Transcription of Problemas geométricos - educaLAB
1 MATEM TICAS 4 ESO 129 Antes de empezar planas .. p g. 44 Tri ngulos Paralelogramos Trapecios Trapezoides Pol gonos regulares C rculos, sectores y segmentos geom p g. 44 Prismas Pir mides Troncos de pir mides Cilindros Conos Troncos de conos Esferas Ejercicios para practicar Para saber m s Resumen Autoevaluaci n Actividades para enviar al tutor Objetivos En esta quincena aprender s a: Aplicar las razones trigonom tricas para estudiar las relaciones que existen entre los ngulos y los lados de las figuras planas. Calcular el per metro y el rea de las figuras planas aplicando las f rmulas conocidas y las razones trigonom tricas cuando sea necesario. Aplicar las razones trigonom tricas para estudiar las relaciones que existen entre las aristas y los ngulos de los cuerpos geom tricos.
2 Un cono. Calcular el rea lateral, el rea total y el volumen de los cuerpos geom tricos aplicando las f rmulas conocidas y las razones trigonom tricas cuando sea necesario. Problemas geom tricos 8 130 MATEM TICAS 4 ESO MATEM TICAS 4 ESO 131 Antes de empezar Para resolver las actividades de esta unidad, se necesita utilizar la calculadora. Muchas de las operaciones que se van a realizar son ra ces y razones trigonom tricas. Al realizar una ra z cuadrada o al calcular una raz n trigonom trica, salvo en algunos casos, se va a obtener u n mero irracional. Todos los resultados est n expresados con dos cifras decimales, pero si se tiene que volver a utilizar un dato, es conveniente utilizarlo con todas sus cifras decimales y no s lo con las dos con las que se ha expresado.
3 Observa algunos errores que se comenten al no trabajar con todas las cifras decimales. Calcula el valor de 2 La pantalla de la calculadora se llena de cifras decimales. Es un n mero irracional (con infinitas cifras decimales), aunque s lo veamos unas pocas. Sin embargo la calculadora almacena el valor exacto en su memoria. Eleva al cuadrado el resultado Con una de las teclas de tu calculadora puedes elevar al cuadrado el n mero que tienes en la pantalla. B scala y realiza la operaci n. Observa que se obtiene como resultado 2, como era l gico esperar Qu sucede si se redondea la ra z a dos cifras decimales? Eleva ahora al cuadrado el n mero 1,41. Qu se obtiene? No se obtiene 2! Resulta un n mero con cuatro cifras decimales, pr ximo a 2, pero distinto.
4 Si se redondea a dos cifras decimales, se pierde exactitud en los resultados. Prueba a realizar los mismos c lculos utilizando m s cifras decimales. Se obtienen resultados exactos o aproximados? Realiza ahora c lculos similares utilizando las razones trigonom tricas Investiga: reas de otras figuras Se puede calcular el rea de figuras planas distintas a las estudiadas en este tema, por ejemplo, una elipse? Problemas geom tricos 132 MATEM TICAS 4 ESO 1. Figuras planas Tri ngulos La suma de los ngulos de un tri ngulo es igual a 180 . El per metro de un tri ngulo es la suma de las longitudes de los tres lados. El rea o la superficie de un tri ngulo es la mitad del producto de la base por la altura.
5 Si en un tri ngulo cualquiera se traza una altura, se forman dos tri ngulos rect ngulos. En ellos se puede aplicar el Teorema de Pit goras y la definici n de las razones trigonom tricas. En la figura 3, en el tri ngulo ADB se verifica: BBBhb hb c senAsenA =h = c senAS==c22 De la misma forma, con los otros v rtices, se obtiene: Otro m todo para el c lculo del rea es la f rmula de Her n. Sea a+b+cp=2 el semiper metro del tri ngulo. Entonces: Figura 1. Tri ngulo. Los v rtices de un tri ngulo se representan con letras may sculas. Los lados con letras min sculas. Un lado y un v rtice opuesto llevan la misma letra. Figura 2. Alturas de un tri ngulo. La altura es la l nea perpendicular a cada uno de los lados que pasa por el v rtice opuesto.
6 Para el c lculo del rea, la altura es la distancia de cada v rtice al lado opuesto. Figura 3. Altura sobre el v rtice B. Problemas geom tricos CABSSc ha hb hS===222 a b senCa c senBb c senAS=S=S=222S= p (p-a) (p-b) (p-c) P=a+b+c A + B + C=180 MATEM TICAS 4 ESO 133 EJERCICIOS resueltos 1. Calcula el rea de un tri ngulo equil tero de 5,9 cent metros de lado. Se aplica el Teorema de Pit goras para calcular la altura 22-h= 5,9 2,95 = 26,1075 =5,11cm 5,9 5,11S==15,072 cm2 Otro m todo: 5,9 5,9 sen60 S==15,072 cm2 Con la f rmula de Her n: 5,9+5,9+5,9p==8,852 S= 8,85 (8,85-5,9) (8,85-5,9) (8,85-5,9) =15,07 cm2 2.
7 El lado desigual de un tri ngulo is sceles mide 3,6 cm y el ngulo distinto mide 46 . Calcula el per metro y el rea. A+B+C=180 A+C=134 A=C=67 ABAB1,81,8cos67 === 4,61cos67 cm htg67 =h=1,8 tg67 = 4,241,8 cm Per metro: P=4,61+4,61+3,6=12,81 cm rea: 3,6 4,24S==7,632 cm2 3. Los ngulos de un tri ngulo escaleno miden 45 , 64 y 71 y el lado menor mide 9,7 cm. Calcula el per metro. hsen64 =h=9,7 sen64 =8,729,7cm DCDCcos64 ==9,7 cos64 = 4,259,7cm ABAB8,728,72sen 45 ===12,33sen 45 cm ADADcos 45 ==12,33 cos 45 =8,7212,33cm Per metro: P=9,7+12,33+4,25+8,72=35 cm Problemas geom tricos 134 MATEM TICAS 4 ESO 1. Figuras planas Paralelogramos Un paralelogramo es un cuadril tero que tiene los lados opuestos paralelos. La suma de los ngulos interiores de un paralelogramo es igual a 360.
8 Hay cuatro paralelogramos: cuadrado, rect ngulo, rombo y romboide. El per metro de un paralelogramo es la suma de las longitudes de los cuatro lados. El rea de cada uno de los paralelogramos es: Cuadrado. Rect ngulo. Rombo. Romboide. Cuadrado. Rect ngulo. Rombo. Las diagonales dividen al rombo en cuatro tri ngulos rect ngulos iguales. Romboide. Al trazar la altura se forma un tri ngulo rect ngulo. Problemas geom tricos xDiagonal mayor diagonal menorS=2S = lado2 S = base x altura S = base x altura MATEM TICAS 4 ESO 135 Cilindro Problemas geom tricos EJERCICIOS resueltos 4. a) Calcula el rea de un cuadrado de 17,2 cm de lado.
9 B) Calcula el per metro de un cuadrado de 5975,29 cm2 de rea. a) S=17,22=295,84 cm2 b) l=5975,29=77,3 cm P=4 77,3=309,2 cm. 5. a) Calcula el rea de un rect ngulo de 45,6 cm de base y 32,5 cm de altura. b) Calcula la base de un rect ngulo de de 364,5 cm2 de rea y 24,3 cm de altura. a) S=45,6 32,5=1482 cm2 b) b=364,524,3=15 cm 6. Calcula el lado y los ngulos de un rombo cuyas diagonales miden 12,7 y 19,6 cm. x =12,7=6,35 cm2 y =19,6=9,8 cm2 222= 6,35 +9,8 l l= 136,36 =11,68 cm 6,35== 0,5438= 0,5749 rad2 11,682sen = 1,1499 rad = 65 52 59,45 2 + 2 = 360 = 180 = 114 7 0,55 7.
10 Calcula el rea del romboide de la figura sabiendo que los lados miden 60,4 y 48,9 cm y el ngulo menor que forman sus lados mide 50 . hsen =h=60,4 sen50 = 46,2760,4cm rea: S=48,9 46,27=2262,56 cm2 136 MATEM TICAS 4 ESO 1. Figuras planas Trapecios Un trapecio es un cuadril tero que tiene dos lados paralelos. La suma de los ngulos interiores de un trapecio es igual a 360 . El per metro de un trapecio es la suma de las longitudes de los cuatro lados. El rea de un trapecio es: Si en un trapecio se traza la altura por cualquiera de los v rtices de la base menor se forma un tri ngulo rect ngulo. En este tri ngulo se puede aplicar el Teorema de Pit goras y la definici n de las razones trigonom tricas.
