Exo7 - Cours de mathématiques

1 D veloppements limit sVid o partie 1. Formules de TaylorVid o partie 2. D veloppements limit s au voisinage d un pointVid o partie 3. Op rations sur les DLVid o partie 4. ApplicationsFiche d exercices D veloppements limit sMotivationPrenons l exemple de la fonction exponentielle. Une id e du comportement de la fonctionf(x)=expxautour dupointx=0 est donn par sa tangente, dont l quation esty=1+x. Nous avons approxim le graphe par une l on souhaite faire mieux, quelle parabole d quationy=c0+c1x+c2x2approche le mieux le graphe defautourdex=0 ? Il s agit de la parabole d quationy=1+x+12x2. Cette quation la propri t remarquable que si onnoteg(x)=expx 1+x+12x2 alorsg(0)=0,g (0)=0 etg (0)=0. Trouver l quation de cette parabole c estfaire un d veloppement limit l ordre2 de la fonctionf. Bien s r si l on veut tre plus pr cis, on continuerait avecune courbe du troisi me degr qui serait en faity=1+x+12x2+ +xy=1+x+x22y=1+x+x22+x36 Dans ce chapitre, pour n importe quelle fonction, nous allons trouver le polyn me de degr nqui approche le mieuxla fonction.

2 Les r sultats ne sont valables que pourxautour d une valeur fix e (ce sera souvent autour de0). Cepolyn me sera calcul partir des d riv es successives au point consid r . Sans plus attendre, voici la formule , diteformule de Taylor-Young :f(x)=f(0)+f (0)x+f (0)x22!+ +f(n)(0)xnn!+xn (x).D VELOPPEMENTS LIMIT S1. FORMULES DETAYLOR2La partie polynomialef(0)+f (0)x+ +f(n)(0)xnn!est le polyn me de degr nqui approche le mieuxf(x)autourdex=0. La partiexn (x)est le reste dans lequel (x)est une fonction qui tend vers0 (quandxtend vers0) etqui est n gligeable devant la partie Formules de TaylorNous allons voir trois formules de Taylor, elles auront toutes la m me partie polynomiale mais donnent plus ou moinsd informations sur le reste. Nous commencerons par la formule de Taylor avec reste int gral qui donne une expressionexacte du reste. Puis la formule de Taylor avec restef(n+1)(c)qui permet d obtenir un encadrement du reste et nousterminons avec la formule de Taylor-Young tr s pratique si l on n a pas besoin d information sur le Run intervalle ouvert.

3 Pourn N , on dit quef:I Rest une fonction declasseCnsifestnfois d rivablesurIetf(n)est declasseC0sifest continue declasseC sifest de classeCnpourtoutn formule de Taylor avec reste int gralTh or me 1( formule de Taylor avec reste int gral).Soit f:I Rune fonction de classeCn+1(n N) et soit a,x I . Alorsf(x)=f(a)+f (a)(x a)+f (a)2!(x a)2+ +f(n)(a)n!(x a)n+ xaf(n+1)(t)n!(x t)nd noteronsTn(x)la partie polynomiale de la formule de Taylor (elle d pend denmais aussi defeta) :Tn(x)=f(a)+f (a)(x a)+f (a)2!(x a)2+ +f(n)(a)n!(x a) crivantx=a+h(et donch=x a) la formule de Taylor pr c dente devient (pour toutaeta+hdeI) :f(a+h)=f(a)+f (a)h+f (a)2!h2+ +f(n)(a)n!hn+ h0f(n+1)(a+t)n!(h t)nd tExemple fonctionf(x)=expxest de classeCn+1surI=Rpour toutn. Fixonsa R. Commef (x)=expx,f (x)=expx,.. alors pour toutx R:expx=expa+expa (x a)+ +expan!(x a)n+ xaexptn!(x t)nd s r si l on se place ena=0 alors on retrouve le d but de notre approximation de la fonction exponentielle enx=0 : expx=1+x+x22!

4 +x33!+ Preuve du th or cette formule de Taylor par r currence surk6n:f(b)=f(a)+f (a)(b a)+f (a)2!(b a)2+ +f(k)(a)k!(b a)k+ baf(k+1)(t)(b t)kk!d t.(Pour viter les confusions entre ce qui varie et ce qui est fixe dans cette preuve on remplacexparb.) , une primitive def (t)estf(t)donc baf (t)d t=f(b) f(a), doncf(b)=f(a)+ baf (t)d t. (On rappelle que par convention(b t)0=1 et 0!=1.)H r dit .Supposons la formule vraie au rangk 1. Elle s critf(b)=f(a)+f (a)(b a)+ +f(k 1)(a)(k 1)!(b a)k 1+ baf(k)(t)(b t)k 1(k 1)!d VELOPPEMENTS LIMIT S1. FORMULES DETAYLOR3On effectue une int gration par parties dans l int grale baf(k)(t)(b t)k 1(k 1)!d t. En posantu(t)=f(k)(t)etv (t)=(b t)k 1(k 1)!,on au (t)=f(k+1)(t)etv(t)= (b t)kk!; alors baf(k)(t)(b t)k 1(k 1)!d t= f(k)(t)(b t)kk! ba+ baf(k+1)(t)(b t)kk!d t=f(k)(a)(b a)kk!+ baf(k+1)(t)(b t)kk!d lorsque l on remplace cette expression dans la formule au rangk 1 on obtient la formule au le principe de r currence la formule de Taylor est vraie pour tous les entiersnpour lesquelsfestclasseCn+ formule de Taylor avec restef(n+1)(c)Th or me 2( formule de Taylor avec restef(n+1)(c)).

5 Soit f:I Rune fonction de classeCn+1(n N) et soit a,x I . Il existe un r el c entre a et x tel que :f(x)=f(a)+f (a)(x a)+f (a)2!(x a)2+ +f(n)(a)n!(x a)n+f(n+1)(c)(n+1)!(x a)n+ ,x R. Pour tout entiern>0 il existecentreaetxtel queexpx=expa+expa (x a)+ +expan!(x a)n+expc(n+1)!(x a)n+ la plupart des cas on ne conna tra pas cec. Mais ce th or me permet d encadrer le reste. Ceci s exprime par lecorollaire suivant :Corollaire en plus la fonction|f(n+1)|est major e sur I par un r el M , alors pour tout a,x I , on a : f(x) Tn(x) 6M|x a|n+1(n+1)! Exemple de sin(0, 01).Soitf(x)=sinx. Alorsf (x)=cosx,f (x)= sinx,f(3)(x)= cosx,f(4)(x)=sinx. On obtient doncf(0)=0,f (0)=1,f (0)=0,f(3)(0)= 1. La formule de Taylor ci-dessus ena=0 l ordre3 devient :f(x)=0+1 x+0 x22! 1x33!+f(4)(c)x44!, c est- -diref(x)=x x36+f(4)(c)x424, pour un certaincentre 0 ceci pourx=0, 01. Le reste tant petit on trouve alorssin(0, 01) 0, 01 (0, 01)36=0, 00999983333.

6 On peut m me savoir quelle est la pr cision de cette approximation : commef(4)(x)=sinxalors|f(4)(c)|61. Donc f(x) x x36 6x44!. Pourx=0,01cela donne : sin(0,01) 0,01 (0,01)36 6(0,01)424. Comme(0,01)424 4,16 10 10alors notre approximation donne au moins 8 chiffres exacts apr s la Dans ce th or me l hypoth sefde classeCn+1peut- tre affaiblie enfest n+1 fois d rivable surI . le r elcest entreaetx signifie c ]a,x[ouc ]x,a[ . Pourn=0 c est exactement l nonc du th or me des accroissements finis : il existec ]a,b[tel quef(b)=f(a)+f (c)(b a). SiIest un intervalle ferm born etfde classeCn+1, alorsf(n+1)est continue surIdonc il existe unMtel que|f(n+1)(x)|6 Mpour toutx I. Ce qui permet toujours d appliquer le la preuve du th or me nous aurons besoin d un r sultat pr VELOPPEMENTS LIMIT S1. FORMULES DETAYLOR4 Lemme 1( galit de la moyenne).Supposonsa<bet soientu,v:[a,b] Rdeux fonctions continues avecvpositive ou nulle. Alors il existec [a,b]tel que bau(t)v(t)d t=u(c) bav(t)d [a,b]u(t)etM=supt [a,b]u(t).

7 On a alorsm bav(t)d t6 bau(t)v(t)d t6M bav(t)d t(carv>0). Ainsim6 bau(t)v(t)d t bav(t)d t6M. Puisqueuest continue sur[a,b]elle prend toutes les valeurscomprises entremetM(th or me des valeurs interm diaires). Donc il existec [a,b]avecu(c)= bau(t)v(t)d t bav(t)d du th or la preuve nous montrerons la formule de Taylor pourf(b)en supposanta<b. Nousmontrerons seulementc [a,b]au lieu dec ]a,b[.Posonsu(t)=f(n+1)(t)etv(t)=(b t)nn!(qui est bien positive ou nulle). La formule de Taylor avec reste int gral s critf(b)=Tn(a)+ bau(t)v(t)d t. Par le lemme, il existec [a,b]tel que bau(t)v(t)d t=u(c) bav(t)d t. Ainsi lereste est bau(t)v(t)d t=f(n+1)(c) ba(b t)nn!d t=f(n+1)(c) (b t)n+1(n+1)! ba=f(n+1)(c)(b a)n+1(n+1)!. Ce qui donne la formulerecherch formule de Taylor-YoungTh or me 3( formule de Taylor-Young).Soit f:I Rune fonction de classeCnet soit a I . Alors pour tout x I on a :f(x)=f(a)+f (a)(x a)+f (a)2!(x a)2+ +f(n)(a)n!(x a)n+(x a)n (x),o est une fonction d finie sur I telle que (x) x monstration.

8 F tant une fonction de classeCnnous appliquons la formule de Taylor avec restef(n)(c)au rangn 1. Pour toutx, il existec=c(x)compris entreaetxtel quef(x)=f(a)+f (a)(x a)+f (a)2!(x a)2+ +f(n 1)(a)(n 1)!(x a)n 1+f(n)(c)n!(x a) nous r crivons :f(x)=f(a)+f (a)(x a)+f (a)2!(x a)2+ +f(n)(a)n!(x a)n+f(n)(c) f(n)(a)n!(x a) pose (x)=f(n)(c) f(n)(a)n!. Puisquef(n)est continue et quec(x) aalorslimx a (x)= Un exempleSoitf:] 1,+ [ R,x7 ln(1+x);fest infiniment d rivable. Nous allons calculer les formules de Taylor en0pour les premiers d abordf(0)=0. Ensuitef (x)=11+xdoncf (0)=1. Ensuitef (x)= 1(1+x)2doncf (0)= 1. Puisf(3)(x)=+21(1+x)3doncf(3)(0)=+2. Par r currence on montre quef(n)(x)=( 1)n 1(n 1)!1(1+x)net doncf(n)(0)=( 1)n 1(n 1)!. Ainsi pourn>0 :f(n)(0)n!xn=( 1)n 1(n 1)!n!xn=( 1)n donc les premiers polyn mes de Taylor :T0(x)=0T1(x)=xT2(x)=x x22T3(x)=x x22+x33 Les formules de Taylor nous disent que les restes sont de plus en plus petits lorsquencro t.

9 Sur le dessins les graphesdes polyn mesT0,T1,T2,T3s approchent de plus en plus du graphe def. Attention ceci n est vrai qu autour de VELOPPEMENTS LIMIT S1. FORMULES DETAYLOR5xy101y=ln(1+x)y=0y=xy=x x22y=x x22+x33 Pournquelconque nous avons calcul que le polyn me de Taylor en 0 estTn(x)=n k=1( 1)k 1xkk=x x22+x33 +( 1)n R sum Il y a donc trois formules de Taylor qui s crivent toutes sous la formef(x)=Tn(x)+Rn(x)o Tn(x)est toujours le m me polyn me de Taylor :Tn(x)=f(a)+f (a)(x a)+f (a)2!(x a)2+ +f(n)(a)n!(x a) est l expression du resteRn(x)qui change (attention le reste n a aucune raison d tre un polyn me).Rn(x)= xaf(n+1)(t)n!(x t)nd tTaylor avec reste int gralRn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x a)n+1 Taylor avec restef(n+1)(c),centreaetxRn(x)=(x a)n (x)Taylor-Young avec (x) x a0 Selon les situations l une des formulations est plus adapt e que les autres. Bien souvent nous n avons pas besoin debeaucoup d information sur le reste et c est donc la formule de Taylor-Young qui sera la plus que les trois formules ne requi rent pas exactement les m mes hypoth ses : Taylor avec reste int gral l ordrenexige une fonction de classeCn+1, Taylor avec reste une fonctionn+1 fois d rivable, et Taylor-Young une fonctionCn.

10 Une hypoth se plus restrictive donne logiquement une conclusion plus forte. Cela dit, pour les fonctions de classeC que l on manipule le plus souvent, les trois hypoth ses sont toujours v rifi terme(x a)n (x)o (x) x 00 est souvent abr g en petit o de(x a)net est not o((x a)n).Donco((x a)n)est une fonction telle quelimx ao((x a)n)(x a)n=0. Il faut s habituer cette notation qui simplifie les critures, mais il faut toujours garder l esprit ce qu elle particulier : formule de Taylor-Young au voisinage se ram ne souvent au cas particulier o a=0, laformule de Taylor-Young s crit alorsf(x)=f(0)+f (0)x+f (0)x22!+ +f(n)(0)xnn!+xn (x)D VELOPPEMENTS LIMIT S2. D VELOPPEMENTS LIMIT S AU VOISINAGE D UN POINT6o limx 0 (x)= avec la notation petit o cela donne :f(x)=f(0)+f (0)x+f (0)x22!+ +f(n)(0)xnn!+o(xn) crire les trois formules de Taylor en 0 pourx7 cosx,x7 exp( x)etx7 crire les formules de Taylor en 0 l ordre 2 pourx7 1p1+x,x7 crire les formules de Taylor en 1 pourx7 x3 9x2+14x+ Avec une formule de Taylor l ordre 2 dep1+x, trouver une approximation dep1, 01.