Transformada de Fourier - Stanford University

1 Transformada de Fourier Juan-Pablo Ca ceres CCRMA. Stanford University Agosto, 2007. Contenidos Introduccio n S ntesis Aditiva Ana lisis Espectral Transformada Continua de Fourier DFT. Teoremas de Fourier FFT. Convolucio n Introduccio n Toda sen al perio dica, sin importar cuan complicada parezca, puede ser reconstruida a partir de sinusoides cuyas frecuencias son mu ltiplos enteros de una frecuencia fundamental, eligiendo las amplitudes y fases adecuadas. Matema tico france s Joseph Fourier (1768-1830). S ntesis Aditiva Reglas de la S ntesis Aditiva (o s ntesis de Fourier ): So lo sinusoides pueden ser combinadas Las frecuencias de todas las sinusoides deben estar armo nicamente relacionas So lo tenemos libertad para cada sinusoide en la eleccio n de: Frecuencia fundamental Amplitud Fase Expansio n de S ntesis Aditiva Deep Note: La pieza de mu sica por computador ma s famosa del mundo (James Andy Moorer) deep Armo nicos y Periodicidad Para una frecuencia fundamental f , cualquier mu ltiplo entero de f es un armo nico.

2 Una serie armo nica puede expresarse entonce: f + 2f + 3f + 4f + 5f + 6f + 7f + . Una funcio n (sen al) f (t) es periodica son periodo si para cualquier t, f (t) = f (t + ), ( < t < ). Ejemplo: Onda Cuadrada Ejemplos de S ntesis Aditiva: Clarinete Con las siguientes reglas se puede construir un sonido tipo clarinete: So lo los armonicos impares estan presentes La Amplitud de los armo nicos decrece a medida que el nu mero de armo nico crece No hay diferencia de fase entre los armonicos (esto simplifica la s ntesis).. X 1. s(t) = sin(n t + 0) con n impar n=1. n 1 1. s(t) = sin( t + 0) + sin(3 t + 0) + sin(5 t + 0) + . 3 5. Ana lisis Espectral Cualquier sen al (waveform) pero dica puede ser descompuesta en sinusoides Estudio de timbres musicales Clasificacio n de sonidos por contenido espectral Res ntesis usando s ntesis de Fourier Sintetizacio n de sonidos hibridos (mezcla de sonidos analizados, morphing).

3 Creacio n arbitraria de mezclas de frecuencias El espectro (analizado) del clarinete debiera verse as : Como detectamos (analizamos) las Frecuenias? En el espectro anterior, aparecen claramente la energ a de cada sinusoide del clarinete. Como detectamos esto con ana lisis? Preambulo: Multiplicacio n de Sen ales Multiplicacio n de Sen ales Detector de Frecuencias Multiplicacio n de sen ales ide nticas genera una sen al que es siempre positiva. x(t): sinusoide como sen al de prueba (sen al que sera . analizada). y(t): sen al de sondeo, sinusoide con frecuencia variable c(t): el producto de las 2 sen a les x(t)y(t). c(t) sera mayor cuando x(t) e y(t) sean ide nticas. Formalizacio n del Detector Como sen al de sondeo usamos un fasor: e j2 f t Este fasor tiene una so la componente en frecuencia.

4 Primero, multipicamos la sen a l de input con el fasor de sondeo: x(t) e j2 f t Finalmente sumamos (integramos) el producto: Z. x(t)e j2 f t Transformada Continua de Fourier Z . X(f ) = x(t)e j2 f t dt Transformada de Fourier . t: Tiempo f : Frecuencia en Hz x(t): Sen al de prueba e j2 f t : Fasor de Sondeo (Kernel Function). X(f ): Espectro en funcio n de la frecuencia f x(t) X(f ), es decir para una funcio n x(t) existe un equivalente X(f ). X(f ), el espectro, revela la fuerza (energ a) de varias componentes de frecuencia, ordenadas por frecuencia. La Transformada de Fourier actu a como un detector de energia en frecuencia-dependiente Transformada Inversa de Fourier A partir de la Transformada , podemos recuperar la sen al original tomando la Transformada Inversa de Fourier .

5 Z . x(t) = X(f )ej2 f t df Transformada Inversa de Fourier . Notar la simetr a con respecto a la Transformada de Fourier . Tranformadas Discretas (DFT). El equivalente en tiempo y frecuencia discreta es la Transformada Discreta de Fourier (DFT). N 1. X 2 j kn X[k] = x[n]e N DFT. n=0. N : Nu mero de Samplers en x[n]. x[n]: Sen al de prueba discreta (con ndice n). X[k]: Espectro en funcio n de la frecuencia discreta (con ndice k). e jk n/N : Fasor de Sondeo discreto (Kernel Function). Ejemplo n . x(n) = A sin f 2 . N. Para simplificar este analisis, descomponemos nuestra Transformada : N 1 . X 2 . X[k] = x[n] cos kn DCT. N. n=0. N 1 . X 2 . X[k] = x[n] j sin kn DST. N. n=0. Ejemplo Para simplificar ma s operemos en una DST real positiva N 1 . X 2.

6 X[k] = x[n] sin kn DST. N. n=0. Para N = 8, f = 1 y k = 1, es decir ambas sen al de sondeo y de prueba son iguales: Sample 0 1 2 3 4 5 6 7. A A. Input 0 . 2. A . 2. 0 A2 A A2. Sondeo 0 1 1 1 0 12 1 12. 2 2. A A A A. Producto 0 . 2. A . 2. 0 . 2. 0 . 2. Ejemplo n . Para x(n) = A sin f 2 N con k = f , N 1 . X 2 A A A A. x[n] sin kn =0+ +A+ +0+ +A+. N 2 2 2 2. n=0. = 4A. Para un N general, se obtiene: N 1 . 1 X 2 j A. x[n] sin kn =. N n=0 N 2. Caso de Frecuencia sin Energ a Para k = 2f N 1 . 1 X 2 . x[n] sin 2f n N N. n=0. Se hace el mismo proceso y se suman los te rminos: A A A A. 0+ +0 +0 +0+ =0. 2 2 2 2. No hay energ a en k = 2f Energ a en las Frencuencias Negativas Veamos que pasa para k = f N 1 . X 2 . x[n] sin k n n=0. N. Nuevamente haciendo la tabla y sumando, A A A A.

7 0 A + 0 A = 4A. 2 2 2 2. Normalizando: N 1 . 1 X 2 j A. x[n] sin k n = . N N 2. n=0. Sen al Combinada (Reconstruccio n). Podemos reconstruir la sen al a partir de las componentes en frecuencia, A. x[n] = [sin(f 2 n/N ) sin( f 2 n/N )]. 2. = A sin(f 2 n/N ). Si hacemos el mismo ejemplo con sen al de prueba cos(f 2 n/N ) y DCT, obtenemos: A. x[n] = [cos(f 2 n/N ) + cos( f 2 n/N )]. 2. = A cos(f 2 n/N ). DST so lo ve sen ales tipo sin, es decir componenter impares del Espectro DCT so lo ve sen ales tipo cos, es decir componenter pares del Espectro Sen ales con Fase Arbitraria Si se toma como sen al de prueba: x[n] = a cos(f 2 n/N ) + b sin(f 2 n/N ). Cualquier sen al sinusoidal con fase arbitraria puede ser representada por una suma de sin y cos: A sin( + ) = a cos + b sin.

8 Por lo tanto, usando la DCS y la DST juntas podemos detectar cualquier sen al con frecuencia y fase arbitrarias. Usando la DFT combinamos ambas en forma ma s elegante: N 1. X 2 j kn X[k] = x[n]e N DFT. n=0. Ma s Complejo es Ma s Simple Teoremas de Fourier Tenemos entonces la Transformada discreta de Fourier , N 1. X 2 j kn X[k] = x[n]e N , k = 0, 1, 2, .. , N 1 DFT. n=0. Y su inversa, N 1. 1 X 2 j x[n] = X[k]e N kn , n = 0, 1, 2, .. , N 1 IDFT. N. k=0. Definimos k , 2 k/N con lo que 2 j kn e N = ej k n Y como notacio n ocupamos el par transformado, x X ( x corresponde a X). Teoremas de Fourier Las sinusoides de la DFT sk [n] , ej k n son periodicas tal que sk [n + mN ] = sk [n] para todo entero m. Como sabemos que cualquier sen al x de largo N puede ser expresada como combinacio n lineal de las sinusoides DFT en el dominion del tiempo, 1 X.

9 X[n] = X[k]sk (n). N. k implica que x[n] fuera del rango [0, N 1] es de extensio n perio dica, , x[n + mN ] = x[n]. Esto tambien sucede con la DFT con X[k + mN ] = X[k]. Matema ticamente, las sen ales x en que se opera una DFT son samples (muestras) de 1 periodo de una sen al periodica, con periodo N T. Teoremas de Fourier Theorem (Linealidad). Para cualquier x, y CN y para , C, la DFT satisface: x + y X + Y. Theorem (Conjugado). Para cualquier x CN , x Flip(X). Flip(x) X. Teoremas de Fourier Theorem (Reverso). Para cualquier x CN , Flip(x) Flip(X). Corollary (Reverso). Para cualquier x RN , Flip(x) X. Flip(X) = X. Theorem x RN X es Hermitiano Teoremas de Fourier : Simetr a Theorem Para cualquier x RN , Re{X} es par y Im{X} es impar Theorem Para cualquier x RN , |X| es par y X es impar Theorem x par X par x real y par X real y par Teoremas de Fourier : Shift Theorem Para cualquier x CN y para cualquier entero , DF Tk [Shift (x)] = e j k X(k).

10 Sen ales de Fase Lineal Podemos escribir la Transformada de Fourier en forma polar, X[k] = G[k]ej [k]. Por el Teorema de Shift para retrasos, e j k X[k] , e j k G[k]ej [k] = G[k]ej[ [k] k ]. Esto implica que la pendiente de la curva equivale al delay en el tiempo. Pendiente negativa lineal equivale a retraso (delay). Pendiente positiva lineal equivale a adelanto e j k es conocido como termino de fase lineal Teoremas de Fourier : Zero Padding Zero padding consiste en extender la sen al con ceros, por ejemplo, ZeroPad10 ([1, 2, 3, 4, 5]) = [1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 0]. Theorem (Interpolacio n Espectral). Para sen ales de banda limitada, hacer Zero Pad en el tiempo corresponde a interpolacio n ideal en el dominio de la frecuencia. Ejemplo Vemos que en los agujeros de frecuencia si hay contenido espectral cuando hacemos la interpolacio n, Transformada Ra pida (FFT).