Transcription of Exo7 - Cours de mathématiques
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Exo7 - Cours de mathématiques
D veloppements limit sVid o partie 1. Formules de TaylorVid o partie 2. D veloppements limit s au voisinage d un pointVid o partie 3. Op rations sur les DLVid o partie 4. ApplicationsFiche d exercices D veloppements limit sMotivationPrenons l exemple de la fonction exponentielle. Une id e du comportement de la fonctionf(x)=expxautour dupointx=0 est donn par sa tangente, dont l quation esty=1+x. Nous avons approxim le graphe par une l on souhaite faire mieux, quelle parabole d quationy=c0+c1x+c2x2approche le mieux le graphe defautourdex=0 ? Il s agit de la parabole d quationy=1+x+12x2. Cette quation la propri t remarquable que si onnoteg(x)=expx 1+x+12x2 alorsg(0)=0,g (0)=0 etg (0)=0. Trouver l quation de cette parabole c estfaire un d veloppement limit l ordre2 de la fonctionf. Bien s r si l on veut tre plus pr cis, on continuerait avecune courbe du troisi me degr qui serait en faity=1+x+12x2+ +xy=1+x+x22y=1+x+x22+x36 Dans ce chapitre, pour n importe quelle fonction, nous allons trouver le polyn me de degr nqui approche le mieuxla fonction.
DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 1. FORMULES DE TAYLOR 2 La partie polynomiale f (0)+ f 0(0)x + + f (n)(0)xn n! est le polynôme de degré n qui approche le mieux f (x) autour de x = 0. La partie xn (x) est le « reste » dans lequel (x) est une fonction qui tend vers 0 (quand x tend vers 0) et qui est négligeable devant la partie polynomiale. 1. Formules de Taylor Nous allons voir trois …
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