14 Integral definida - Blog de Vicente González Valle

1 456 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, definida Piensa y calcula Halla, contando, el rea de la 2 figura del margen, la que tiene un signo +dentro. Cadacuadradito es una unidad n:Tiene exactamente 7,5 u21. Integral 2 1(5 x2) dxSoluci n:a) F(x) = 5x b) F( 1) = , F(2) = c) 2 1(5 x2) dx = 12 13( 2x + 1) dxSoluci n:a) F(x) = x x2b) F(1) = 0, F(3) = 6c) 31(5 x2) dx = 6 |x| el valor absoluto o m dulo de x, calcula la Integral definida 2 1|x| dxSoluci n:a) 2 1|x| dx = 0 1( x) dx + 20x dxSea F(x) = ( x) dxF(x) = F( 1) = , F(0) = 0 0 1( x) dx = u2G(x) = x dx1212x22YX 12YX13223143x33YX 12 Aplica la teor aYX5+2y = x 1x = 5x = 2[]TEMA 14. Integral DEFINIDA457 Grupo Editorial Bru o, Piensa y calcula Halla por aproximaci n el rea de las dos regiones, la amarilla y la verde, del dibujo delmargen.

2 Cada cuadradito es una unidad n:La amarilla, 5 u2aproximadamente, y la verde 2 total, unas 7 unidades C lculo de el rea de la regi n plana limitada por la gr fica def(x) = x3 3x2 x + 3, el eje de abscisas y las rectasx=0,x= 3 Soluci n:Ra ces: x1= 1, x2= 1, x3= 3 (x3 3x2 x + 3) dx = x3 + 3x 10(x3 3x2 x + 3) dx = u2 31(x3 3x2 x + 3) dx = 4 u2 rea = = 5,75 u223474x22x44YX031 Aplica la teor aG(x) = G(0) = 0, G(2) = 2 20x dx = 2 u2 2 1|x| dx = 0 1( x) dx + 20x dx = = 2,5 la derivada de F(x) = 3xx2cos t dtSoluci n:F'(x) = 2x cos x2 3 cos 12L x dxSoluci n:a) F(x) = x (L |x| 1)b) F(1) = 1, F(2) = 2 (L 2 1)c) 21L x dx = 2 L 2 1 = 0,39 el valor de 01 Soluci n:a) F(x) = e x2b) F(0) = , F(1) = e 1c) 10= (1 e 1) = 0,32 u212x dxex2121212YX10x dxex2XY2152x22YX431y = x2 2x 3x = 1x = 4A1A2458 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, el rea del recinto limitado por la recta y=3 2xy la par bola y = 2x x2 Soluci n:Ra ces: x1= 1, x2= 3 ( x2+ 4x 3) dx = + 2x2 3x 31( x2+ 4x 3) dx = u2 rea = = 1,33 el rea de la regi n plana limitada por la gr fica dey= x3 4x y el eje XSoluci n:Ra ces: x1= 2, x2= 0, x3= 2 (x3 4x) dx = 2x2 0 2(x3 4x) dx = 4 u2 20(x3 4x) dx = 4 u2 rea = 8 el rea de la regi n limitada por la curva y =y las rectas y = 0, x = 2, x = 3 Soluci n:Ra ces: x = 0 dx = L |x3 2| 32dx = (L 25 L 6) u2 rea = (L 25 L 6) = 0,48 las siguientes cuestiones.

3 A) Dibuja el recinto limitado por las curvas:y = ex + 2,y = e x, y = 0, x = 2, x = 0b) Halla el rea del recinto considerado en el aparta-do n:Ra ces: x = 1 1 2ex + 2dx = e 1 u2 0 1e xdx = e 1 u2 rea = 2e 2 = 3,44 la funci n, definida en los n meros reales salvoen x = 0f(x) = 3 x calcula el rea de la regi n plana limitada por la gr ficade f(x) y el semieje positivo XSoluci n:Ra ces: x1= 1, x2= 2 3 x dx = 3x 2L|x| 213 x dx = 2 L 2 u2 rea = 2 L 2 = 0,11 u23232)2x(x22)2x(XY212xYX 11313x2x3 213x2x3 2XY32x2x3 2x44YX20 24343x33YX13 TEMA 14. Integral DEFINIDA459 Grupo Editorial Bru o, Piensa y calcula Escribe las f rmulas del espacio y de la velocidad de un movimiento rectil neo uniformemente acelerado ( )Soluci n:e(t) = at2+ v0t + eov(t) = at + v0123.

4 Aplicaciones de la Integral m vil lleva una velocidad en m/s, en funci n deltiempo, seg n la funci n:v(t) = 2t + 1donde tse mide en segundos. Calcula el espacio querecorre el m vil entre los segundos 2 y 5 del n:e(5) e(2) = 52(2t + 1) dt = 24 f brica produce objetos de decoraci n. La fun-ci n de ingreso marginal viene dada por:i(x) = 5 + donde xes el n mero de objetos vendidos e i(x) vie-ne dado en euros. Cu l es el incremento de los ingresos obtenidoscuando se pasa de vender 100 a vender 200 objetos?Soluci n: 2001005 +dx = 500 + 3(L 101 L 51) = 502,05 funci n que mide el caudal que sale de un dep si-to es:f(x) = 10 xdonde f(x) est dado en litros por segundo, y x,ensegundos. Qu cantidad de agua sale del dep sito entre el se-gundo 4 y el segundo 8?

5 Soluci n:Volumen = 84(10 x) dx = 16 moto cuando arranca lleva un movimiento uni-formemente acelerado, en el que la aceleraci n es de2m/s2a) Calcula la velocidad al cabo de 30 ) Calcula el espacio que habr recorrido en esos 30 n:a) Velocidad:v(t) = 2 dt = 2tv(30) = 60 m/sY5X10 15 20 25 30 35 40 45 50YX48)3x + 2(Y120X40 60 80 100 120 140 160 180 20023453x + 2Y21X2345646810 Aplica la teor a Piensa y calcula Escribe las f rmulas del volumen de un prisma, de una pir mide, de un cilindro, de un cono y de una n:Volumen del prisma: VPrisma= BHVolumen de la pir mide: VPir mide= BHVolumen del cilindro: VCilindro= R2 HVolumen del cono: VCono= R2 HVolumen de la esfera: VEsfera= R34313134. C lculo de vol menes460 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, ) Espacio:e(t) = 2t dt = t2e(30) = 900 mY520X406010 15 20 25 30 35 la f rmula del volumen del n:La secci n A(x) es paralela a la base B, y se tiene queA(x) = BVolumen = H0B dxF(x) = B dx = BxF(0) = 0, F(H) = BHVolumen = |F(H) F(0)| = BHPor tanto, el volumen de un prisma es el rea de la basepor la el volumen generado por la funci n:f(x) = cuando gira alrededor del eje X en el intervalo [0, 4]Soluci n:Volumen = 40()2dx = 40x dxF(x) = x dx = F(0) = 0, F(4) = 8|F(4) F(0)| = |8| = 8 Volumen = 8 u3x22 xYXy = x4 xYXHHBA(x)xx Aplica la teor aTEMA 14.

6 Integral DEFINIDA461 Grupo Editorial Bru o, el volumen generado por la superficie com-prendida entre las siguientes funciones cuando giranalrededor del eje X:f(x) = g(x) = xSoluci n:Volumen = 10[()2 x2]dx()2 x2= x x2F(x) = (x x2) dx = F(0) = 0, F(1) = |F(1) F(0)| == Volumen = la f rmula del volumen de un n:Volumen = H0x2dx = H0x2dxF(x) = x2dx = F(0) = 0, F(H) = |F(H) F(0)| == Volumen = = R2H u313H33R2H2H33|H33|H33x33R2H2)RH(YXy = xRHP(H, R)HR 616|16|16x33x22 x xYX(0,0)(1,1) x462 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, y problemasPreguntas tipo testPAUDada la funci n:f(x) = 2x + |x2 1|calcula: 02f(x) dx7/23/256 Dada la funci n:f(t) = 2at + bCalcula: 1x+1f(t) dt2ax2+ bxax2+ (2a + b)x(2a + b)x x2ax3+ 2ax2+ bxCalcula el rea del recinto limitado por la funci ny = ln x, el eje X y las rectas x = 1, x = 22,33 u25,26 u20,05 u20,39 u2 Sean las funciones:f(x) = x3, g(x) = |x|Obt n el rea del recinto limitado por f y g entrex = 0, x = 11/4 u22,5 u20,15 u21/2 u2 Calcula el rea encerrada por las funciones:f(x) = 1 + ln x, g(x) = 1/xy las rectas x = 1, x = 20,50 u21/e u20,69 u2e u2 Calcula el rea encerrada por las funciones:f(x) = x3+ x2+ 1, g(x) = 2x + 15 u23 u237/12 u235/12 u2 Calcula el rea encerrada por las funciones:f(x) = x3+ 3x2, g(x) = x + 38 u24 u215 u225/3 u2 Dada la funci n.

7 F(x) = calcula el rea de la regi n acotada por su gr fica yel eje X10 u29,83 u2e3u216 /3 u2 Calcula el rea encerrada por la funci n:f(x) = y los ejes X e Ye2u223 u2e/5 u20,63 u2Se considera, en el primer cuadrante, la regi n R delplano limitada por el eje X,el eje Y,la recta x = 2 yla curvay = Calcula el rea de la regi n R. Halla el valor de cpa-ra que la recta x = c divida la regi n R en dos par-tes, A (izquierda) y B (derecha), tales que el rea deA sea el doble que la de B23 2 33 222 33 14 + x210 x3 1x2+ 19 x2 12x2+ 48 7 6 5 4 3 2 1 Contesta en tu cuaderno:TEMA 14. Integral DEFINIDA463 Grupo Editorial Bru o, y problemas1. Integral 25(+ 1)dxSoluci n:a) F(x) = + xb) F(2) = 3, F(5) = c) 52+ 1 dx = = 8,25 13(x2 2x 4) dxSoluci n:a) F(x) = x2 4xb) F(1) = , F(3) = 12c) 31(x2 2x 4) dx = = 7,33 u2El rea es negativa porque el recinto est debajo del eje f : 8 la funci n definida por f(x) = | x2 1|a) Esboza la gr fica de fb) Calcula 02f(x) dxSoluci n: 20|x2 1| dx = 10( x2+ 1) dx + 21(x2 1) dxSea F(x) = ( x2+ 1) dxF(x) = + xF(0) = 0, F(1) = 10( x2+ 1) dx = u2G(x) = (x2 1) dxG(x) = xG(1) = , G(2) = 21(x2 1) dx = u2 20|x2 1| dx = 10( x2+ 1) dx + 21(x2 1) dx = 2 la derivada de F(x) = 2x2+ 1L t dtSoluci n:F'(x) = 2x L | x2+ 1| 1ex2L x dxSoluci n.

8 A) F(x) = x3L |x| b) F(1) = , F(2) = c) e1x2L x dx = = 4,57 u22e3+ 192e3919)13(13 YXe1432323x332323x33YX012223143x33YX3133 4)x2(454x24Y25Xx2464 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, y la funci n f(x) definida para x ? 2 por la re-laci n:f(x) = Calcula 26f(x) dxSoluci n:a) F(x) = 2x2 5x + L |x + 2|b) F(2) = 2 + L 4, F(6) = 42 + L 8c) 62dx = 44 + L 2 = 44,69 u22. C lculo de el rea de la regi n plana limitada por la gr fica def(x) = x3 4x, el eje de abscisas y las rectas x = 1,x=2 Soluci n:Ra ces: x1= 2, x2= 0, x3= 2 (x3 4x) dx = 2x2 0 1(x3 4x) dx = u2 20(x3 4x) dx = 4 u2 rea = = 5,75 el rea del recinto limitado por las gr ficas de lasfuncionesy = 2 x4y = x2 Soluci n:Ra ces: x1= 1, x2= 1 ( x4 x2+ 2) dx = + 2x 1 1( x4 x2+ 2) dx = u2 rea = = 2,93 la funci n f(x) = 4 x2, calcula el rea encerradaentre la gr fica f(x) y el eje de n:Ra ces: x1= 2, x2= 2 (4 x2) dx = 4x 2 2(4 x2) dx = u2 rea = = 10,67 el rea de la regi n limitada por la gr fica de lafunci n f(x) = 4x3+ 5, el eje de abscisas, la rectax= 1 y la recta x = 1 Soluci n.

9 YX1 1323323x33YX2 244154415x33x55YX1 123474x44YX20 14x2+ 3x 9x + 2Y52X3456710152025 25 20 15 10 5 1 2 34x2+ 3x 9x + 2 TEMA 14. Integral DEFINIDA465 Grupo Editorial Bru o, ces: x = = 1,08 ( 4x3+ 5) dx = x4+ 5x 1 1( 4x3+ 5) dx = 10 u2 rea = 10 el rea de la regi n limitada por las curvas y= , y = Soluci n:Ra ces: x1= 1, x2= 1 dx = arc tg x 1 1 dx = u2 rea = = 1,24 la funci n f(x) = x, calcula el rea encerra-da entre la gr fica f(x) y el eje de n:Ra ces: x1= ,x2= 0, x3= xdx = (5 x2) 0 5xdx = u2 0 5xdx = u2 rea = = 7,45 u23. Aplicaciones de la Integral recta de ecuaci n y = 4x + 2 representa la trayec-toria de un m vil A. Otro m vil B se desplaza seg n latrayectoria dada por la curva de ecuaci n y = g(x), don-de g : 8 es la funci n definida por:g(x) = x2+ 2x + ca) Halla el valor de csabiendo que ambas trayectoriascoinciden en el punto en el que la funci n g(x) tieneun m ximo ) Coinciden ambas trayectorias en alg n otro punto?

10 En tal caso, dibuja la regi n limitada por ambas tra-yectorias y calcula su n:a) El m ximo de la par bola se alcanza en x = 1La funci n f(x) para x = 1 vale 2 Poniendo la condici n de que g(1) = 2, se obtiene c = 3g(x) = x2+ 2x 3b) Resolviendo el sistema formado por las dos ecuacio-nes, se obtiene:Ra ces: x1= 1, x2= 5 rea = 51( x2+ 6x 5) dx = = 10,67 velocidad de un m vil que parte del origen viene da-da, en m/s, por la gr fica siguiente:a) Calcula la funci n espacio ) Dibuja la gr fica de la funci n espacio ) Prueba que el rea bajo la curva que da la velocidadcoincide con el espacio total n:v(t) = 2xsi 0 x 12si 1 <x 4 x + 6 si 4 <x 6 YX323YX 3 2 5 10 15 20 15123456710 535 53 5 x25 53 5 x2 5 x213 5 x2 5 5YX0 5 5 5 x23 263 26)x221x2+ 1(x36)x221x2+ 1(Y1 11x2+ 1x223 102466 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, y problemasa) Viendo la gr fica del enunciado, se observa:e(1) = 1e(4) = 7 Por tanto:e(t) = v(t) dt = b) Gr fica del espacio ) e(6) = 9, que es el rea que queda debajo de la curvadel hermanos heredan una parcela que han de repar-tirse.