5 Progresiones - educaLAB

1 MATEM TICAS 3 ESO 71 Antes de empezar.. p g. 74 Definici n. Regla de formaci n T rmino general Aritm ticas .. p g. 75 Definici n T rmino general Suma de n t rminos Geom tricas .. p g. 77 Definici n T rmino general Suma de n t rminos Suma de todos los t rminos Producto de n t rminos .. p g. 79 Interpolaci n Inter s Compuesto Resoluci n de problemas Ejercicios para practicar Para saber m s Resumen Autoevaluaci n Actividades para enviar al tutor Objetivos En esta quincena aprender s a: Reconocer una sucesi n de n meros.

2 Reconocer y distinguir las Progresiones aritm ticas y geom tricas. Calcular l t rmino general de una progresi n aritm tica y geom trica. Hallar la suma de los t rminos de una progresi n aritm tica finita y geom trica finita o infinita. Hallar el producto de los t rminos de una progresi n geom trica finita. Resolver problemas con la ayuda de las Progresiones . Resolver problemas de inter s compuesto. Progresiones 5 72 MATEM TICAS 3 ESO MATEM TICAS 3 ESO 73 Antes de empezar Para empezar, te propongo un juego sencillo, se trata de averiguar la ficha de domin que falta en cada caso.

3 ? Progresiones 74 MATEM TICAS 3 ESO 1. Sucesiones Definici n. Una sucesi n es un conjunto ordenado de n meros reales: a1, a2, a3, a4, a5, a6, .. Cada elemento de la sucesi n se llama t rmino de la sucesi n. Para designarlos se emplean sub ndices. Los t rminos de las sucesiones se pueden determinar a partir de cierto criterio, este criterio se denomina regla de formaci n. T rmino general El t rmino general de una sucesi n es el que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe an Hay sucesiones cuyo t rmino general es una expresi n algebraica, que nos permite saber cualquier t rmino de la sucesi n sabiendo el lugar que ocupa, n.

4 En otras, cada t rmino se obtiene a partir de los anteriores, se dice que est n dadas en forma recurrente. Una relaci n de recurrencia es una expresi n algebraica, que expresa el t rmino n en funci n de los anteriores. Progresiones 4, 7, 10, 13,.. Primer t rmino: a1=4 Segundo t rmino: a2=7 Tercer t rmino: a3=10 Cuarto t rmino: a4=13 Cada t rmino se obtiene del anterior sum ndole 3. a2 = a1 + 3 = 4 + 3 = 7 a3 = a2 + 3 = 7 + 3 = 10 a4 = a3 + 3 = 10 + 3 = 13 4, 8, 12, 16.

5 Cada t rmino se obtiene multiplicando el lugar que ocupa por 4 a1 = 1 4 = 4 a2 = 2 4 = 8 a3 = 3 4 = 12 a4 = 4 4 = 16 EJERCICIOS resueltos 1. El primer t rmino de una sucesi n es 4, escribe los cuatro primeros t rminos de ella si: Cada t rmino es igual al anterior m s el lugar que ocupa : Sol:==+==+==+=1234a4a426a639a9413 2. Escribe la regla de formaci n de la siguiente sucesi n: 3, 8, 13, 18 ,.. Sol: Cada t rmino es igual al anterior m s 5 3. Escribe los cinco primeros t rminos de la sucesi n formada por los cuadrados de los n meros naturales a partir del 1.

6 Sol: 255a164a93a42a1a252423221========= 4. Calcula los 4 primeros t rminos de la sucesi n de t rmino general: =+nnan1 Sol:== == == ==++++12 3 411223344aa a a11 212 313 414 5 5. Escribe los 5 primeros t rminos de una sucesi n cuya regla de formaci n es: Cada t rmino es la suma de los dos anteriores 12a3ya7== Sol:12345a3 a7 a3 7 10 a7 10 17 a10 17 27===+= =+= =+= 6. Escribe el t rmino general de estas sucesiones: a) 2, 3, 4, 5, 6, .. Sol:=+na1n b) 2, 4, 8,16,32.

7 Sol:=nna2 MATEM TICAS 3 ESO 75 Para obtener la diferencia basta restar dos t rminos consecutivos. 2. Progresiones Aritm ticas Definici n Una progresi n aritm tica es una sucesi n en que cada t rmino (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresi n. Si d>0 los n meros cada vez son mayores, se dice que la progresi n es creciente. Si d<0 los n meros cada vez son menores, se dice que la progresi n es decreciente T rmino general En una progresi n aritm tica cada t rmino es igual al anterior m s la diferencia.

8 Observa: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2 d a4 = a3 + d = a1 + 2 d + d = a1 + 3 d a5 = a4 + d = a1 + 3 d + d = a1 + 4 d y siguiendo as sucesivamente, se llega a: an = a1 + (n-1) d El t rmino general de una progresi n aritm tica es: donde a1 es el primer t rmino y d la diferencia. Suma de n t rminos En una progresi n aritm tica finita de n t rminos, la suma de t rminos equidistantes de los extremos es igual a la suma de ellos: a1+an = a2+an-1= a3+an-2 = .. A partir de esta propiedad se obtiene que la suma Sn= a1+a2+.

9 +an de los n primeros t rminos de una progresi n aritm tica es: 1naaS n2+= 3, 5, 7, 9, 11, .. a1=3 d=2 an = 3 + (n-1) 2 As por ejemplo: a10= 3 + 9 2 =21 a100= 3 + 99 2 =201 2, 4, 6, 8, 10, 12 2+12=14 4+10=14 6+8=14 ++===1naa212S n 64222 Progresiones an = a1 + (n-1) d 2, 4, 6, 8, .. d=2 d>0 CRECIENTE 7, 5, 3, 1, .. d=-2 d<0 DECRECIENTE 76 MATEM TICAS 3 ESO EJERCICIOS resueltos 7. Determina la diferencia de las siguientes Progresiones aritm ticas: a) 1, 4,7,10, Sol: 54 43 32 21da a a a a a a ad131010774 413= = = = = = = = = b) 8, 6, 4, 2, 0.

10 Sol: 54 43 32 21da a a a a a a ad02244668 2= = = = = = = = = c) 2, 6,10,14,18,.. Sol: 54 43 32 21da a a a a a a ad 1814 1410 106 62 4= = = = = = = = = 8. Escribe el t rmino general de las siguientes Progresiones aritm ticas: a) 4, 6, 8, 10, .. Sol: n1aa(n 1)d 4 (n 1) 2 2n 2=+ =+ =+ b) 3, 1, 5, 9,.. Sol: n1aa(n 1)d 3 (n 1) ( 4)4n 7=+ =+ = + c) 5, 8, 11, 14, .. Sol: n1aa(n 1)d 5 (n 1) 3 3n 2=+ =+ =+ 9.