CHAPITRE 6 SYMETRIE AXIALE - …

1 Cours de math matiques Classe de sixi me Sym trie AXIALE Page 123 CCHAPITRE HAPITRE 6 6 SSYMETRIE AXIALEYMETRIE AXIALE Cours de math matiques Classe de Sixi me Fiche d'exercices Sym trie AXIALE Page 124 FIGURES SYMETRIQUES Le mot sym trie vient du grec syn : "avec" et metron : "mesure". On reviendra sur le sens de ce mot dans la suite de la le on. On parle ici de sym trie AXIALE , la droite (D) prenant le nom d'axe de sym trie pour les points M et M'. On emploie aussi les expressions quivalentes : Sym trie par rapport la droite (D). Sym trie orthogonale d'axe (D) (car on trace des perpendiculaires). Avant de savoir construire parfaitement des sym triques et les utiliser dans des probl mes, il est bon d'en avoir une notion claire et intuitive. La sym trie AXIALE , c'est ce qui se passe dans un miroir.

2 On peut aussi se servir d'un calque que l'on plie le long de l'axe de sym trie. Les deux figures sym triques doivent se superposer parfaitement apr s le pliage. Si on plie le long de l'axe vertical, les deux dessins se superposent exactement. Ce sont donc deux figures sym triques. Cours de math matiques Classe de Sixi me Fiche d'exercices Sym trie AXIALE Page 125 Exercice Retrouver, pour chacun de ces dessins, le ou les axes de sym trie. NL Cours de math matiques Classe de Sixi me Fiche d'exercices Sym trie AXIALE Page 126 POINTS SYMETRIQUES D finition : Deux points M et M' sont sym triques par rapport une droite (D) si : [MM'] (D) (D) coupe [MM'] en son milieu. Les points sont sym triques. La sym trie est l'action (la transformation) qui permet de "passer" d'un point un autre.

3 On ne la verra donc pas. Ce que l'on voit, c'est le r sultat de cette sym trie. Construire un sym trique avec l' querre. Une droite (D) est donn e, et un point A est plac . Il s'agit de construire le sym trique du point A par rapport (D); appelons-le A'. Avec la r gle gradu e (ou le compas) et l' querre: Programme de construction. Construction Tracer la perpendiculaire (D) passant par A. Elle coupe (D) en H. Sur (AH), placer le point A' tel que HA' = AH. (cette longueur peut tre report e avec le compas ou la r gle gradu e.) Construction avec le compas: Programme de construction. Construction Tracer un arc de cercle de centre A qui coupe (D) en M et en N. Tracer deux arcs de m me rayon, l'un de centre M, l'autre de centre N. Ils se coupent en A' A et A sont sym triques par rapport (D) Cours de math matiques Classe de Sixi me Fiche d'exercices Sym trie AXIALE Page 127 Exercice Construire avec l querre gradu e les sym triques des points A, B, C et E par rapport la droite d.

4 Construire avec le compas les sym triques des points M, N , P et R par rapport la droite (D). d A B C E D M P R N Cours de math matiques Classe de Sixi me Fiche d'exercices Sym trie AXIALE Page 128 SYMETRIQUES DES FIGURES SIMPLES Deux segments sym triques par rapport une droite sont superposables lorsque l'on plie la figure le long de l'axe de sym trie. Donc les segments sym triques ont la m me longueur. On nonce cette propri t ainsi : Propri t : La sym trie conserve les distances . Par pliage le long de l'axe de sym trie, il est clair que la sym trique d'une droite est une droite. C'est ce que l'on traduit par la propri t suivante : Propri t s : La sym trie conserve l'alignement. Si deux droites sont perpendiculaires, leurs sym triques le sont aussi.

5 On dit que la sym trie conserve l'orthogonalit . Si deux droites sont parall les, leurs sym triques le sont aussi. On dit que la sym trie conserve le parall lisme. Soit C un cercle de centre O et de rayon R. Son sym trique par rapport une droite (D) est le cercle C' de centre O', sym trique de O par rapport (D), et de m me rayon R. Deux angles sym triques ont la m me mesure. On dit que la sym trie conserve les angles. Cours de math matiques Classe de Sixi me Fiche d'exercices Sym trie AXIALE Page 129 Exercice 1 Construire au compas les sym triques des segments suivants en pla ant les sym triques de leurs extr mit s. Exercice 2 d est l axe de sym trie. Tracer le sym trique de [Ax) par rapport d. Tracer les sym triques des droite (D) et (D ). Tracer le sym trique du cercle de centre O.]

6 Tracer le sym trique de ,BOC (d) d A x (D) (D ) O B C Cours de math matiques Classe de Sixi me Fiche de m thode Sym trie AXIALE Page 130 M1 : Propri t s de conservation : r diger et utiliser. Reprenons les propri t s de conservation nonc es page 128 ; on donne chacune d elles un num ro. Propri t s : P1 La sym trie conserve l'alignement : si trois points sont sur une droite, leurs sym triques sont sur la m me droite sym trique. P2 Si deux droites sont perpendiculaires, leurs sym triques le sont aussi. On dit que la sym trie conserve l'orthogonalit . P3 Si deux droites sont parall les, leurs sym triques le sont aussi. On dit que la sym trie conserve le parall lisme. P4 Soit C un cercle de centre O et de rayon R. Son sym trique par rapport une droite (D) est le cercle C' de centre O', sym trique de O par rapport (D), et de m me rayon R.

7 P5 Deux angles sym triques ont la m me mesure. On dit que la sym trie conserve les angles. Nous allons utiliser ces propri t s dans les exercices suivants : Exercice 1 Montrons que dans la situation apparaissant sur le dessin ci-dessous, il est impossible que les droites (AB) et (A B ) soient sym triques. (et donc que cette apparence de situation n est possible que par ce que la construction est mal faite) On suppose que A et A sont sym triques par rapport d. De m me que B et B . Les deux droites (AB) et (A B ) se coupent en C qui est en dehors de l axe de sym trie. Soit E le point d intersection de (AB) avec l axe d. E est un point de la droite (AB), son sym trique doit donc tre un point de la droite (A B ) qui est la sym trique de (AB) ; cela en application de la propri t P1 : La sym trie conserve l'alignement : si trois points sont sur une droite, leurs sym triques sont sur la m me droite sym trique.

8 Donc le sym trique de E doit se trouver l intersection de d et de (A B ). D apr s le dessin, le point E devrait donc avoir deux positions, ce qui est impossible. Conclusion : Si deux droites sym triques se coupent, ce ne peut tre que sur l axe de sym trie. Application : Que suffit-il de faire pour obtenir la droite sym trique de (AB) si A et A sont sym triques par rapport d ? A C d B A B d B A Cours de math matiques Classe de Sixi me Fiche de m thode Sym trie AXIALE Page 131 Exercice 2 On sait que B et B sont sym triques par rapport d. On veut construire le sym trique de A en n utilisant que la r gle non gradu e et le compas. Terminer la construction et compl ter le texte suivant : La droite (AB) coupe d en G. G est son propre sym trique car .. La sym trique de (BG) est.

9 , car .. A est un point de (BG), donc A est un point de .., car .. Le cercle de centre B et de rayon .. coupe (B G) en deux points M et N. A est l un de ces deux points car .. Exercice 3 Montrer comment on peut utiliser les propri t s de conservation pour terminer la construction du sym trique d un carr d s que l on conna t le sym trique de l un des c t s. B d B A B d B A A C D Cours de math matiques Classe de Sixi me Fiche d'exercices Sym trie AXIALE Page 132 MEDIATRICE D'UN SEGMENT D finition : Si A et B sont sym triques par rapport une droite (D), on dit que (D) est l'axe de sym trie du segment [AB]. L'axe de sym trie d'un segment s'appelle la m diatrice de ce segment. En cons quence de la d finition que nous avons donn e de deux points sym triques, on peut noncer cette premi re propri t de la m diatrice d'un segment : Propri t n 1 : La m diatrice d'un segment est la perpendiculaire ce segment en son milieu.

10 Ce qui peut se traduire par deux phrases r ciproques : 1. Si une droite (D) est la m diatrice d'un segment, alors elle est perpendiculaire ce segment et le coupe en son milieu. 2. Si une droite (D) coupe un segment perpendiculairement et en son milieu, alors c'est la m diatrice de ce segment. Cons quence : Construction de la m diatrice d'un segment l' querre. Programme de construction Construction Le segment [AB] est donn . Il s'agit de construire sa m diatrice. Placer le milieu I de [AB]. Tracer, en I, la perpendiculaire [AB]. Traduction d'une partie de la propri t . Il s'agit ici de la traduction en critures math matiques de la deuxi me partie de la propri t n 1 de la m diatrice. Hypoth ses Conclusion (D) [AB] I est le milieu de [AB] I (D) (D) est la m diatrice de [AB] Cours de math matiques Classe de Sixi me Fiche d'exercices Sym trie AXIALE Page 133 Exercice 1 Traduire en critures math matiques la premi re partie de la propri t n 1 de la m diatrice d'un segment.