Plan du chapitre - maths-france.fr

1 Les symboles et . Le bin me deNewtonNous consacrons ici un long chapitre au symbole (et au symbole ). A terme, la ma trise de ce symbole est unecomp tence essentielle acqu rir et nous pensons qu il faut y consacrer un nombre cons quent de du chapitre1Le symbole ..page d un exemple .. page finition .. page gles de calculs .. page de variables .. page t lescopiques ..page calculs denXk=1k,nXk=1k2etnXk=1k3.. page de termes cons cutifs d une suite arithm tique ou d une suite g om trique .. page Suites arithm tiques.

2 Page Suites g om triques ..page identit an bn.. page trigonom triques .. page doubles .. page 162Le bin me deNewton..page coefficients binomiaux .. page formule du bin me deNewton.. page la trigonom trie ..page Lin arisation ..page Polyn mes deTchebychev.. page 273Le symbole ..page 27c Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits r serv Le symbole Etude d un exempleN cessit d une nouvelle sommeSndes entiers impairs1,3,5,..,2n 1s critSn=1+3+5+..+ (2n 1).Cette notation coh rente se r v le l usage pleine de pi ges.

3 En effet, que signifie l criture1+3+5+..+ (2n 1)quandnvaut1,2,3ou m me4? Si on ne r fl chit pas suffisamment, on critS2=1+3+5+..+3, alors qu il fallait comprendrequeS2 tait constitu e de2termes, en commen ant par1et en finissant par2 2 1=3. C est encore pire avecS1quine contient qu un seul terme. On peut trouver d sagr able que soit crit explicitement le nombre5dans l criture deSn,alors qu il n appara t ni dansS1, ni De mani re g n rale, dans de nombreuses situations, lesnotations utilisantdes pointill s sont sources d erreurs si elles ne sont pas ma tris cette raison et par souci de concision, on introduit unenouvelle notation.

4 La sommeSnci-dessus est la somme desnnombres2 1 1=1,2 2 1=3,..,2 n 1. Ils ont une criture commune, savoir2k 1o kprend successivementles valeurs1,2,..,n. On d cide alors de la noternXk=1(2k 1) ( )(la lettre grecque correspondant notreS, initiale du mot somme). On peut apporter sur l expression( )les commentairessuivants : en bornes du symbole , on voit quekvarie de1 net on a donc en videncele nombre de termes de la somme, savoirn, ce qui tait peut- tre moins vident dans la notation utilisant des pointill s ; dans l expressionnXk=1(2k 1), nous avons fait l effort de donner une criture commune chacun des termes de la sommeet donc de comprendre cette somme, ce qui n est pas le cas dansl expression1+3+5+.

5 + (2n 1); nXk=1(2k 1)est une expression compr hensible m me quandn=2oun=1. Dans ce dernier cas, la somme est constitu ed un seul terme et on parle donc d une somme de un terme. Cettephrase a un sens conventionnel. la somme obtenueest une fonction den, maisn est pas une fonction dek, ce qui est explicite dans la notationSn(etnon pasSn,k) ou encore, on ne retrouve pas la lettrekdans le r sultat final. Ainsi, on peut crire une phrase du genre n N ,nXk=1k=n(n+1)2,mais par contre, la phrase k N , n N ,nXk=1k=n(n+1)2n a aucun sens.

6 Pour cette raison, la variablekest ditemuetteet on peut la remplacer par n importe quelle autre lettre sans que cela ne modifie le r sultat final :nXi=1i=nXk=1k=nXk =1k =..=n(n+1)2. l criture deSnn est absolument pas unique, et par exemple, on pourrait tout fait consid rer que les entiers1,3,..,2n 1sont de la forme2k+1o kvarie cette fois-ci de0 n 1et crireSn=n 1Xk=0(2k+1), mais aussi que ces entierssont de la forme2k 3o kprend les valeurs2,3,..,n+1et crire dans ce casSn=n+1Xk=2(2k 3); l essentiel est d obtenir1pour la premi re valeur dekconsid r e,3pour la deuxi me.

7 Et2n 1pour la derni signifie calculer une somme ?Calculons maintenant la somme propos e et pour cela, posonsnous d abord laquestion : que signifie la phrase calculer la sommeSn ? Calculer1+3+5consiste effectuer les deux additions pourobtenir9. De m me, calculer1+3+..+ (2n 1)consiste effectuer lesn 1additions et donc exprimer le r sultatsous une forme n utilisant plus de pointill les paragraphes suivants, on d crira quelques techniques de calculs de somme. Ici, en calculant les premiers termes,nous allons essayer de deviner une formule g n rale, formule que l ond montreraensuite par r Jean-Louis Rouget, 2018.

8 Tous droits r serv trouveS1=1puisS2=1+3=4puisS3=1+3+5=9puis S4=1+3+5+7=16puisS5=S4+9=16+9= appara t, semble-t-il, la suite des carr s des nombres entiers, mais cette constatation est insuffisante. Nous ne savonstoujours pas ce que vautS6avant de l avoir calcul , et pour savoir si nous avons vu juste, il faut se diriger vers unraisonnement de port e g n rale : si auk- me carr parfait, savoirk2, on ajoute le(k+1)- me nombre impair, savoir2k+1, on obtientk2+2k+1= (k+1)2qui est bien le(k+1)- me carr parfait.

9 Tout semble coller et nous pouvons doncd montrerpar r currence que : n N ,nXk=1(2k 1) =n2. Pourn=1,S1=1Xk=1(2k 1) =1=12et la formule propos e est exacte. Soitn>1. Supposons quenXk=1(2k 1) =n2. Alors,n+1Xk=1(2k 1) = nXk=1(2k 1)!+ (2n+1) =n2+2n+1(par hypoth se de r currence)= (n+1) avons montr par r currence que n N ,nXk=1(2k 1) = 1additions ont t effectu es. Maintenant il est certain qu il persiste dans le r sultat final une multiplication(n2=n n), mais on peut estimer que la somme, elle, a t calcul D finitionOn se donne une suite(un)n Nde nombres naturels donn s tels quep6n, la somme des nombresup,up+1.

10 ,unest not enXk= +..+un( ).Ainsi,0Xk=0uk=u0,5Xk=3uk=u3+u4+u5,3Xk= 1u2k+1=u3+u5+u7et2nXk=n+1uk=un+1+un+2+.. +u2n 1+ peut donner une d finition plus m ticuleuse dePnk=puk, vitant l utilisation de pointill s. On posepXk=puk=upet n>p,n+1Xk=puk= nXk=puk +un+1(definition par r currence).La variable de sommationkestmuette, ce qui signifie que la valeur de la somme n est pas une fonction deket que cettevariable peut donc tre remplac e par n importe quelle autre variable, l exception des variables utilis es en bornes(iciles variablesnetp), sans modification du r maintenant le nombre de termes de la somme( ).