterior, nos convendr a coger bandas horizontales de espesor dy. Todos los puntos de dichas bandas tienen la misma coordenada y, y nuestra integral ser una integral sencilla en y, desde y igual a 0 hasta y igual a R: Los c lculos realizados en el ejemplo anterior no tienen por qu ser la forma m s sencilla de calcular , simplemente constituyen la forma m s directa de c lculo de de acuerdo con lo que dicta la teor a: la elecci n del diferencial de rea correcto debe hacerse de forma de poder calcular las integrales.

8 Es el tipo de c lculos que se hacen cuando no se tiene gran experiencia. A medida que se va cogiendo experiencia en este tipo de c lculos se ve la posibilidad de escoger diferenciales de masa que aunque en una primera impresi n no parecen ser los m s correctos permitir n, como vamos a ver a continuaci n, simplificar grandemente los c lculos. dx y dA=ydxx2+y2=R2! " # # $ # # %dA=R2&x2dx xdA!=xR2"x2dx"RR!="13R2"x2()3/2# $ % & ' ( "R R=0) ,=0 x dy l=2x y dA=2xdyx2+y2=R2! " # # $ # # %dA=2R2&y2dy ydA!=2yR2"y2dy0R!="23R2"y2()3/2# $ % & ' ( 0 R=23R3) ,=ydA!A=23R3*2R2=4R3* Jose Javier Sandon s Ruiz 2) USO DE DIFERENCIALES DE MASA APARENTEMENTE INCORRECTOS Repitamos de nuevo los c lculos pero cogiendo ahora como diferenciales de superficie bandas semicirculares de radio r y de espesor dr. Estos diferenciales de superficie no tienen una coordenada x o y bien determinada. Los puntos que forman estos diferenciales de superficie tienen coordenadas x que van desde r hasta r, y coordenadas y que van desde 0 hasta r.

9 A primera vista estos diferenciales de superficie no parecen ser los m s id neos para el c lculo del , sin embargo podemos interpretar estos diferenciales de superficie de espesor infinitesimal como alambres semicirculares de radio r. Bien porque lo hemos calculado anteriormente o porque disponemos de tablas sobre de diferentes cuerpos, sabemos que el centro de masas de un alambre de este tipo viene dado por la posici n: (0, 2r/ ). Esta es la posici n que va caracterizar a nuestro diferencial de superficie. dA=!rdrxbanda=0,ybanda=2r!xbandadA"=0()! rdr0R"=0# "=2r!$ % & ' !rdr0R( ) * =23r3+ , - . / 0 0R=23R3# "A=23R312!R2=4R3! Vemos que en este caso las integrales que aparecen son m s sencillas que las que aparec an en los c lculos anteriores. Otra manera de calcular el del semic rculo ser a dividiendo ste en sectores circulares de abertura d . Al igual que en el ejemplo anterior estos diferenciales no parecen ser los m s id neos ya que no tienen una coordenada x o y bien determinada.

10 Al igual que hicimos en el caso anterior podemos interpretar dichos diferenciales como tri ngulos con base Rd , y rea dA=12R2d!. Como el de un tri ngulo se encuentra a un tercio de la altura sobre la base, la posici n que va a caracterizar a nuestro diferencial de superficie ser : 23 Rcos!,23 Rsen!" # $ % . xsectordA!=23 Rcos"# $ % & 12R2d"0'( ) * =13R3sen"+ , - . / 0 0'= !=23 Rsen"# $ % & 12R2d"0'( ) * =213R3cos"+ , - . / 0 0'= !A=23R312'R2=4R3' De nuevo las integrales que surgen son m s sencillas que las que aparec an en los primeros c lculos. dr r Rd d Jose Javier Sandon s Ruiz Vemos pues que el uso de elementos de masa que en un primer momento pueden parecer inadecuados porque no tienen una coordenada x o y nica para todos sus puntos (anillos semicirculares, cu as triangulares en el ejemplo anterior) puede facilitar el c lculo del de la figura que nos interesa. Para dichos elementos de masa utilizamos como posici n representativa su propio centro de masas que ya conocemos por haberlo calculado anteriormente o por disponer de tablas.