Chapitre 4 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé

1 47. Chapitre 4. Circuits lin aires en r gime sinuso dal forc . Le r gime sinuso dal forc . Le signal sinuso dal Paragraphe trait en classe : d nition de l'amplitude, de la phase, de la fr quence, pulsa- tion, p Position du probl me L'objectif est d' tudier le comportement d'un circuit lin aire aliment par un g n rateur de tension sinuso dale. On souhaite calculer la tension u(t) aux bornes d'un composant, ou le courant i(t) circulant dans un composant. L' criture des lois de Kirschho pour un circuit ne comportant que r sistances, bobines et condensateurs permet d'aboutir une (ou des) quation(s) di rentielle(s) lin aire(s) . coe cients constants de la forme : dn g(t) dn 1 g(t) dg(t).

2 An + an + :::::: + a1 + a0 g(t) = e(t);. dtn dtn 1 dt o g(t) peut tre une tension u(t) ou un courant i(t). La solution est de la forme : g(t) = sol(ESSM ) + sol:particuli . ere: Nous avons vu dans le Chapitre pr c dent que si le circuit contient au moins une r sis- tance, la solution de l' quation sans second membre tend toujours vers 0 quand le temps t devient su samment important (terme en exponentielle d croissante). On peut donc s parer l' volution du signal en deux p riodes. -Dans le court instant qui suit l'allumage du GBF, se produit un r gime transitoire. Vou- loir le d crire compl tement n cessite d' crire la solution compl te g(t) (sol de l'ESSM+sol particuli re). Cette solution d pend des conditions initiales : la solution de l' quation sans se- cond membre comporte une ou des constantes qui sont d termin es l'aide de ces conditions initiales.

3 -Au bout d'un certain temps (g n ralement tr s court, tr s inf rieur la seconde), un r gime tabli est observ . Math matiquement, ce r gime tabli correspond la solution par- ticuli re seule : la solution de l' quation sans second membre est devenue nulle. Le r gime tabli, que l'on appelle galement r gime sinuso dal forc dans le cas d'une source sinuso dale, ne d pend donc pas du tout des conditions initiales. L. Menguy, Lyc e Montesquieu, Le Mans 23 novembre 2003. 48 Chapitre 4 Circuits lin aires en r gime sinuso dal forc . En conclusion : un r gime permanent (ou tabli, ou sinuso dal forc ) est atteint rapi- dement apr s avoir allum le g n rateur de signal sinuso dal. L'objectif de ce Chapitre est de calculer la tension (ou le courant) aux bornes (ou dans) des composants lin aires (R, L ou C).

4 En r gime tabli, quand le circuit est aliment par une source de tension sinuso dale. Exemple du circuit R,L. Consid rons un dip le constitu d'une r sistance not e R et d'une bobine not e L, aliment . par un g n rateur de tension sinuso dale : e(t) = Em cos !t: R. e(t). L. i(t). Circuit RL. La loi des mailles s' crit : di Em cos !t = L + Ri: (1). dt Une solution particuli re de la forme i(t) = Im cos(!t + ') (2). est recherch e. Pour v ri er que cette fonction est bien solution particuli re, il su t de la reporter dans l' quation (1) et de le v ri er : Em cos !t = LIm ! sin(!t + ') + RIm cos(!t + '). = LIm ! sin ' cos !t LIm ! cos ' sin !t +RIm cos ' cos !t RIm sin ' sin !t = ( LIm !)

5 Sin ' + RIm cos ') cos !t + ( LIm ! cos ' RIm sin ') sin !t: Cette galit doit se v ri er quel que soit t ; les termes en cos !t d'une part doivent tre galis s, ainsi que les termes en sin !t d'autre part : Em = LIm ! sin ' + RIm cos ' (3). 0 = LIm ! cos ' RIm sin ': (4). La relation (4) impose que la fonction (2) n'est solution de l' quation di rentielle (1) du circuit que si la phase ' v ri e : L! tan ' = : (5). R. 23 novembre 2003 L. Menguy, Lyc e Montesquieu, Le Mans Section La notation complexe et l'imp dance complexe 49. La relation (3) devient alors : Em Im = : (6). L! sin ' + R cos '. Sachant que cos2 ' = 1=(1 + tan2 '), puis sin2 ' = 1 cos2 ', il vient : R. cos ' = p R + L2 !

6 2. 2. L! sin ' = p 2 : R + L2 ! 2. Les signes de cos ' et de sin ' sont d termin s de la mani re suivante : tan ' est n gatif ;. donc le cos ' et le sin ' sont de signes di rents ; en n sachant que Im est positif (vues les conventions de signes choisies sur la gure ), cos ' est n cessairement positif et sin ' n gatif. Tout ceci permet de conclure que la relation (6) impose que la fonction (2) n'est solution de l' quation di rentielle (1) du circuit que si l'amplitude Im v ri e : Em Im = p : (7). R + L2 ! 2. 2. La solution particuli re est nalement, compte tenu des relations (5) et (7) : Em i(t) = p cos (!t + ') : (8). R2+ L2 !2. avec tan ' = L!=R: En conclusion, cet exemple priori tr s simple (2 composants seulement : R et L !)

7 !) montre que les calculs ne sont pas tr s simples. Il faut dans un premier temps d terminer une qua- tion di rentielle, rechercher ensuite une solution particuli re en l'injectant dans l' quation di rentielle, et en n utiliser des relations trigonom triques pour obtenir l'amplitude et la phase du signal recherch . Il est ais de comprendre que ces calculs (et en particulier la partie trigonom trie) deviennent inextricables pour des Circuits plus compliqu s ! L'objectif du pa- ragraphe qui suit est alors de proposer une m thode qui vite la d termination d' quations di rentielles, et limite au maximum les calculs, en particulier l'utilisation de la trigonom - trie. Les calculs en seront, comme nous allons le voir, consid rablement simpli s.

8 C'est une m thode qui utilise des notations complexes. La notation complexe et l'imp dance complexe La notation complexe Soit une fonction sinuso dale quelconque : e(t) = Em cos (!t + ') ; (9). Em est l'amplitude et ' la phase. L. Menguy, Lyc e Montesquieu, Le Mans 23 novembre 2003. 50 Chapitre 4 Circuits lin aires en r gime sinuso dal forc . La repr sentation complexe de e(t) est : e = Em exp j (!t + '). = Em exp (j') exp (j!t). = Em exp (j!t) : Em = Em exp(j') est l'amplitude complexe de e. Remarque Le passage du signal complexe e au signal r el e(t) s'e ectue tout simplement en remarquant que : e(t) = Re(e): On peut remarquer galement que l'amplitude complexe Em contient toutes les informations utiles sur le signal sinuso dal : l'amplitude du signal (9) est le module de Em , et la phase '.

9 Est l'argument de Em : . Em = Em ;. ' = arg(Em ): Concr tement, la recherche de la solution particuli re s'e ectue comme suit. Toutes les quations et les signaux sont transform s en criture complexe. Les calculs sont e ectu s sur les complexes ainsi introduits, jusqu' l'obtention de la solution. Pour conna tre la solution r elle (la seule qui ait une signi cation physique), il su t de prendre la partie r elle de la solution complexe obtenue. Un exemple est donn sur le circuit RL dans la partie qui suit. Remarque Rappel : repr sentation de Fresnel (A REDIGER). Remarque En quoi l'introduction de la notation complexe simpli e les r solutions ? Le premier l ment de r ponse vient du fait que l'on a besoin de manipuler de nombreuses d riv es cause des relations entre u(t) et i(t) relatives aux condensateurs et aux bobines.

10 On recherche une solution particuli re de la forme i(t) = Im cos (!t + '), qui s' crit en notation complexes : Im exp (j') exp (j!t) = Im exp (j!t) . Les calculs sont e ectu s sur les grandeurs complexes, en remarquant que : di d = (Im exp (j') exp (j!t)) = j!Im exp (j') exp (j!t). dt dt = j! i: D river par rapport au temps revient donc tout simplement par multiplier par (j!). Une quation di rentielle avec des d riv es temporelles se transforme simplement en une quation sans d riv es (uniquement des multiplications par (j!)). Ensuite, toutes les grandeurs contiennent le terme exp(j!) en facteur : on pourra le sim- pli er ais ment dans les quations pour ne plus avoir manipuler de temps.