Capitolo 11 funzioni

1 526 TCapitolo11funzioniFunzioni e loro caratteristiche Che cosa sono le funzionidefinizioneUna relazione f fra due insiemi A e B una funzione se a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di una funzione fa corrispondere a ogni elemento di A un unico elemento di B, essa viene anche chiamata corrispondenza simboli: :fA B", che si legge: f una funzione da A a B .Si dice che A l insieme di partenza della funzione e B l insieme di indicare che a un elemento x di A corrisponde un elemento y di B scriviamo::fx y7 oppure y fx=^h, che si legge y uguale a effe di x.

2 Y detta immagine di x mediante la funzione f. Analogamente, x detta controim-magine di insieme di partenza A detto domi-nio della funzione; il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A detto codominio o insieme im-magine, o pi brevemente immagine, della funzione. Indichiamo il dominio con D e con I l immagine. Vale la rela-zione BI3. funzioni numericheQuando i due insiemi A e B sono numerici, le funzioni vengono dette funzioni | Esercizi a p. 549 Listen to itA function from a set A to a set B is a relation that assigns to each element in the set A exactly one element in the set B.

3 The set A is called the set of inputs, or domain, whereas the set B contains the set of outputs, or immaginedominioIf| Esercizi a p. 549 Paragrafo 1. funzioni e loro caratteristiche527 TEORIATIn seguito, quando parleremo di funzioni numeriche, sar sottinteso che esse sono definite per valori reali, cio il loro dominio sar R o un sottoinsieme di R e l in-sieme di arrivo sar R stesso. Tali funzioni si chiamano funzioni reali di variabile reale. Inoltre esse saranno in genere descrivibili mediante un espressione analiti-ca, ossia mediante una formula la funzione f: R " R descritta da y = f(x) = 2x + ogni valore di x la legge fa corrispondere uno e un solo valore di y.

4 Per esempio, per x = 3 il valore di y y = 2 $ 3 + 5 = anche dire che 11 l immagine di 3, cio f(3) = valore che assume y dipende da quello attribuito a x. Per questo motivo y prende il nome di variabile dipendente e x di variabile valori della x sono quindi gli elementi del dominio, mentre quelli assunti dalla y sono gli elementi dell immagine della una funzione numerica si cerca spesso di studiare il grafico, ossia l in-sieme dei punti P(x; y) del piano carte-siano tali che x un numero reale nel dominio di f e y l immagine di x, os-sia y = f(x).

5 Il grafico viene anche detto diagramma la funzione f definita da un equa-zione y = f(x), il suo grafico una curva c, luogo di tutti i punti del piano che soddisfano l costruzione del diagramma si pu effettuare per punti , assegnando a x alcuni valori e determinando i corrispondenti valori di figure dell esempio, puoi osservare i grafici di due funzioni di uso per punti i grafici delle funzioni yx= e yx3=.xx002,14-3,17-42xx3001!1!8!2!OD = dominioyxC = codominio Spiega perch la figura seguente non pu rap-presentare il grafico di una Verifica, mediante rappresentazione per punti, che i grafici delle funzioni yx3= eyx1= sono i = x3 Oyxy =1x O1412yxy = xO 881 1 1 221yxy = x3 Capitolo Classificazione delle funzioniL espressione analitica che descrive una funzione pu avere due forme: forma esplicita, del tipo y = f(x); per esempio, y = 2x 2 - 1; forma implicita, del tipo F(x; y) = 0.

6 Per esempio, 2x 2 - y - 1 = l espressione y = f(x) contiene soltanto operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice, la funzione algebrica. Una funzione algebrica in forma esplicita pu essere: razionale intera (o polinomiale) se espressa mediante un polinomio; in par-ticolare, se il polinomio di primo grado rispetto alla variabile x, la funzione si dice lineare, se il polinomio in x di secondo grado, la funzione detta qua-dratica; il grafico di una funzione lineare una retta, quello di una funzione quadratica una parabola; razionale fratta se espressa mediante quozienti di polinomi.

7 Irrazionale se la variabile indipendente compare sotto il segno di funzioni y = 5x - 7 e y = - x2 + 3x - 8 sono razionali prima lineare, la seconda una funzione razionale fratta. 9yx34=- una funzione una funzione non algebrica, si dice trascendente. Studieremo in se-guito alcune funzioni trascendenti, per esempio la funzione logaritmica e la funzione esponenziale. funzioni definite a trattiEsistono funzioni definite a tratti: sono definite da espressioni analitiche diverse a seconda del valore attribuito alla variabile funzioneyxxx26212=+-+( 11xxsese2#-- definita a tratti.)

8 Nella figura il suo gra-fico in la funzione valore assoluto definita a ' 00xxsese1$| Esercizi a p. 552y = 5x 7algebrichey = 2x, y = log xFUNZIONI trascendentiirrazionalirazionalifrattein tere2x 1y = 3x + 2y = x + 1| Esercizi a p. 552 AnimazioneNell animazione ci sono anche i grafici di:yxxxxx2301030sesese12=---=-*;yxxxxx21 11111sesese11#$=------*.yOx 1y = 2x + 6y = x2 2x + 1 Paragrafo 1. funzioni e loro caratteristiche529 TEORIATy = x la funzione rappresentata dalla bisettrice del primo e terzo quadrante e y = - x rappresentata dalla bisettrice del secondo e quarto quadrante, quindi il grafico di yx= quello della figura a fianco.

9 Dominio naturale di una funzionedefinizioneIl dominio naturale della funzione y = f(x) l insieme pi ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinch esista il corrispondente valore reale dominio naturale viene anche chiamato campo di solito, il dominio naturale non viene assegnato esplicitamente, perch pu es-sere ricavato dall espressione analitica della viene assegnata una funzione senza indicare il dominio, si sottointende che esso il dominio questo motivo, chiamiamo il dominio naturale anche soltanto dominio e lo indichiamo con una funzione razionale intera, il dominio R, che si pu anche scrivere come D: ][;33-+.

10 Se una funzione razionale fratta, il dominio R privato dei valori che annullano il una funzione irrazionale intera, necessario considerare l indice. Nel caso di: indice pari, il radicale negativo non ha significato, perci il dominio dato dall insieme dei valori che rendono non negativo il radicando. indice dispari, sempre definita per tutti i valori per i quali il radicando ha yxxx2 35823=+-+ una funzione razionale fratta, quindi poniamo il deno-minatore diverso da zero:xxx2 3 502521"!!+--; x12!