TRIGONOMETRÍA - unizar.es

1 CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 3. Trigonometr a Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 1 TRIGONOMETR A La trigonometr a se inicia estudiando la relaci n entre los ngulos y los lados de un tri ngulo, surgiendo las razones trigonom tricas de un ngulo y a partir de ellas las funciones trigonom tricas. MEDIDAS DE NGULOS: EL GRADO SEXAGESIMAL Y EL RADI N Dos rectas perpendiculares se cortan formando cuatro ngulos iguales, a cada uno de estos ngulos se le llama ngulo recto. Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ngulo recto, se denota 1 . Esto significa que un ngulo recto tiene 90 y que el ngulo completo cuyo arco es toda la circunferencia tiene 360 . Para medir ngulos que no corresponden a un n mero exacto de grados se utilizan como subm ltiplos la sesentava parte de un grado que se llama minuto ( ) y la sesentava parte de un minuto que se llama segundo ( ).

2 Esto significa que 1 = 60 y que 1 = 60 . Ejemplo 1: Dados = 74 16 54 y = 28 45 13 , calcular + , - , 3 , /2. + = (74 16 54 ) + (28 45 13 ) = 102 61 67 = 102 62 7 = 103 2 7 - = (74 16 54 ) - (28 45 13 ) = (73 76 54 ) - (28 45 13 ) = 45 31 41 3 = 3 (74 16 54 ) = 222 48 162 = 222 50 42 2 = 12(74 16 54 ) = 37 8 27 Un radi n es la medida de un ngulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con el que se ha trazado. Al medir los ngulos en radianes se obtienen n meros reales, por lo que las operaciones con ellos se reducen a operaciones con n meros reales y no es necesario operar como en el ejemplo 1. Cambio de unidad de medida Teniendo en cuenta que un ngulo de 360 tiene por arco toda la circunferencia, cuya longitud es L = 2 r, se tiene que en la circunferencia caben Lr ngulos de un radi n y que por tanto, 360 = Lr= CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 3.

3 Trigonometr a Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 2 2rr = 2 radianes. Con esta igualdad es f cil pasar la medida de un ngulo de grados a radianes y viceversa, por ejemplo, mediante una regla de tres. Ejemplo 2: a) Veamos cu ntos radianes mide el ngulo de 30 . Llamando x a los radianes que mide un ngulo de 30 y considerando que 360 son 2 radianes se tiene que: 360230 ------- ------- x de = = 3606 xradianes. b) Veamos cu ntos grados mide el ngulo de un radi n. Llamando x a los grados que mide un ngulo de un radi n y considerando que 360 son 2 radianes se tiene que: 360 ------- 2 ------- 1 x de donde360 = 2x grados, valor que aproximadamente es 57 17 44 . En la siguiente tabla se presentan los valores de algunos ngulos en grados y radianes: grados 0 30 45 60 90 180 270 360 radianes 0 /6 /4 /3 /2 3 /2 2 RAZONES TRIGONOM TRICAS DE UN NGULO AGUDO Si un ngulo es agudo (menor que 90 ), se puede considerar como uno de los ngulos de un tri ngulo rect ngulo, pudi ndose definir una serie de conceptos llamados razones trigonom tricas.

4 Seno de es el cociente de la longitud del cateto opuesto partido por la de la hipotenusa, se denota sen = ba Coseno de es el cociente de la longitud del cateto adyacente partido por la de la hipotenusa, se denota cos = ca Tangente de es el cociente de la longitud del cateto opuesto partido por la del cateto adyacente, se denota tg = bc Podr a pensarse que estas definiciones no son consistentes puesto que parece que dependen del tri ngulo rect ngulo que se considere. Sin embargo no es as , ya que el valor del seno, del coseno y de la tangente de un ngulo no var a aunque se considere otro tri ngulo rect ngulo, puesto que ambos son tri ngulos semejantes (por tener los tres ngulos iguales) y por tanto sus lados son proporcionales. Ejemplo 3: Determinar las razones trigonom tricas del ngulo menor del tri ngulo rect ngulo cuyos catetos miden 3 y 5 cent metros.

5 Aplicando el teorema de Pit goras la hipotenusa de este tri ngulo rect ngulo mide 2235 = 9 25 = 34++ CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 3. Trigonometr a Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 3 As : sen = 334 cos = 534 tg = 35 En la siguiente tabla figuran las razones trigonom tricas de algunos ngulos. ngulo 0 /6 /4 /3 /2 seno 0 1/2 2/2 3/2 1 coseno 1 3/2 2/2 1/2 0 tangente 0 1/3 1 3 No existe Ejemplo 4: Calcular la altura de un rbol, si desde un determinado lugar se ve entero bajo un ngulo de 60 y si nos alejamos 10 m. se ve bajo un ngulo de 30 . Llamando x a la altura del arbol e y a la distancia AB, se tiene tg30 = xy y tg60 = 10xy.

6 Sustituyendo los valores de las tangentes se obtiene el sistema siguiente:13310xyxy = = , despejando x en ambas ecuaciones e igualando queda 31033= yy, ecuaci n cuya soluci n es y = 15. Despejando x de la primera ecuaci n del sistema se obtiene que x = 155333==y es la altura del rbol. RAZONES TRIGONOM TRICAS DE UN NGULO CUALQUIERA Los valores del seno, coseno y tangente definidos anteriormente para un ngulo agudo se generalizan a continuaci n para un ngulo cualquiera . Se considera la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenas. Se representa el ngulo colocando el v rtice en el origen de coordenadas y el primer lado en el eje de abscisas. El segundo lado cortar a la circunferencia unidad en un punto P. Teniendo en cuenta que un ngulo no nulo es positivo si su arco lleva sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj y negativo si su arco lleva el mismo sentido que el movimiento de las agujas de un reloj, se define: Seno de como el valor de la ordenada del punto P.

7 Coseno de como el valor de la abscisa del punto P. Tangente de como el cociente de la ordenada entre la abscisa del punto P CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 3. Trigonometr a Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 4 Fij ndonos en el proceso de obtenci n de las razones trigonom tricas se puede observar que, dependiendo de en qu cuadrante caiga el segundo lado del ngulo, el signo del seno, del coseno y de la tangente ser positivo o negativo y que si el segundo lado coincide con alg n eje entonces el ngulo tendr alguna raz n trigonom trica nula. Las siguientes tablas recogen esta informaci n para ngulos positivos comprendidos entre 0 y 2 y para ngulos negativos entre -2 y 0: ngulo 0 (0, /2) /2 ( /2, ) ( , 3 /2) 3 /2 (3 /2, 2 ) 2 seno 0 + 1 + 0 - -1 - 0 coseno 1 + 0 - -1 - 0 + 1 tangente 0 + No existe - 0 + No existe - 0 ngulo -2 (-2 , -3 /2) -3 /2 (-3 /2,- ) - (- , - /2) - /2 (- /2, 0)

8 0 seno 0 + 1 + 0 - -1 - 0 coseno 1 + 0 - -1 - 0 + 1 tangente 0 + No existe - 0 + No existe - 0 En las tablas anteriores, se puede observar que las razones de los ngulos de -2 , 0 y 2 radianes coinciden, ello es debido a que el segundo lado de los tres ngulos caen en el mismo sitio. Lo mismo ocurre con /2 y -3 /2, con - y y con - /2 y 3 /2. Por la misma raz n si el ngulo es mayor que 2 el proceso de obtenci n de las razones trigonom tricas es el mismo, basta observar d nde cae el segundo lado del ngulo despu s de haber dado alguna o algunas vueltas completas a la circunferencia. Relaci n entre las razones trigonom tricas de un ngulo Las razones trigonom tricas de un ngulo no son independientes, ya que est n relacionadas entre s mediante ciertas igualdades, como por ejemplo: CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 3.

9 Trigonometr a Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 5 sen2 + cos2 = 1 tg = sencos 1 + tg2 = 21cos Ejemplo 5: a) Sabiendo que es un ngulo positivo menor que 3 /2 y que sen = -3/5 calcular su coseno y su tangente. Sustituyendo el valor del seno en sen2 + cos2 = 1, se tiene 925+ cos2 = 1, de donde cos = 45, a continuaci n se determina cu l de estos dos valores corresponde al del coseno pedido. Al ser un ngulo positivo menor que 3 /2 y con seno negativo al representarlo en la circunferencia unidad su segundo lado cae en el tercer cuadrante, por lo tanto su coseno es negativo, luego cos = - 45 Para calcular el valor de la tangente, se sustituye el seno y el coseno en tg = sencos , obteni ndose tg = 34. b) Sabiendo que es un ngulo positivo menor que y que tg = -1 5 calcular su seno y su coseno.

10 Sustituyendo el valor de la tangente en la igualdad 1 + tg2 = 21cos , se tiene la ecuaci n 1 + 2 25 =21cos , de donde cos = 1100102325513133 2 5 = = = . Al ser positivo, menor que y con tangente negativa es un ngulo del segundo cuadrante, por lo que el coseno es negativo, por tanto, de las dos soluciones obtenidas de la ecuaci n se concluye que cos = -213 Para calcular el valor del seno, se sustituye el coseno y la tangente en tg = sencos , obteni ndose 1510 = sen213 ,de donde se deduce que sen = 313. RELACI N ENTRE LAS RAZONES TRIGONOM TRICAS DE DOS NGULOS Dados dos ngulos, las razones trigonom tricas de uno de ellos se pueden expresar en funci n de las del otro. A continuaci n, se consideran algunos de estos casos: La suma de los ngulos es 2 (son complementarios), es decir, si uno es el otro ser 2 - y se tiene sen2 = cos cos2 = sen tg2 = 1tg Ejemplo 6: a) Escribir las razones trigonom tricas del ngulo de 75 en funci n de las de 15.