Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de ...

1 Fonctions usuelles Vid o partie 1. Logarithme et exponentielle Vid o partie 2. Fonctions circulaires inverses Vid o partie 3. Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses Fiche d' exercices Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Vous connaissez d j des fonctions classiques : exp, ln, cos, sin, tan. Dans ce chapitre il s'agit d'ajouter notre catalogue de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth. Ces fonctions apparaissent naturellement dans la r solution de probl mes simples, en particulier issus de la physique. Par exemple lorsqu'un fil est suspendu entre deux poteaux (ou un collier tenu entre deux mains) alors la courbe dessin e est une cha nette dont l' quation fait intervenir le cosinus hyperbolique et un param tre a (qui d pend de la longueur du fil et de l' cartement des poteaux) : x . y = a ch a 1. Logarithme et exponentielle Logarithme Proposition 1. Il existe une unique fonction , not e ln :]0, + [ R telle que : 1.

2 Ln0 (x) = (pour tout x > 0) et ln(1) = 0. x De plus cette fonction v rifie (pour tout a, b > 0) : 1. ln(a b) = ln a + ln b, 2. ln( 1a ) = ln a, 3. ln(a n ) = n ln a, (pour tout n N). 4. ln est une fonction continue, strictement croissante et d finit une bijection de ]0, + [ sur R, ln(1+x). 5. lim x 0 x = 1, 6. la fonction ln est concave et ln x 6 x 1 (pour tout x > 0). FONCTIONS USUELLES 1. LOGARITHME ET exponentielle 2. y ln x 1. 0 1 e x Remarque. ln x s'appelle le logarithme naturel ou aussi logarithme n perien. Il est caract ris par ln(e) = 1. On d finit le logarithme en base a par ln(x). loga (x) =. ln(a). De sorte que loga (a) = 1. Pour a = 10 on obtient le logarithme d cimal log10 qui v rifie log10 (10) = 1 (et donc log10 (10n ) = n). Dans la pratique on utilise l' quivalence : x = 10 y y = log10 (x). En informatique intervient aussi le logarithme en base 2 : log2 (2n ) = n. Rx 1. D monstration. L'existence et l'unicit viennent de la th orie de l'int grale : ln(x) = 1 t d t.

3 Passons aux propri t s. y 0. 1. Posons f (x) = ln(x y) ln(x) o y > 0 est fix . Alors f (x) = y ln (x y) ln (x). 0 0. 1x = 0. Donc x 7 f (x) a = xy une d riv e nulle, donc est constante et vaut f (1) = ln( y) ln(1) = ln( y). Donc ln(x y) ln(x) = ln( y). 2. D'une part ln(a 1a ) = ln a + ln 1a , mais d'autre part ln(a 1a ) = ln(1) = 0. Donc ln a + ln 1a = 0. 3. Similaire ou r currence. 4. ln est d rivable donc continue, ln0 (x) = 1x > 0 donc la fonction est strictement croissante. Comme ln(2) > ln(1) = 0. alors ln(2n ) = n ln(2) + (lorsque n + ). Donc lim x + ln x = + . De ln x = ln 1x on d duit lim x 0 ln x = . Par le th or me sur les fonctions continues et strictement croissantes, ln :]0, + [ R est une bijection. ln(1+x). 5. lim x 0 x est la d riv e de ln au point x 0 = 1, donc cette limite existe et vaut ln0 (1) = 1. 1. 6. ln0 (x) est concave. Posons f (x) = x 1 ln x ; f 0 (x) = 1 1x . Par une = x est d croissante, donc la fonction ln tude de fonction f atteint son minimum en x 0 = 1.

4 Donc f (x) > f (1) = 0. Donc ln x 6 x 1. exponentielle D finition 1. La bijection r ciproque de ln :]0, + [ R s'appelle la fonction exponentielle , not e exp : R ]0, + [. FONCTIONS USUELLES 1. LOGARITHME ET exponentielle 3. y exp x e 1. 0 1 x Pour x R on note aussi e x pour exp x. Proposition 2. La fonction exponentielle v rifie les propri t s suivantes : exp(ln x) = x pour tout x > 0 et ln(exp x) = x pour tout x R. exp(a + b) = exp(a) exp(b). exp(nx) = (exp x)n exp : R ]0, + [ est une fonction continue, strictement croissante v rifiant lim x exp x = 0 et lim x + exp = + . La fonction exponentielle est d rivable et exp0 x = exp x, pour tout x R. Elle est convexe et exp x > 1 + x. Remarque. La fonction exponentielle est l'unique fonction qui v rifie exp0 (x) = exp(x) (pour tout x R) et exp(1) = e. O . e ' 2, 718 .. est le nombre qui v rifie ln e = 1. D monstration. Ce sont les propri t s du logarithme retranscrites pour sa bijection r ciproque.

5 Par exemple pour la d riv e : on part de l' galit ln(exp x) = x que l'on d rive. Cela donne exp0 (x) ln0 (exp x) = 1. donc exp0 (x) exp1 x = 1 et ainsi exp0 (x) = exp x. Puissance et comparaison Par d finition, pour a > 0 et b R, . a b = exp b ln a Remarque. p 1. 1.. a = a 2 = exp 2 ln a p 1. 1.. a = a n = exp n ln a (la racine n- me de a). n . On note aussi exp x par e x ce qui se justifie par le calcul : e x = exp x ln e = exp(x). Les fonctions x 7 a x s'appellent aussi des fonctions exponentielles et se ram nent syst matiquement la fonction exponentielle classique par l' galit a x = exp(x ln a). Il ne faut surtout pas les confondre avec les fonctions puissances x 7 x a . Proposition 3. Soit x, y > 0 et a, b R. x a+b = x a x b 1. x a = xa (x y)a = x a y a (x a ) b = x ab FONCTIONS USUELLES 1. LOGARITHME ET exponentielle 4. ln(x a ) = a ln x Comparons les fonctions ln x, exp x avec x : Proposition 4. ln x exp x lim =0 et lim = + . x + x x + x xa (a > 1).

6 Y exp x x xa (a < 1). ln x 1. 0 1 x D monstration. p 1. On a vu ln x 6 x 1 (pour tout x > 0). Donc ln x 6 x donc lnp xx 6 1. Cela donne p . ln x 2 p p ln x ln x ln x 1 2. 06 = =2 =2 p p 6 p x x x x x x ln x Cette double in galit entra ne lim x + x = 0. 2. On a vu exp x > 1 + x (pour tout x R). Donc exp x + (lorsque x + ). x ln(exp x) ln u = =. exp x exp x u ln u x Lorsque x + alors u = exp x + et donc par le premier point u 0. Donc exp x 0 et reste positive, exp x ainsi lim x + x = + . Mini- exercices . 1. Montrer que ln(1 + e x ) = x + ln(1 + e x ), pour tout x R. 2. tudier la fonction f (x) = ln(x 2 + 1) ln(x) 1. Tracer son graphe. R soudre l' quation ( f (x) = 0). Idem avec g(x) = 1+ln x x . Idem avec h(x) = x . x 3. Expliquer comment log10 permet de calculer le nombre de chiffres d'un entier n. x2 2. 4. Montrer ln(1 + x) > x 2 pour x > 0 (faire une tude de fonction ). Idem avec e x > 1 + x + x2 pour tout x > 0. n n 1. 5. Calculer la limite de la suite d finie par un = 1 + 1n lorsque n +.

7 Idem avec vn = 1n et w n = n n . FONCTIONS USUELLES 2. FONCTIONS CIRCULAIRES INVERSES 5. 2. Fonctions circulaires inverses Arccosinus Consid rons la fonction cosinus cos : R [ 1, 1], x 7 cos x. Pour obtenir une bijection partir de cette fonction , il faut consid rer la restriction de cosinus l'intervalle [0, ]. Sur cet intervalle la fonction cosinus est continue et strictement d croissante, donc la restriction cos| : [0, ] [ 1, 1]. est une bijection. Sa bijection r ciproque est la fonction arccosinus : arccos : [ 1, 1] [0, ]. y +1. x 2 0 . 2. 1 cos x y arccos x .. 2. x 1 0 1. On a donc, par d finition de la bijection r ciproque : . cos arccos(x) = x x [ 1, 1]. arccos cos(x) = x x [0, ]. Autrement dit : Si x [0, ] cos(x) = y x = arccos y Terminons avec la d riv e de arccos : 1. arccos0 (x) = p x ] 1, 1[. 1 x2. D monstration. On d marre de l' galit cos(arccos x) = x que l'on d rive : cos(arccos x) = x = arccos0 (x) sin(arccos x) = 1. 1.

8 = arccos0 (x) =. sin(arccos x). 1. = arccos0 (x) = p ( ). 1 cos2 (arccos x). 1. = arccos0 (x) = p 1 x2. FONCTIONS USUELLES 2. FONCTIONS CIRCULAIRES INVERSES 6. Le point crucial ( ) se justifie ainsi : on d marre de l' galit cos2 y + sin2 y = 1, en substituant y = arccos x on obtient p cos2 (arccos x) + sin2 (arccos x) = 1 donc x 2 + sin2 (arccos x) = 1. On en d duit : sin(arccos x) = + 1 x 2 (avec le signe + car arccos x [0, ], et donc on a sin(arccos x) > 0). Arcsinus La restriction sin| : [ 2 , + 2 ] [ 1, 1]. est une bijection. Sa bijection r ciproque est la fonction arcsinus : arcsin : [ 1, 1] [ 2 , + 2 ]. y . 2 arcsin x y +1 sin x x 1 0 1. x 2 0 . 2. 2. 1.. sin arcsin(x) = x x [ 1, 1]. arcsin sin(x) = x x [ 2 , + 2 ]. Si x [ 2 , + 2 ] sin(x) = y x = arcsin y 1. arcsin0 (x) = p x ] 1, 1[. 1 x2. Arctangente La restriction tan| :] 2 , + 2 [ R. est une bijection. Sa bijection r ciproque est la fonction arctangente : arctan : R ] 2 , + 2 [.

9 FONCTIONS USUELLES 3. FONCTIONS HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES INVERSES 7. y tan x x 2 . 2. 3 . 2. y . 2. arctan x 0 x 2.. tan arctan(x) = x x R. arctan tan(x) = x x ] 2 , + 2 [. Si x ] 2 , + 2 [ tan(x) = y x = arctan y 1. arctan0 (x) = x R. 1 + x2. Mini- exercices . p p p 1. Calculer les valeurs de arccos et arcsin en 0, 1, 12 , 2. 2. , 3. 2 . Idem pour arctan en 0, 1, 3 et p1 . 3. 2. Calculer arccos(cos 7 7 7 . 3 ). Idem avec arcsin(sin 3 ) et arctan(tan 3 ) (attention aux intervalles !). 3. Calculer cos(arctan x), cos(arcsin x), tan(arcsin x).. x 4. Calculer la d riv e de f (x) = arctan p1 x 2.. En d duire que f (x) = arcsin x, pour tout x ] 1, 1[. 5. Montrer que arccos x + arcsin x = 2 , pour tout x [ 1, 1]. 3. Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses Cosinus hyperbolique et son inverse Pour x R, le cosinus hyperbolique est : e x + e x ch x =. 2. La restriction ch| : [0, + [ [1, + [ est une bijection. Sa bijection r ciproque est Argch : [1, + [ [0, + [.]]]]]]]]

10 FONCTIONS USUELLES 3. FONCTIONS HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES INVERSES 8. y chx shx y 1 Argshx Argchx 1. 0 1 x 0 1 x Sinus hyperbolique et son inverse Pour x R, le sinus hyperbolique est : e x e x sh x =. 2. sh : R R est une fonction continue, d rivable, strictement croissante v rifiant lim x sh x = et lim x + sh x = + , c'est donc une bijection. Sa bijection r ciproque est Argsh : R R. Proposition 5. 2 2. ch x sh x = 1. 0 0. ch x = sh x, sh x = ch x Argsh : R R est strictement croissante et continue. 0 1. Argsh est d rivable et Argsh x = p x 2 +1 . p . Argsh x = ln x + x 2 + 1. D monstration. 1. 2 2. 1 . ch x sh x = 4 (e x + e x )2 (e x e x )2 = 4 (e2x + 2 + e 2x ) (e2x 2 + e 2x ) = 1. d d e +e x x e e x x d x (ch x) = d x 2 = 2 = sh x. Idem pour la d riv e de sh x. Car c'est la r ciproque de sh. 0. Comme la fonction x 7 sh x ne s'annule pas sur R alors la fonction Argsh est d rivable sur R. On calcule la d riv e par d rivation de l' galit sh(Argsh x) = x : 1 1 1.