Chapitre 1 Exponentielle et logarithme népérien

1 Chapitre 1. Exponentielle et logarithme n p rien L' tude de fonctions en Terminale est essentiellement bas e sur deux fonctions : Exponentielle et logarithme n p rien. Il faut donc conna tre parfaitement leurs d finitions et leurs propri t s pour pouvoir traiter les probl mes de BAC. Les trois pages qui suivent constituent les connaissances essentielles. Elles permettront d'aborder les trois chapitres suivants qui traiteront de l' tude de fonctions. 7 12/02/2018 13:46:42. 1 La fonction Exponentielle La d finition La fonction Exponentielle f ( x ) = e x sur est d finie comme la fonction dont la d riv e est elle-m me et dont l'image en 0 vaut 1. D'o (e x )' = e x et e0 = 1. Le graphique Conna tre le graphique de la fonction Exponentielle permet de conna tre ses principales caract ristiques.

2 1. On remarque deux notations importantes : e1 = e et e-1 = . e Les propri t s alg briques 1. Pour x, y : e x e y = e x+ y ; e- x = x e ex n = e x- y ; (e x ) = e nx , n . ey quations et in quations e x = e y ssi x = y ; e x > e y ssi x > y 8 Chapitre 1. 8 12/02/2018 13:46:43. 2 La fonction logarithme n p rien La d finition La fonction logarithme n p rien f ( x ) = lnx sur ]0;+ [ est d finie comme la fonction donnant l'unique solution de l' quation e y = x pour x > 0 . D'o e y = x ssi y = lnx. 1. On a aussi la d riv e de cette fonction : (lnx )' = . x Le graphique Conna tre le graphique de la fonction logarithme n p rien permet de conna tre ses principales caract ristiques. Les propri t s alg briques 1.

3 Pour x, y > 0 : ln ( xy ) = lnx + lny ; ln = -lnx x x . ln = lnx - lny ; (lnx n ) = nlnx, n . y . quations et in quations Pour x, y > 0 : lnx = lny ssi x = y ; lnx > lny ssi x > y Exponentielle et logarithme n p rien 9. 9 12/02/2018 13:46:43. 3 Les relations entre Exponentielle et logarithme Ces deux fonctions sont appel es des fonctions r ciproques : l'une limine . l'autre et r ciproquement. D'o les deux relations suivantes : ln (e x ) = x pour x . elnx = x pour x > 0. Ces deux relations seront tr s utiles pour r soudre des quations et in quations comportant un Exponentielle ou un logarithme n p rien : pour faire dispara tre un Exponentielle gauche, faire appara tre un logarithme droite : e X = a avec a > 0 ssi X = lna pour faire dispara tre un logarithme gauche, faire appara tre un exponen- tielle droite : lnX = a ssi X = e a Ces deux principes sont bien s r aussi valables pour r soudre des in quations.

4 10 Chapitre 1. 10 12/02/2018 13:46:43. Les exercices corrig s Exercice 1. 1. On consid re la fonction f d finie sur [0;1] par : f ( x ) = . 1+ e1- x ex D montrer que pour tout r el x de [0;1], f ( x ) = . ex + e Pour montrer que deux quantit s A et B sont gales, le principe est le suivant : partir de A pour aller B ou partir de B pour aller A. Pour les cas un peu plus compliqu , on peut aussi partir de A et de B pour arriver une troisi me quantit C. R ponse Premi re solution : on part de A. 1 ex 1. f ( x) = 1- x = x (on multiplie par ex le haut et le bas). 1+ e e 1+ e1- x ex ex = x x 1- x = x (car e x e y = e x+ y ). e + e e e + e x+1- x ex ex = x 1= x (car e1 = e ). e +e e +e ex On a bien f ( x ) = x.

5 E +e Deuxi me solution : on part de B. ex ex e x (1). = = (on factorise par ex le haut et le bas). e x + e e x + e1 e1 . x . e 1+ x . e . e x 1 1 ex = x = = f ( x ) (car = e x- y ). e 1+ e1- x 1+ e1- x ey ex On a bien f ( x ) = x . e +e Exponentielle et logarithme n p rien 11. 11 12/02/2018 13:46:43. Les exercices corrig s Exercice 2. On consid re la fonction f d finie sur l'intervalle [ 2;2e ] par : x . f ( x) = xln - x + 2 . 2 . Justifier que les points B (2e;2) et I (2;0) appartiennent la courbe C f repr - sentative de f. Un point M(x;y) appartient la courbe repr sentant une fonction f ssi f ( x ) = y . Il faut donc faire l'image du x et comparer le r sultat avec y. On utilise lne = 1 et ln1 = 0.

6 R ponse 2e . B (2e;2) C f ? ; f ( 2e) = 2e ln - 2e+ 2. 2 . = 2e lne - 2e+ 2 = 2e 1- 2e+ 2 = 2e - 2e+ 2 = 2. Le point B appartient donc bien C f . I (2;0) C f ? 2 . f (2) = 2ln - 2 + 2 = 2ln1 = 2 0 = 0. 2 . Le point I appartient donc bien C f . Exercice 3. Soit f la fonction d finie sur par f ( x ) = x - ln ( x 2 +1). R soudre l' quation f ( x ) = x. Pour r soudre une quation comportant un logarithme , il faut isoler ce logarithme , puis utiliser l' Exponentielle pour le faire dispara tre. 12 Chapitre 1. 12 12/02/2018 13:46:43. Les exercices corrig s R ponse f ( x) = x ssi x - ln ( x 2 +1) = x ssi -ln ( x 2 +1) = 0. ssi ln ( x 2 +1) = 0. ssi x 2 +1 = e0 (disparition de ln et apparition de e). ssi x 2 +1 = 1 ssi x 2 = 0 ssi x = 0.

7 L' quation a donc pour solution x = 0. Exercice 4. On note f(t) la concentration plasmatique, exprim e en microgramme par litre ( ), du m dicament, au bout de t heures apr s administration par voie intraveineuse. Le mod le math matique est : f (t ) = 20e-0,1t avec t [0;+ [. La concentration initiale du m dicament est donc f (0) = 20 1. La demi-vie du m dicament est la dur e (en heures) apr s laquelle la concentration du m dicament est gale la moiti de la concentration ini- tiale. D terminer cette demi-vie t0,5. 2. On estime que le m dicament est limin d s que la concentration plas- matique est inf rieure 0, 2 D terminer le temps partir duquel le m dicament est limin . On donnera le r sultat arrondi au dixi me.]]

8 1. R ponse Pour r soudre une quation comportant un Exponentielle , il faut isoler l' Exponentielle , puis utiliser le logarithme pour le faire dispara tre. -1. La concentration initiale est de 20 , il faut donc r soudre l' quation f (t ) = 10. Exponentielle et logarithme n p rien 13. 13 12/02/2018 13:46:44. Les exercices corrig s 1. f (t ) = 10 ssi 20e-0,1t = 10 ssi e-0,1t =. 2. 1 . ssi -0,1t = ln (disparition de e et apparition de ln). 2 . 1. ssi -0,1t = -ln2 (car ln = -lnx ). x 1. ssi 0,1t = ln2 ssi t = ln2 ssi t = 10ln2. 0,1. On a donc la demi-vie t0,5 = 10ln2. 2. R ponse Pour r soudre une in quation comportant un Exponentielle , il faut isoler l' Exponentielle , puis utiliser le logarithme pour le faire dispara tre.

9 Il faut r soudre l'in quation f (t ) < 0,2. f (t ) < 0,2 ssi 20e-0,1t < 0,2 ssi e-0,1t < 0,01. ssi -0,1t < ln0,01 (disparition de e et apparition de ln). ln0,01. ssi t > 46,1 (symbole invers car on divise par un n gatif). -0,1. Le m dicament sera donc limin environ au bout de 46,1 heures. Exercice 5. La masse de bact ries est mod lis e par la fonction f d finie sur ]0;+ [ par : 50. f (t ) = . 1+ 49e-0,2t t repr sente le temps exprim en jours et f(t) repr sente la masse, exprim e en kg, de bact ries au temps t. On cherche savoir au bout de combien de jours la masse de bact ries d pas- sera 30 kg. R soudre l'in quation d'inconnue t : f (t ) > 30. En d duire la r ponse au probl me. 14 Chapitre 1. 14 12/02/2018 13:46:44.