2 Potencias y radicales

1 2 Potencias y radicales Objetivos 1. radicales p g. 22. En esta quincena aprender s a: Potencias de exponente fraccionario radicales equivalentes Calcular y operar con Introducir y extraer factores Potencias de exponente C lculo de ra ces entero. Reducir a ndice com n Reconocer las partes de un radicales semejantes radical y su significado. 2. Propiedades p g. 25. Obtener radicales equivalentes Ra z de un producto a uno dado. Ra z de un cociente Expresar un radical como Ra z de una potencia potencia de exponente Ra z de una ra z fraccionario y viceversa. Operar con radicales . 3. Simplificaci n p g. 26. Racionalizar Racionalizar expresiones con Simplificar un radical radicales en el denominador.

2 Utilizar la calculadora para 4. Operaciones con radicales p g. 28. operar con Potencias y Suma y resta radicales . Multiplicaci n de radicales Divisi n de radicales RESUMEN. Ejercicios para practicar Para saber m s Resumen Autoevaluaci n Actividades para enviar al tutor MATEM TICAS B 19. 20 MATEM TICAS B. Potencias y radicales Antes de empezar Propiedades de Conviene que recuerdes las propiedades de las las Potencias Potencias que has estudiado en cursos anteriores de exponente entero 9 El producto de Potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la x2 x7 = x2 +7 = x9. suma de los exponentes. an am = an+m 9 El cociente de Potencias de la misma base es otra 2 8 potencia de la misma base y de exponente la resta = 28 5 = 23 de los exponentes.

3 25. an m = an m a 9 La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base y de exponente el producto de los (x ). 3. 7. = x7 3 = x21 exponentes. (a ). m n = an m 70 = 1 9 Una potencia de exponente cero es igual a ls unidad. a0 = 1. 9 El producto de Potencias del mismo exponente es otra potencia del mismo exponente y de base el 25 35 = (2 3) = 65. 5. producto de las bases. an bn = ( a b ). n 6. 9 El cociente de Potencias del mismo exponente es 86 8 otra potencia del mismo exponente y de base el = = 26. 46 4 cociente de las bases. n an a . = . bn b . MATEM TICAS B 21. Potencias y radicales 1. radicales Definici n Llamamos ra z n- sima de un n mero dado a al 3.

4 8 = 2 por ser 23 = 8. n mero b que elevado a n nos da a. 1. n a = b bn = a 3. 5 = 53. Un radical es equivalente a una potencia de 2. exponente fraccionario en la que el denominador 5. x2 = x 5. de la fracci n es el ndice del radical y el numerador de la fracci n es el exponente el radicando. p n ap = an radicales equivalentes Dos o m s radicales se dicen equivalentes si las 3 6. fracciones de los exponentes de las Potencias x2 = x 4. asociadas son equivalentes. 2 4. son equivalentes por ser: =. 3 6. Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales 3 3 2 6. semejantes, multiplicando o dividiendo el Amplificar: x2 = x 2 2 = x 4. exponente del radicando y el ndice de la ra z por un mismo n mero.

5 Si se multiplica se llama amplificar y 6 6:2 3. Simplificar: x4 = x 4:2 = x 2. si se divide se llama simplificar el radical . 3. radical irreducible, cuando la fracci n de la potencia x2. asociada es irreducible. Irreducible por ser (3,2)=1. Introducci n y Extracci n de factores Introducir Para introducir un factor dentro de un radical se 3 3. eleva el factor a la potencia que indica el ndice y se x3 x = x 3 x = x 4. escribe dentro. 3. 23 3 = 23 3 = 3 8 3 = 3 24. Si alg n factor del radicando tiene por exponente un n mero mayor que el ndice, se puede extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando Extraer: entre el ndice. El cociente es el exponente del factor 13 5.

6 5 5. que sale fuera y el resto es el exponente del factor x13 = x 2 x 3. 3 2. que queda dentro. 22 MATEM TICAS B. Potencias y radicales 1728 2. C lculo de ra ces 864 2. Para calcular la ra z n- sima de un n mero primero se 432 2. factoriza y se escribe el n mero como producto de 216 2 Potencias , luego se extraen todos los factores. 3. 1728 = 3 26 33 =. 108 2. 54 2 = 22 3 = 12 Si todos los exponentes del radicando son m ltiplos 27 3 del ndice, la ra z es exacta. 9 3. 3 3. 1. Reducir a ndice com n Reducci n a ndice com n 6. 2 ; 10. 3 Reducir a ndice com n dos o m s radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo ndice. (6,10)=30.

7 30. El ndice com n es cualquier m ltiplo del de 6. 2 = 25 = 30. 32 los ndices. 30. 10. 3 = 33 = 30. 27. El m nimo ndice com n es el de los ndices. Los siguientes radicales son radicales semejantes semejantes: radicales semejantes son aquellos que tienen el 2 3 4 ; 7 3 4 ; 53 4 mismo ndice y el mismo radicando. Pueden diferir nicamente en el coeficiente que los multiplica. Los siguientes radicales no son semejantes: 23 4 ; 25 4 El ndice es distinto MATEM TICAS B 23. Potencias y radicales EJERCICIOS resueltos 1. Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario: 1. 5 5. a) 3 3 = 35. 5 5. b) X3 X3. 2. Escribe las siguientes Potencias como radicales : 1 1.

8 A) 72 72 = 7. 2 2. b) 53 53 = 3 52 = 3 25. 3. Escribe un radical equivalente, amplificando el dado: 3 2 6. a) 3. 5 3. 5 = 51 2 = 52 = 6 25. 5 5 5 3 15. b) x4 x4 = x 4 3 = x12. 4. Escribe un radical equivalente, simplificando el dado. 6 6:2. a) 6. 49 6. 49 = 72 = 72:2 = 3 7. 35 35 35:7 5. b) x 28 x 28 = x 28:7 = x4. 5. Introduce los factores dentro del radical : a) 2 4 3 2 4 3 = 4 2 4 3 = 4 16 3 = 4. 48. 7 7 7 7. b) x 2 x3 x 2 x3 = 7 (x 2 )7 x 3 = x14 x 3 = x17. 6. Extrae los factores del radical : a). 4. 128 4. 128 = 4 27 = 2 4 23 = 2 4 8. 7 7 7 7. b) x30 x30 = x28 +2 = x28 x2 = x 4 7 x2. 7. Calcular las siguientes ra ces: a) 5. 1024 5. 1024 = 5 210 = 22 = 4.

9 7 7 7. b) x84 x84 = x12 7 = 7 (x12 )7 = x7. 8. Reduce a ndice com n a) 3; 3 5 2 = 6 23 = 6 8 ; 3. 5 = 6 52 = 6 25. 6. b) 4. x3 ; 6 x5 4. x3 = 12. x9 ; x5 = 12. x10. 9. Indica que radicales son semejantes 4. a) 4. 3;54 3 3 y 54 3 Son semajentes 4 3. b) 4. x; 3 x x y x No son semajentes,tienen distinto indice 24 MATEM TICAS B. Potencias y radicales 2. Propiedades Ra z de un producto 3. 2 5 = 3 2 3 5 La ra z n- sima de un producto es igual al producto de las ra ces n- simas de los factores. n n a b = a n b 7 2 4 7 2 7 4. a b = a b 1 1 1. Demostraci n: n a b = (a b)n = an bn = n a n b Ra z de un cociente 5. 2 2 La ra z n- sima de un cociente es igual al cociente de 5 =.

10 3 5. 3 las ra ces n- simas del dividendo y del divisor. n a a a4 5. a4 n =. 5 = b n b b3 5. b3. 1 1. a a n an n a Demostraci n: n = = 1 =. b b n b bn Ra z de una potencia Para hallar la ra z de una potencia, se calcula la ra z ( 2). 3. 5. 8= 2 =5 3 5 de la base y luego se eleva el resultado a la potencia dada. ( a). p ( x). n 3. x7 = 3. 7. ap = n p 1 p ( a). p n p Demostraci n: a = a = an =. n n . Ra z de una ra z 5 3. 2 = 15 2 La ra z n- sima de la ra z m- sima de un n mero es igual a la ra z nm- sima de dicho n mero. n m n m a = a 1. nm 1 n 1. n m Demostraci n: a = am = an m = a . MATEM TICAS B 25. Potencias y radicales 3. Simplificaci n Racionalizaci n Cuando el denominador Racionalizar una expresi n con un radical en el es un radical denominador, consiste en encontrar una expresi n 1 1 3 52 3.