1. Definizioni, storia, proprietà - Matematicamente

1 Veracini Veriano - Calcolo dei Logaritmi 1/97 Calcolo dei Logaritmi Lo scopo di queste pagine quello di descrivere alcuni metodi per il calcolo dei logaritmi. I pi interessati, nell appendice in fondo a queste pagine, possono trovare notizie e curiosit di varia natura. 1. definizioni , storia, propriet Definizione Il calcolo dei logaritmi , insieme con quello delle radici, un operazione inversa dell elevamento a potenza (bax ). Si definisce logaritmo di un numero reale positivo, in una base positiva e diversa da 1, l esponente a cui bisogna elevare tale base per ottenere il numero dato. Questo numero esiste sempre, ed unico. In pratica xba log con 0, ba e 1 a dove a si chiama base del logaritmo.

2 Una cosa importante da puntualizzare che non esistono i logaritmi dei numeri negativi e del numero zero. Un pizzico di storia Gi in un opera di Archimede (nel libro Arenaria ) presente, in embrione, il concetto di logaritmo. Archimede si rese conto della relazione esistente tra una progressione geometrica, formata dalle successive potenze di un numero naturale e i relativi esponenti che sono in progressione aritmetica. Ovvero i valori 1 5 25 125 625 ecc. sono in progressione geometrica di ragione 5. Questi valori sono equivalenti a 05 15 25 35 45 ecc. e i valori degli esponenti (0 1 2 3 4 ecc.) sono in progressione aritmetica di ragione 1.

3 Molti anni dopo altri matematici, tra cui Luca Pacioli, Nicolas Chuquet e Michael Stifel ripresero il medesimo concetto, ma fu solo grazie a Joost Burgi e a John Napier che il concetto di logaritmo si pot sviluppare appieno. Loro ebbero la grande idea di infittire i termini delle due progressioni in modo che, per ogni numero nella progressione geometrica, ci fosse un numero nella corrispondente progressione aritmetica. Il primo matematico a pubblicare delle tabelle con calcolati i logaritmi dove la base scelta era il numero 10 fu Henry Briggs e fu il matematico Leonard Euler ad introdurre i logaritmi dove la base scelta era il numero irrazionale e . Anche altri matematici, tra cui Edmund Gunter, ne studiarono le propriet e ne suggerirono alcuni utilizzi pratici.

4 Propriet fondamentali dei logaritmi Le propriet fondamentali dei logaritmi sono quattro, vediamole in dettaglio. 1) Il logaritmo di 1, in una qualunque base, 0. Cio il 01log a. Questo dipende dal fatto che 0 (zero) l esponente a cui bisogna elevare un qualunque numero per ottenere, come risultato, 1. Infatti, vale sempre la relazione 10 a. 2) Il logaritmo di un numero uguale alla base 1. Cio il 1log aa. Questo dipende dal fatto che 1 l esponente a cui bisogna elevare un qualunque numero per ottenere, come risultato, il medesimo numero. Infatti, vale sempre la relazione aa 1. Veracini Veriano - Calcolo dei Logaritmi 2/97 3) Se la base maggiore di 1 il logaritmo cresce al crescere del numero.

5 Cio se 1 a abbiamo che il 21loglognnaa se abbiamo 21nn . Visto la prima propriet fondamentale dei logaritmi possiamo anche dedurre che: Per 1 n il nalog negativo. Per 1 n il nalog zero. Per 1 n il nalog positivo. 4) Se la base minore di 1 il logaritmo decresce al crescere del numero. Cio se 1 a abbiamo che il 21loglognnaa se abbiamo 21nn . Visto la prima propriet fondamentale dei logaritmi possiamo anche dedurre che: Per 1 n il nalog positivo. Per 1 n il nalog zero. Per 1 n il nalog negativo. Teoremi fondamentali dei logaritmi I teoremi fondamentali dei logaritmi sono quattro, vediamoli in dettaglio. 1) Il logaritmo di un prodotto, rispetto a una base, uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori del prodotto, nella medesima base.

6 Cio nmnmaaaloglog)(log Dimostrazione Se indichiamo con x il malog (cio xma log) e con y il nalog (cio yna log) allora abbiamo, per la definizione di logaritmo, che max e, in modo analogo, anche che nay . Allora nmaayx e questa espressione equivalente all espressione nmayx )(. Per la definizione di logaritmo abbiamo che )()(logyxnma . Poich mxalog e che nyalog allora abbiamo che nmnmaaaloglog)(log . Osservazione Il logaritmo di un prodotto di molti fattori, rispetto a una base, uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori del prodotto, nella medesima base. Cio qnmqnmaaaalogloglog)(log Dimostrazione La dimostrazione talmente tanto semplice che, a mio parere, non necessita di alcun commento.

7 Qnmqnmqnmqnmaaaaaaaloglogloglog)(log))(( log)(log 2) Il logaritmo di un quoziente, rispetto a una base, uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore, nella medesima base. Cio nmnmaaalogloglog Veracini Veriano - Calcolo dei Logaritmi 3/97 Dimostrazione Se indichiamo con x il malog (cio xma log) e con y il nalog (cio yna log) allora abbiamo, per la definizione di logaritmo, che max e, in modo analogo, abbiamo che nay . Allora nmaayx e questa espressione equivalente all espressione nmayx )(. Per la definizione di logaritmo abbiamo che )(logyxnma . Poich mxalog e che nyalog allora abbiamo che nmnmaaalogloglog . 3) Il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza, rispetto a una base, uguale al prodotto dell esponente per il logaritmo del medesimo numero, nella medesima base.

8 Cio mnmanaloglog Dimostrazione Se indichiamo con x il malog (cio xma log) abbiamo, per la stessa definizione di logaritmo max . Se entrambi i termini vengono elevati alla potenza esiman otteniamo nnxma )( e cio nnxma e per la stessa definizione di logaritmo abbiamo che il xnmna log. Poich mxalog allora abbiamo che mnmanaloglog . 4) Il logaritmo di una radice, rispetto a una base, uguale al prodotto dell inverso dell indice della radice per il logaritmo del radicando, nella medesima base. Cio mnmanalog1log Dimostrazione Poich nm equivalente a nm1 allora, nanamm1loglog e utilizzando il teorema precedente otteniamo che mnmanalog1log1 da cui ricaviamo che il mnmanalog1log.

9 Espressioni calcolabili attraverso l uso dei logaritmi Esistono alcune espressioni che sono facilmente calcolabili grazie ai quattro teoremi fondamentali che abbiamo appena enunciato. Possiamo esprimere il logaritmo di un espressione monomia (cio che contiene solamente operazioni di moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice) come somma e/o sottrazione (eventualmente moltiplicati o divisi per dei numeri interi) dei logaritmi dei vari termini presenti. Esempio )(log4523edcba = )(log)(log4523edcbaa = )log4log21(log52log3edcbaaaa . Veracini Veriano - Calcolo dei Logaritmi 4/97 Perci , riassumendo, abbiamo che: )(log4523edcba = edcbaaaalog4log21log52log3.

10 Osservazione 1 L applicazione del logaritmo, a un espressione monomia, trasforma le varie operazioni nel seguente modo. A) La moltiplicazione si trasforma in somma. B) La divisione si trasforma in sottrazione. C) L elevamento a potenza si trasforma in moltiplicazione. D) L estrazione di radice si trasforma in divisione. Come possiamo vedere le operazioni si semplificano notevolmente rendendo semplici anche calcoli notevolmente complessi come abbiamo visto nell esempio precedente. Osservazione 2 Non esiste nessuna relazione in grado di esprimere il logaritmo di un espressione polinomia (cio che contiene anche somme, e/o sottrazioni) per mezzo dei logaritmi dei vari termini. Cio non esiste nessuna relazione tra il )(logcba o il )(logcba e i logaritmi dei termini balog e calog.