Vettori: teoria ed esercizi - lorenzoroi.net

1 VettoriTeoria ed EserciziLorenzo RoiEdizioni H ALPHAc Edizioni H ALPHA. Marzo 1999 (formato PDF)La figura di facciata costituisce un particolare dell insieme di Mandelbrot in-grandito 108volte. Coordinate sul piano complesso del centro: :Ramificazioni Nozione di vettore .. Segmenti orientati e vettori .. Somma e differenza di vettori.. Esempi ed esercizi .. Moltiplicazione scalare vettore .. Scomposizione di un vettore .. Componenti cartesiane di un vettore ..17 Capitolo Prodotto scalare .. Una propriet`a fondamentale .. Conseguenze ed esercizi .. Prodotto vettoriale .. Propriet`a ..33 AppendiciA Matrici e determinanti ..36B Alfabeto greco..40 CAPITOLO Nozione di vettoreIl concetto di vettore trova la sua origine nell ambito della Fisica inquanto in essa la descrizione basata solo su grandezze elementari quali peresempio il tempo, la massa, la temperatura, il volume, si dimostra ben prestoinadeguata alla rappresentazione degli oggetti e delle loro grandezze fisiche si distinguono perci`o essenzialmente in due grandiclassi.

2 Quelle che risultano completamente definite quando se ne conosce lasola misura rientrano nella categoria dellegrandezze scalarile altre richiedonodi norma un maggior contenuto informativo e vengono rappresentate dallegrandezze prima categoria rientrano grandezze come la lunghezza, l area, ilvolume, il tempo, la temperatura, il calore specifico, l per queste`e sufficiente fornire la loro grandezza relativamente ad una opportuna unit`adi misura: esempi tipici delle grandezze vettoriali sono invece lo spostamento,la velocit`a, l accelerazione, la forza, l quindi di introdurrequeste nuove grandezze e formalizzarne le propriet`a in un importante capitolodella Matematica come il Calcolo Vettoriale, conviene discuterne l utilit`aattraverso un esempio che ne favorisca la comprensione di voler definire con precisione la posizione finale raggiuntada una sferetta disposta inizialmente nel puntoAdel piano ( ).

3 1In realt`a si possono definire categorie pi`u generali quali le grandezze tensorialima queste esulano dagli obiettivi di questa Nozione di vettoreFig. `E evidente che se diciamo che il suo spostamento `e pari ad 1 metro, l affer-mazione non ci permette di individuare univocamente la posizione in quantoquesta pu`o trovarsi in un punto qualsiasi della circonferenza di centroAeraggio 1 pertanto aggiungere delle altre informazioni, in particolarequelle legate alla nozione geometrica di direzione. Tracciata quindi una rettarperA, cos` da rappresentare ladirezionedi moto, potremo ora individuaredue punti, definiti dalle intersezioni della circonferenza con tale retta ( ).Fig. posizione definitiva non `e ancora descritta adeguatamente e solo se ag-giungiamo in qualeversosi percorre tale retta la posizione Segmenti orientati e vettori3univocamente determinata. Cos` se associamo al piano un sistema di assicartesiani ortogonali (sulle carte geografiche questi assi si identificano conle direzioni Nord Sud ed Est Ovest),Bsar`a individuato dalle seguenti 3affermazioni:1.

4 Distanza daA:d= 1 m,2. direzione individuata dalla rettar,3. verso: Nord 3 enunciati sopra costituiscono gli elementi di base per la definizione di unanuova entit`a, ilvettore spostamentodella sferettaA, grandezza che sintetica-mente vuole riassumere il contenuto informativo delle 3 prossimi paragrafi si cercher`a di proporre una formalizzazione mate-matica di tali idee cos` da disporre di strumenti e metodi convenientementeprecisi e sintetici e in grado di descrivere un ampia gamma di situazionimatematiche e Segmenti orientati e vettoriLa definizione di segmento `e nota dalla geometria elementare. Un taleinsieme di punti verr`a indicato tramite il simbolo [AB], doveAeBcostitui-scono gli estremi del segmento. SeA6 Ballora il segmento [AB] individuaun unica retta simbolizzata che, scelta un unit`a di misura,ad ogni segmento [AB] si pu`o associare un numero reale non negativoAB,lamisura della lunghezzadi [AB].

5 Il passo successivo consiste nel definire unsegmento orientatocome quelsegmento di estremiAeBnel quale si sia assegnato un ordine e quindisi possa distinguere un punto iniziale ed uno finale. A tal fine si sceglie ilsimbolo ABconvenendo di considerareAcome il punto iniziale eBcomequello finale. Graficamente ci`o si esprime tramite una freccia che parte daAe giunge inB( ).Il simbolo BAindividua il segmento orientato opposto ad ABe si pone BA= AB. La (misura della) lunghezza3di entrambi `e ancora la medesima,AB=BA, e risulta un numero positivo seA6 Bmentre `e nulla seA tal caso il segmento orientato AA`e detto il segmento orientato futuro per non appesantire troppo la notazione e solo quando il contestonon dar`a adito ad equivoci useremo per il segmento [AB] pure la Fisica la lunghezza di tale segmento orientato si dice intensit`a o Segmenti orientati e questi nuovi enti si possono in modo del tutto naturale estendere iconcetti di parallelismo e perpendicolarit`a.

6 In particolare ABrisulta paralleload una rettarse lo sono le rettere la rettaABcio`er AB. Cos` i segmentiorientati ABe CDsi diconocollineari(o paralleli, AB CD) se esiste unalinea rettaralla quale entrambi risultano segmenti orientati possiedono lostesso verso( AB CD) se sonocollineari e le semirette [ABe [CDappartengono al medesimo semipianotra i due individuati dalla rettaAC. Se sono collineari ma le semiretteindicate appartengono ciascuna ad un diverso semipiano allora i due segmentiorientati possiedono versiopposti( AB CD) ( )..ABCDABCDFig. orientati concordi ed segmento orientato ABpu`o quindi essere posto in corrispondenzacon un altro segmento orientato CDper mezzo della sua1. lunghezza,2. collinearit`a,3. sull insieme dei segmenti orientati del piano `e possibile definire unarelazione che associ ABcon CDse e solo sea) AB CD, Segmenti orientati e vettori5b) AB CD,c)AB= che una tale relazione (detta diequipol-lenza) risulta essere una relazione di equivalenza, per cui l insieme dei seg-menti orientati si pu`o suddividere in classi di equivalenza.]]

7 Ad una singolaclasse di equivalenza apparterranno quindi tutti quei segmenti orientati ca-ratterizzati dalla medesima direzione, dall avere verso concorde ed giunge pertanto alla seguente definizione di vettore:Definizione vettore nel piano (o nello spazio) `e definito comel insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti, ossia di tutti i segmentiorientati aventi la medesima direzione, verso e simbolo che denoter`a un vettore sar`a usualmente una lettera minu-scola in grassetto comea, ,v, mentre la notazione ABindividuer`ai segmenti orientati rappresentativi del vettore. Per esempio, se ABe CDpossiedono la medesima direzione, verso e lunghezza maA6 Callora en-trambi appartengono alla medesima classe e sono rappresentativi dello stessovettorea: poniamo quindia= AB= CD( )..ABCDEFFig. orientati la direzione, verso e modulo di un vettore sono quelle di unqualsiasi segmento rappresentativo ABper cui si scrive pure|a|=| AB|= particolare il vettore nullo0`e definito come quel vettore rappresentato dasegmenti orientati nulli, per cui il suo modulo `e|0|=| AA|= veda la dispensa suInsiemi, funzioni e Somma e differenza di vettoriNaturalmente si estendono ai vettori le nozioni di collinearit`a e due vettori si diconocollineari(a b), diverso concorde(a b) o diverso opposto(a b) se lo sono i loro segmenti orientatirappresentativi.

8 Per0la direzione non `e definita nel senso che0`e collinearea qualsiasi vettore: analogamente per il suo verso. Sulla base di ci`o si pu`oconcludere chePropriet`a dell vettoriaebsono uguali (cio`e i dueinsiemi coincidono) se e solo se:a)a bb)|a|=|b|. Somma e differenza di vettoriDati due vettori `e naturale definire delle operazioni tra essi in mododa associare a ciascuna coppia un altro vettore. Prendendo spunto da unasituazione fisica, consideriamo una particella che inizialmente si sposti da unpuntoAal puntoB( ). Tale spostamento `e rappresentato dal di una particella e vettore la particella si muove daBaCe questo ulteriore spo-stamento viene rappresentato dab. Lo spostamento complessivo `e dato dalnuovo vettorec. Quest ultimo `e quello che si definisce vettore somma diaeb. DifattiDefinizione somma di due vettoriaeb`e un vettorec=a+blacui direzione e verso si ottengono nel modo seguente: si fissa il vettoreae, a partire dal suo punto estremo, si traccia ilvettoreb.

9 Il vettore che unisce l origine diacon l estremo dibforniscela sommac=a+ Somma e differenza di vettori7 Per esempio sea= AB,b= BC, alloraa+b= AB+ BC= ACossia, osservando la sequenza delle lettere nell ultima uguaglianza, il vettoresomma si ottiene omettendo le lettera comune intermedia. Questa defi-nizione, dettaregola del triangolosi pu`o generalizzare in modo del tuttointuitivo ad una somma di pi`u definizione si deducono facilmente le seguenti propriet`a:a+b=b+aProp. commutativa:(a+b) +c=a+ (b+c)Prop. associativa:a+0=aElemento neutro:In particolare dalla propriet`a commutativa discende una definizione alter-nativa della somma (o risultante) di due vettori ossia laregola del parallelo-gramma. Questa consiste nell individuare il vettore somma didue vettori noncollinearicome il vettore rappresentato dalla diagonale del parallelogrammacostruito per mezzo dei segmenti orientati rappresentativi dei due vettori edisposti in modo da avere l origine in comune ( ).

10 Aba+bFig. del parallelogramma e vettore qui alcuni esemplificazioni grafiche dei metodi appena ,b,ctre vettori qualsiasi. Per determinare la loro risultantea+b+cpossiamo procedere in diversi modi. Tramite la regola del trian-golo, riscritta la loro somma in forma alternativa per mezzo della propriet`aassociativaa+b+c= (a+b) +c, si procede costruendo dapprima il vettore(a+b) e quindi il vettore risultante lo si somma ac( ,b).Un alternativa meno laboriosa e pi`u efficace nel caso che i vettori sianonumerosi, consiste nel traslare i diversi vettori in modo che l origine di ognunocoincida con l estremo del precedente (regola del poligono). Il vettore risul-tante si ottiene quindi unendo l origine del primo con l estremo dell ultimo( ). Somma e differenza di )b)c)..b+ +b(a+b) +ca+ (b+c)a+b+cFig. di pi`u vettori e propriet`a infinea= ABun vettore rappresentato dal segmento orientato , come gi`a detto BA`e il segmento orientato opposto ad AB, `e naturaleassociare ad esso il vettore opposto dia, designato da a.