Les nombres complexes - maths-france.fr

1 Les nombres complexes I. L'ensemble C des nombres complexes . Forme alg brique d'un nombre complexe 1) D finition des nombres complexes . a) Un nombre myst rieux : le nombre 2. Au coll ge, on d couvre la notion de racine carr e. Dans certains cas, cette racine carr e est tr s simple et elle ne fournit pas un nombre nouveau : 9 = 3 car 3 3 = 9 ou 16 = 4 car 4 4 = 16.. Le premier nombre myst rieux apparaissant dans la scolarit est le nombre 2. Ce nombre n'est ni 1 car 1 1 = 1. qui est plus petit que 2 ni 2 car 2 2 = 4 qui est plus grand que 2. Le nombre 2 est quelque part entre 1 et 2. Puisque 1, 42 = 1, 96, le nombre 2 est un peu plus grand que 1, 4 et puisque 1, 5 2. = 2, 25, le nombre 2 est un peu plus petit que 1, 5. En affinant ce travail, on trouve 2 = 1, 414 .. On peut en fait obtenir autant de d cimales que l'on veut mais on obtient toujours un nombre fini de d cimales. On n'obtient donc jamais la valeur exacte de 2.

2 Car on sait d montrer en maths que le nombre 2 a une infinit de d cimales non nulles et que la suite de ses d cimales n'est pas p riodique. Le nombre 2 reste donc en partie inconnu. On sait que son carr est gal 2 mais on n'est pas capable d'en donner une valeur exacte. On pourrait m me mettre en doute son existence si le th or me de Pythagore ne nous fournissait pas un segment de longueur 2 : la longueur de la diagonale d'un carr de c t 1 est gale 2. Pour accepter ce nombre comme r el, il a fallu faire preuve d'une certaine capacit . d'abstraction. Nous allons maintenant franchir un cran dans l'abstraction car nous allons d finir un nouveau nombre myst rieux : un nombre dont le carr est gal 1. Le besoin de disposer d'un tel nombre s'est fait sentir partir du XVI me si cle. Nous avons fourni en annexe de ce cours un bref historique. Nous vous invitons le lire une fois que vous aurez appris au moins les paragraphes I, II et III de ce chapitre.

3 B) Les nombres complexes On admet que l'on peut construire un ensemble de nombres not C tel que : Th or me 1 et d finition 1. C contient R, C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent l'addition et la multiplication dans R et qui ob issent aux m mes r gles de calcul que dans R, C contient un nombre , not i, tel que i2 = 1, tout l ment de C s' crit sous la forme x + iy o x et y sont deux r els. Remarque. Le nombre i n'appartient pas R car aucun nombre r el n'a pour carr le nombre 1. Dit autrement, le nombre i n'est pas r el. La lettre i est en fait l'initiale du mot impossible . Explication. Dire que l'addition et la multiplication dans C prolongent l'addition et la multiplication dans R veut dire que si z et z sont deux nombres complexes qui sont en particulier tous les deux des r els alors z + z et z z . ont respectivement pour valeur la somme habituelle des deux r els z et z et le produit habituel des deux r els z et z.

4 Vocabulaire. Les l ments de C s'appellent les nombres complexes . L'ensemble des nombres complexes contient l'ensemble des nombres r els (R C) ou encore un nombre r el est un nombre complexe particulier. On donne au passage diff rents ensembles de nombres : entiers entiers nombres nombres nombres nombres naturels relatifs d cimaux rationnels r els complexes N Z D Q R C.. Exemples. Les nombres 3 + 2i ou i ou 0 ou ou 1 i 2 ou 3 sont des nombres complexes . Le nombre 2 est un entier naturel. Le nombre 3 est un entier relatif qui n'est pas un entier naturel. 1. Le nombre 3, 7 est un nombre d cimal qui n'est pas un entier relatif. Le nombre est un nombre rationnel qui 3. n'est pas un nombre d cimal. Le nombre 2 est un nombre r el qui n'est pas un nombre rationnel. Le nombre i est un nombre complexe qui n'est pas un nombre r el. 2) Forme alg brique d'un nombre complexe. Parties r elle et imaginaire On v rifie maintenant que l' criture d'un nombre complexe sous la forme x + iy, o x et y sont deux r els, est unique.

5 Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits r serv s. 1 http Th or me 2. 1) Soient x et y deux r els. Si x + iy = 0 alors x = y = 0. 2) Soient x, x , y et y quatre r els. Si x + iy = x + iy alors x = x et y = y . D monstration. 1) Soient x et y deux r els tels que x + iy = 0. Supposons que y soit non nul. x On peut alors crire i = et en particulier, i est un r el. Ceci est faux et il tait donc absurde de supposer y y non nul. On en d duit que y = 0 puis que x = 0. 2) Soient x, x , y et y quatre r els tels que x + iy = x + iy . Alors (x x ) + i(y y ) = 0. Comme les nombres x x et y y sont deux r els, le r sultat 1) permet d'affirmer que x x = y y = 0 puis que x = x et y = y . Le th or me pr c dent signifie entre autres que l' criture d'un nombre complexe sous la forme x + iy est unique. On peut r exprimer ce r sultat en disant que si x, y, x et y sont quatre r els tels que x + iy = x + iy , alors on peut identifier les coefficients et donc crire x = x et y = y.

6 Danger. Dans le th or me pr c dent, il est essentiel que x et y soient des r els. Par exemple, 1 + i i = 0 = 0 + 0 i et pourtant 1 0 et i 0. Le th or me 2 justifie la d finition suivante : D finition 2. L' criture d'un nombre complexe sous la forme z = x + iy o x et y sont deux r els s'appelle la forme alg brique d'un nombre complexe. Si x et y sont deux r els, le nombre x est la partie r elle de x + iy et le nombre y est la partie imaginaire de x + iy. Notation. Si z est un nombre complexe, sa partie r elle se note Re(z) et sa partie imaginaire se note Im(z). On peut donc crire pour tout nombre complexe z, z = Re(z) + i Im(z). Remarque. Le th or me 2 dit que deux nombres complexes sont gaux si et seulement si ils ont m me partie r elle et m me partie imaginaire. Exemples. La partie r elle de 3 2i est 3 et la partie imaginaire de 3 2i est 2. La partie r elle de 5i est 0 et la partie imaginaire de 5i est 5. La partie r elle de 4 est 4 et la partie imaginaire de 4 est 0.

7 Remarque. La partie r elle et la partie imaginaire d'un nombre complexe sont deux nombres r els. Par exemple, la partie imaginaire de 3 + 2i est 2 et n'est pas 2i. D finition 3. Les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle sont les nombres r els. Les nombres complexes dont la partie r elle est nulle sont les imaginaires purs. Dit autrement, pour tout nombre complexe z, 1) z est r el Im(z) = 0, 2) z est imaginaire pur Re(z) = 0. Remarque. Le nombre 0 est la fois r el et imaginaire pur. C'est d'ailleurs le seul nombre complexe la fois r el et imaginaire pur. Les nombres non r els du type 3 2i sont quelquefois appel s nombres imaginaires mais ce vocabulaire est en contradiction avec le fait d'avoir class le nombre r el 0 parmi les imaginaires purs. 3) Op rations sur les nombres complexes a) D finition des op rations dans C. D finition 4. On d finit l'addition et la multiplication des nombres complexes de la fa on suivante : 1) Pour tous r els x, x , y et y , (x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + i(y + y ).

8 2) Pour tous r els x, x , y et y , (x + iy) (x + iy ) = (xx yy ) + i(xy + yx ). Remarque. Quand x = x = 0 et y = y = 1, on obtient i2 = (0 + 1 i)(0 + 1 i) = ( 1) + 0 i = 1. Th or me 3. L'addition et la multiplication dans C ob issent aux m mes r gles de calcul que dans R : 1) Pour tous complexes z et z , z + z = z + z et z z = z z. 2) Pour tous complexes z, z et z , (z + z ) + z = z + (z + z ) et (z z ) z = (z z ) z . 3) Pour tout complexe z, z + 0 = z et z 1 = z. 4) Pour tout complexe z, z + ( z) = 0. 5) Pour tous complexes z, z et z , (z + z ) z = z z + z z . 6) Pour tout complexe z, z 0 = 0. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits r serv s. 2 http D monstration. Certains des r sultats pr c dents sont imm diats. D'autres sont fastidieux d montrer. Nous ne d montrerons ici que le 5). Soient z, z et z trois nombres complexes . Posons z = x + iy, z = x + iy et z = x + iy o x, x , x , y, y . et y sont six r els. z z + z z = (x + iy)(x + iy ) + (x + iy )(x + iy ).

9 = (xx yy ) + i(xy + yx ) + (x x y y ) + i(x y + y x ). = xx + x x yy y y + i(xy + x y + yx + y x ). = ((x + x )x (y + y )y ) + i((x + x )y + (y + y )x ) = ((x + x ) + i(y + y ))(x + iy ). = (z + z )z . Dans la liste des propri t s nonc es plus haut, il manque un r sultat sur l'inverse d'un nombre complexe non nul. Nous analyserons le probl me de l'existence de l'inverse d'un nombre complexe non nul dans le paragraphe suivant. Puisque les r gles de calcul sont les m mes dans C que dans R, on a aussi disposition des identit s remarquables : Th or me 4. 1) Pour tous complexes z et z , (z + z )2 = z 2 + 2zz + z 2 . 2) Pour tous complexes z et z , (z z )2 = z 2 2zz + z 2 . 3) Pour tous complexes z et z , (z z )(z + z ) = z 2 z 2 . 4) Pour tous complexes z et z , (z + z )3 = z 2 + 3z 2 z + 3zz 2 + z 3 . 5) Pour tous complexes z et z , (z z )3 = z 2 3z 2 z + 3zz 2 z 3 . D monstration. Soient z et z deux nombres complexes .

10 1) (z + z )2 = (z + z ) (z + z ) = z 2 + zz + z z + z 2 = z 2 + 2zz + z 2 .. 2) En rempla ant z par z , on obtient (z z )2 = (z + ( z )) = z 2 + 2z( z ) + ( z ) = z 2 2zz + z 2 . 2 2. 3) (z z )(z + z ) = z 2 + zz zz z 2 = z 2 z 2 . 4). (z + z )3 = (z + z )2 (z + z ) = (z 2 + 2zz + z 2 )(z + z ) = z 3 + 2z 2 z + z 2 z + z 2 z + 2zz 2 + z 3. = z 2 + 3z 2 z + 3zz 2 + z 3 , 5) En rempla ant z par z , on obtient (z z )3 = (z + ( z )) = z 2 + 3z 2 ( z ) + 3z ( z ) + ( z ) = z 2 3z 2 z + 3zz 2 z 3 . 3 2 3. Exercice 1. Calculer les nombres complexes suivants : 1) z1 = 3 + 2i 4 + 4i + 2(7 i). 2) z2 = (3 i)(4 + 3i). 3) z3 = (4 i)2 (1 + 2i)(1 i). Solution. 1) z1 = 3 + 2i 4 + 4i + 2(7 i) = (3 4 + 14) + i(2 + 4 2) = 13 + 4i. 2) z2 = (3 i)(4 + 3i) = 12 + 9i 4i 3i2 = 12 + 5i + 3 = 15 + 5i. 3) z3 = (4 i)2 (1 + 2i)(1 i) = (16 8i + i2 ) (1 i + 2i 2i2 ) = (16 8i 1) (1 i + 2i + 2). = (15 8i) (3 + i) = 15 8i 3 i = 12 9i. Commentaire.