OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE ... - …

1 CLASSE DE DEUXI`EME ANN EE MPOBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATH EMATIQUESI OBJECTIFS DE FORMATION1) OBJECTIFS g en eraux de la formationDans la fili`ere Math ematiques et Physique, les math ematiques constituent conjointement une disciplinescientifique `a part enti`ere, d eveloppant des concepts, des r esultats, des m ethodes et une d emarche sp ecifiques,et une discipline fournissant des connaissances et des m ethodes n ecessaires `a la physique, `a l informatique, `a lachimie et aux sciences r eflexion sur les concepts et les m ethodes, la pratique du raisonnement et de la d emarche math ematiqueconstituent un objectif majeur. Les etudiants doivent conna tre les d efinitions, les enonc es et les d emonstrationsdes th eor`emes figurant au PROGRAMME , savoir analyser la port ee des hypoth`eses et des r esultats, et savoirmobiliser leurs connaissances pour l etude de probl`emes.

2 En revanche, certains r esultats puissants, mais dont lad emonstration est hors de port ee au niveau des classes pr eparatoires, sont ) OBJECTIFS de la formationLa FORMATION est con cue en fonction de quatre OBJECTIFS D evelopper conjointement l intuition, l imagination, le raisonnement et la Promouvoir la r eflexion personnelle des etudiants sur les probl`emes et les ph enom`enes math ematiques, sur laport ee des concepts, des hypoth`eses, des r esultats et des m ethodes, au moyen d exemples et de contre-exemples ;d evelopper ainsi une attitude de questionnement et de Exploiter toute la richesse de la d emarche math ematique : analyser un probl`eme, exp erimenter sur des exemples,formuler une conjecture, elaborer et mettre en uvre des concepts et des r esultats th eoriques, r ediger une solutionrigoureuse, contr oler les r esultats obtenus et evaluer la pertinence des concepts et des r esultats au regard duprobl`eme pos e, sont des el ements indissociables de cette d emarche.

3 Valoriser ainsi l interaction entre d une partl etude de ph enom`enes et de probl`emes math ematiques, et d autre part l elaboration et la mise en uvre desconcepts th eoriques, les phases d abstraction et de mise en th eorie interagissant donc constamment avec cellesde passage aux exemples et aux Privil egier les probl`emes math ematiques susceptibles de d evelopper la r eflexion personnelle des etudiants etles capacit es de synth`ese. En particulier, on ne saurait en aucun cas se limiter `a l etude de probl`emes dont les enonc es sont ferm es et d exercices mettant en uvre des techniques bien r epertori ees. Il est n ecessaire d entra nerles etudiants `a se poser eux m emes des questions, c est `a dire `a prendre en compte une probl ematiquemath ematique ; l effort de synth`ese doit constituer l aboutissement de cette d emarche.

4 Les travaux d initiativepersonnelle encadr es (TIPE) permettent de renforcer cette attitude, essentielle pour la FORMATION scientifique,laquelle est par nature d abord un )Unit e de la FORMATION scientifiqueIl est important de mettre en valeur l interaction entre les diff erentes parties du PROGRAMME d une m emediscipline, tant au niveau du cours que des th`emes des travaux propos es aux etudiants. Plus largement,l enseignement d une discipline scientifique est `a relier `a celui des autres disciplines sous deux aspects principaux :organisation concert ee des activit es d enseignement d une m eme classe ; etude de questions mettant en uvredes interactions entre les champs de connaissances (math ematiques et physique, math ematiques et informatique,math ematiques et sciences ).

5 La coop eration des enseignants d une m eme classe ou d une m eme discipline et, plus largement, celle del ensemble des enseignants d un cursus donn e, y contribue de fa con efficace, notamment dans le cadre destravaux d initiative personnelle encadr importe aussi que le contenu culturel des math ematiques ne soit pas sacrifi e au profit de la seule technicit particulier, les textes et les r ef erences historiques permettent d analyser l interaction entre les probl`emesmath ematiques et la construction des concepts, mettent en evidence le r ole central jou e par le questionnementscientifique pour le d eveloppement th eorique et montrent en outre que les sciences, et les math ematiques enparticulier, sont en perp etuelle evolution et que le dogmatisme n est pas la r ef erence en la mati` ) Architecture et contenus des programmesa)Intentions majeuresLes contenus sont organis es autour de trois intentions Organiser les programmes autour de quelques notions essentielles, en d egageant les id ees majeures et leurport ee, en fournissant des outils puissants et efficaces, en evitant toute technicit e gratuite, et en ecartant lesnotions qui ne pourraient etre trait ees que de fa con Donner un r ole tr`es important `a la r esolution de probl`emes et d exercices d application, en particulieren mettant en uvre l outil informatique.

6 Le but est d indiquer le champ des probl`emes et ph enom`enesmath ematiques `a etudier en relation avec les concepts figurant au PROGRAMME et de pr eciser les m ethodes et lestechniques usuelles exigibles des etudiants. En revanche, ces etudes de probl`emes et d exercices ne doivent pasconduire `a des d epassements de PROGRAMME prenant la forme d une anthologie d exemples dont la connaissanceserait exigible des R ealiser un equilibre global entre l alg`ebre, l analyse et la g eom etrie. Il va de soi, d ailleurs, que cette s eparationtraditionnelle n est qu une commodit e de r edaction et ne doit pas faire oublier les interactions nombreuses et etroites entre ces trois grands domaines des math ematiques. Dans cette intention, les programmes sont pr esent esselon deux grandes parties : analyse et g eom etrie diff erentielle, alg`ebre et g eom etrie, mais le plan du programmen est pas un plan de est en fonction des OBJECTIFS pr ec edents que les programmes sont con cus et que l horaire hebdomadaire doit etre g er e.

7 Dans les classes MPSI et MP, il est de 12 heures (10 heures de cours et 2 heures de travaux dirig es).Pour valoriser les concepts essentiels et les principales m ethodes (comprenant les exemples et contre-exemplesqui illustrent leur port ee et leurs conditions de validit e), il convient de consacrer `a leur etude environ au plus 8heures de cours. Le temps restant est `a consacrer `a l etude de probl`emes math ematiques de difficult e vari ee ; `acet egard, toute technicit e gratuite est `a )Secteur de l analyse et de ses interventionsDans ce secteur, le PROGRAMME est organis e autour des concepts fondamentaux de fonction, qui permet demod eliser le comportement des ph enom`enes continus, et de suite (ou de s erie), qui permet de mod eliser lecomportement des ph enom`enes discrets.

8 Les interactions entre le continu et le discret sont mises en valeur,notamment en seconde ann PROGRAMME d analyse combine l etude des probl`emes qualitatifs avec celle des probl`emes quantitatifs ;il d eveloppe conjointement l etude du comportement global des suites et des fonctions avec celle de leurcomportement local ou asymptotique. Pour l etude des solutions des equations, il combine les probl`emesd existence et d unicit e, les m ethodes de calcul exact, les m ethodes d approximation et les algorithmes de miseen uvre. Pour l ensemble de l analyse, il met l accent sur les techniques de premi`ere ann ee, la ma trise du calcul diff erentiel et int egral `a une variable et de ses interventions en g eom etriediff erentielle plane constitue un objectif seconde ann ee, le PROGRAMME introduit le concept d espace vectoriel norm e et d application lin eaire continue,afin de fournir un cadre coh erent pour l etude des suites, des s eries et des fonctions et celle des suites et des s eriesde fonctions.

9 L int egration, la repr esentation des fonctions, notamment par des s eries (s eries enti`eres, s eries deFourier) et par des int egrales d ependant d un param`etre, l approximation des fonctions, l etude des equationsdiff erentielles (notamment des syst`emes lin eaires), l etude des fonctions de plusieurs variables (en interaction etroite avec la g eom etrie diff erentielle) tiennent une place )Secteur de l alg`ebre et de ses interventionsDans ce secteur, le PROGRAMME est organis e autour des concepts fondamentaux de l alg`ebre lin eaire (points devue g eom etrique et matriciel), tandis que l etude syst ematique des anneaux et des corps en a et e ecart ee. Ilmet en uvre les m ethodes de l alg`ebre lin eaire pour la r esolution de probl`emes issus, non seulement des autressecteurs de l alg`ebre, mais aussi de l analyse et de la g eom etrie.

10 Il met en valeur l importance du concept degroupe pour les m ethodes de la g eom premi`ere ann ee, le PROGRAMME d alg`ebre et g eom etrie combine l etude de l alg`ebre lin eaire (espaces vectoriels,applications lin eaires, alg`ebres, dimension, rang, calcul matriciel, espaces vectoriels euclidiens, automorphismesorthogonaux) et de ses interventions en alg`ebre, en analyse et en g eom etrie affine et euclidienne ; il comporteen outre l etude de l arithm etique el ementaire et des polyn omes `a une ind etermin seconde ann ee, le PROGRAMME d eveloppe de nouveaux concepts (dualit e, polyn omes d endomorphismes,valeurs propres et sous-espaces propres, r eduction des endomorphismes d un espace vectoriel et desMP3endomorphismes sym etriques d un espace vectoriel euclidien, r eduction des matrices).