AntillesGuyane 2015. Enseignement spécifique

1 AntillesGuyane 2015. Enseignement sp cifiqueEXERCICE 4 (5 points) (candidats n ayant pas suivi l Enseignement de sp cialit )Partie consid re l algorithme suivant :Variables :ketpsont des entiers naturelsuest un r elEntr e :Demander la valeur depTraitement :Affecter ula valeur5 Pourkvariant de1 pAffecter ula valeur0,5u+0,5(k 1) 1,5 Fin de pourSortie :AfficheruFaire fonctionner cet algorithme pourp=2en indiquant les valeurs des variables chaque nombre obtient-on en sortie ?Partie (un)la suite d finie par son premier termeu0=5et, pour tout entier naturelnparun+1=0,5un+0,5n 1, )Modifier l algorithme de la premi re partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs deunpournvariant de1 )Al aidedel algorithmemodifi ,apr savoirsaisip=4,onobtientlesr sultatssuivants:n1234un1 0,5 0,75 0,375 Peut-on affirmer, partir de ces r sultats, que la suite(un)est d croissante ?

2 D montrer par r currence que pour tout entier naturelnsup rieur ou gal 3,un+1> peut-on en d duire quant au sens de variation de la suite(un)?4)Soit(vn)la suite d finie pour tout entier naturelnparvn=0,1un 0,1n+0, montrer que la suite(vn)est g om trique de raison0,5et exprimer alorsvnen fonction )En d duire que, pour tout entier natureln,un=10 0,5n+n )D terminer alors la limite de la suite(un).http Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits r serv Guyane 2015. Enseignement sp cifiqueEXERCICE 4 : corrig Partie A p=2 u=5 k=1puisu=0,5 5+0,5(1 1) 1,5=1 k=2puisu=0,5 1+0,5(2 1) 1,5= 0,5L algorithme affiche alors 0, B1) Algorithme modifi .Variables :ketpsont des entiers naturelsuest un r elEntr e :Demander la valeur depTraitement :Affecter ula valeur5 Pourkvariant de1 pAffecter ula valeur0,5u+0,5(k 1) 1,5 AfficheruFin de pour2)On au0>u1>u2>u3etu3< <u4,lasuite(un)n Nn est pas d )Montrons par r currence que pour toutn!

3 3,un+1>un. L in galit est vraie quandn=3d apr s la question pr c dente. Soitn!3,Supposonsqueun+1>unet montrons queun+2>un+ +2=0,5un+1+0,5(n+1) 1,5=0,5un+1+0,5n 1>0,5un+0,5n 1(par hypoth se de r currence)=0,5un+0,5n 1,5+0,5=un+1+0,5>un+ a montr par r currence que pour tout entier natureln!3,un+1> suite(un)n Nest donc strictement d croissante jusqu au rang3puis strictement )Soitn +1=0,1un+1 0,1(n+1)+0,5=0,1(0,5un+0,5n 1,5) 0,1n 0,1+0,5=0,05un+0,05n 0,15 0,1n+0,4=0,05un 0,05n 0,25=0,5(0,1un 0,1n+0,5)=0, suite(vn)n Nest donc une suite g om trique de raisonq=0, autrepart,v0=0,1u0 0,1 0+0,5=0,1 5+0,5= en d duit que pour tout entier natureln,vn=v0 qn=(0,5) )Soitn! ,1un 0,1n+0,5 0,1un=vn+0,1n 0,5 un10=(0,5)n+n 510 un=10 (0,5)n+n Jean-Louis Rouget, 2015.

4 Tous droits r serv tout entier natureln,un=10 (0,5)n+n )Puisque 1<0,5<1,limn + 10 (0,5)n= autrepart,limn + (n 5) = + .Enadditionnant,onobtientlimn + un=+ .http Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits r serv s.