apuntes Matemáticas Básicas - SUAyED::..

1 LICENCIATURA EN ADMINISTRACI NAPUNTESPARA LA ASIGNATURAMATEM TICAS B SICAS2005 Coordinaci n y Mtra. Gabriela Montero MontielCoordinaci nacad micaCoordinaci n Francisco Hern ndez MendozaAsesor a pedag gicaLic. Sandra RochaCorrecci n de Jos Alfredo Escobar MelladoEdici Jos Mario Hern ndez Ju rezCapturaBeatriz LedesmaEsp ndolaIsrael Morales HerreraColaboradoresComo una labor editorial m s de la Facultad de Contadur a y Administraci n, losmateriales educativos que conforman el Paquete de Estudio Autodirigido delSistema Universidad Abierta representan un esfuerzo encauzado a apoyar elaprendizaje de los estudiantes de este que estos materiales sirvan de punto de referencia tanto a los asesorescomo a los alumnos.

2 A los primeros para que tengan medios que les permitanorientar de mejor manera y con mayor sencillez a sus estudiantes. Y a los segundospara que cuentencon elementos para organizar su programa de trabajo, se lesfacilite comprender los objetivos de cada asignatura y se sirvan de los apoyoseducativos que contienen, como los esbozos de las materias y sus unidades,cuestionarios de autoevaluaci n, lecturasb sicas de estudio, actividades deaprendizaje y apuntes elaborados por los , ponemos estos materiales a disposici n de nuestra comunidad, esperando quealcancen sus prop Universitaria, D. F., octubre de Y MAESTRO ARTURO D AZ ALONSODIRECTORPr logoProhibida la reproducci n total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sinautorizaci n escrita del PARA LA ASIGNATURA DE MATEM TICAS B SICASP rimera edici n, octubre, 2005 Derechos reservados conforme a la la reproducci n parcial o total de la presente obrapor cualquier medio, sin permiso escrito del 2005 Universidad Nacional Aut noma de M xicoFacultad de Contadur a y Administraci nFondo Editorial FCAC ircuito Exterior de Ciudad Universitaria,Deleg.

3 Coyoac n, 04510-M xico, y hecho en M xicoIntroducci generales de la 1. particulares de la particulares de la lculo particulares de la 4. C lculo particulares de la prop sito de estos apuntes es apoyarte enel estudio independiente deMatem ticas B sicas, ya que en este sistema debes preparar cada unade las asignaturas del plan de estudios por tu cuenta, en el tiempo y lugarque tengas material forma parte del paquete de estudio autodirigido de laasignatura y es una exposici n sistematizada y resumida de cada unidadque contiene, acompa ada de ejercicios desarrollados paso a paso, as como problemas de aplicaci n. Su funci n es permitirte reafirmar ocompletar, a trav s del estudio de laslecturas b sicas, la comprensi n dealg n tema que no hayas entendido primer lugar, se te propone revisar con cuidado la gu a de estudio paraque tengas un panorama general de la asignatura.

4 Despu s, estudiar lostemas de cada unidad en laslecturas recomendadas. Luego, repasar elcontenido en los apuntes y resolver el cuestionario de autoevaluaci n(gu a de estudio). Finalmente, trabajar con el cuaderno de actividades yresolver los ex a la mano las herramientas necesarias: l piz, hojas, cuaderno deactividades de la asignatura y calculadora electr nica, ya que con sta seresuelven algunas operaciones de manera m s segura y f al autoevaluarte no te sientes satisfecho con los resultados obtenidos,revisa de nuevo todo elmaterial hasta que alcances los objetivos. Antecualquier duda, puedes consultar a tu asesor de manera presencial o enl n89 Como resultado del aprendizaje que alcanzar s gradualmente de laasignatura, ser s capaz de integrar los t picos del lgebra y c lculodiferencial e integral en la interpretaci n y resoluci n de modelosmatem meros matem lineales y cuadr lineales y cuadr ticasUnidad 1.

5 Lgebra1213Al culminar el aprendizaje de la unidad, lograr s resolver correctamenteoperaciones algebraicas y establecer relaciones entre los conjuntos y suselementos. Asimismo, ser s capaz de solucionar problemas de ecuaciones ydesigualdades lineales y cuadr ticasen una o m s variables utilizandodiferentes m todos; y construir gr ficas de algunas funciones del reaecon teor a de conjuntos es un sistema formal de las matem ticas que proporcionaherramientas para estructurar conceptos tiles dentro de esta disciplina. Secompone de algunas ideas b sicas, definiciones y operaciones, a partir de lascuales podemos desarrollar y probar teoremas, o resolver problemas te ricos ypr cticos.

6 Aunque aparece relativamente tarde (sus nociones b sicas sonestablecidas por George Boole s. XIX y Georg Cantor segunda mitad del y principios del XX ), ha incidido en todas las ramas de las matem ticas. Porello iniciamos el curso estudiando las nociones fundamentales de s, as comprenderemos mejor los temas n intuitiva de conjuntoUn conjunto es unacolecci n de objetos de cualquier ndole, que pueden o noestar relacionados entre s . Debe tener las caracter sticas siguientes: Definir claramente la colecci n de objetos. Podemos contestar demanera inequ voca si un objeto x pertenece a la colecci n: la respuestadebe ser s o no , nunca tal vez o no s . Cada objeto debe contarse una sola vez.

7 Por ejemplo, la palabraanagrama, puesta como conjunto, tiene cinco elementos:a, n, g, rym. El orden en el que se mencionan los objetos no tiene importancia: elconjuntop, q, res el mismo que el conjuntor, p, conjuntos pueden ser colecciones deobjetos reales(reloj, libro dematem ticas, )oideales(n meros o personajes de novelas);finitos(los libros de la biblioteca de la FCA), cuando pueden listarse todos los objetos quelo forman,oinfinitos(los puntos de una recta), cuando no pueden listarse nEs indispensable una serie de s mbolos que nos permitan manejarnos con solturaen el mundo de los conjuntos, para ahorrar tiempoy evitar palabras engorrosas oconfusas. Por eso,a los conjuntosse les denota con letras may decir, por ejemplo, que el conjunto A es el de las cinco vocales delalfabeto castellano; o que el B es el de los once jugadores que alinearon por elequipo de Francia al inicio de la final de la copa del mundo de objetos que forman parte de un conjunto se dice quepertenecen a eseconjunto, y se denotan conletras min sculas.

8 Si los objetosp, q, rson los nicos que forman el conjuntoE, afirmamos quep, qyrpertenecen al conjunto E;o queano pertenece al conjunto E. Los objetos que integran un conjunto losdenominamoselementos de eseconjunto; por eso, podemos decir quep, qyrson elementos de E; o quep, qyrpertenecen a E,o especialesConjunto universalPara revisar determinados fen menos o situaciones,hay unmarco de referencia que incluye todos los elementos ejemplo, si consideramos a los estudiantes deContadur a de M xico, el listado de todos los alumnos deesta carrera inscritos en todas las universidades del pa s esnuestro marco de referencia o conjunto universal (lodenotamos con la letraU[algunos libros utilizan la graf agriega ]).

9 Sin embargo, el conjunto universal no es nico,depende del fen meno que estemos revisando y de lasituaci n particular que relaci n de pertenenciade un elemento a un conjunto la designamos con els mbolo ; y la deno pertenencia,con . Luego, las relaciones de un elemento aun conjunto, mencionadas en el p rrafo anterior, pueden expresarse as :Aa (indica queapertenece al conjuntoA)Ab (se ala quebno pertenece al conjuntoA)A los elementos de un conjunto se les encierra entre llaves: cbaE,, (expresa que el conjuntoEest compuestopor los elementosa, byc).17 Entre los conjuntos especiales, est n los siguientes:De los n merosnaturalesSirven para contar (1,2,3,4, ). Se representan con la los n merosenterosIncluyen los naturales, naturales con signo negativo y al cero(.)

10 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4, ). Se expresan con los n merosracionalesSe pueden se alar como la divisi n o raz n entre dosenteros, como , 2/3, 156/956, 3, etc tera. Se representancon los n merosirracionalesNo pueden representarse como la divisi n o raz n de dosenteros, como la ra z cuadrada de 2, Pi, etc tera. Sedenotan con la graf a los n meros realesFormado con la uni n de n meros racionales eirracionales. Se representa con maneras de definir conjuntosConjunto vac oNo tiene parecer extra o un conjuntoas , pero es til conocerlo para comprender otros denota con la letra griega todos los elementos y encerr ndolos entre llaves: ;,,,,uoieaA 6,5,4,3,2,1 dentro de las llaves una definici n que manifieste con claridad lascaracter sticas que debe tener un elemento para pertenecer a cualquier conjuntodado: A{xxes una vocal del alfabeto castellano} B{zzes uno de los primeros seis n meros naturales}La simbolog a puede leerse as :A es un conjunto de elementos x tales que x es una vocal del alfabeto es un conjunto de elementos z tales que z es uno de los primeros seis n entre conjuntosIgualdad y desigualdad.