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Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de ...

A L G B R ECO U R S D E M AT H M AT I Q U E SPR E M I R E A N N EExo7 la d couverte de l alg breLa premi re ann e d tudes sup rieures pose les bases des math matiques. Pourquoi se lancer dans unetelle exp dition ? D j parce que les math matiques vous offriront un langage unique pour acc der unemultitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce qu il s agit d un domaine passionnant ! Nous vousproposons de partir la d couverte des maths, de leur logique et de leur beaut .Dans vos bagages, des objets que vous connaissez d j : les entiers, les Ces notions en apparencesimples et intuitives seront abord es ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage pr cis et enpr sentant les preuves.

La seconde partie est entièrement consacrée à l’algèbre linéaire. C’est un domaine totalement nouveau pour vous et très riche, qui recouvre la notion de matrice et d’espace vectoriel. Ces concepts, à la fois profonds et utiles, demandent du temps et du travail pour être bien compris.

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  Exercices, Seconde

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1 A L G B R ECO U R S D E M AT H M AT I Q U E SPR E M I R E A N N EExo7 la d couverte de l alg breLa premi re ann e d tudes sup rieures pose les bases des math matiques. Pourquoi se lancer dans unetelle exp dition ? D j parce que les math matiques vous offriront un langage unique pour acc der unemultitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce qu il s agit d un domaine passionnant ! Nous vousproposons de partir la d couverte des maths, de leur logique et de leur beaut .Dans vos bagages, des objets que vous connaissez d j : les entiers, les Ces notions en apparencesimples et intuitives seront abord es ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage pr cis et enpr sentant les preuves.

2 Vous d couvrirez ensuite de nouvelles th ories (les espaces vectoriels, les quationsdiff rentielles,..).Ce tome est consacr l alg bre et se divise en deux parties. La premi re partie d bute par la logiqueet les ensembles, qui sont des fondamentaux en math matiques. Ensuite vous tudierez des ensemblesparticuliers : les nombres complexes, les entiers ainsi que les polyn mes. Cette partie se termine par l tuded une premi re structure alg brique, avec la notion de seconde partie est enti rement consacr e l alg bre lin aire. C est un domaine totalement nouveau pourvous et tr s riche, qui recouvre la notion de matrice et d espace vectoriel.

3 Ces concepts, la fois profonds etutiles, demandent du temps et du travail pour tre bien efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d abord comprendre le Cours , ensuite conna trepar c ur les d finitions, les th or mes, les sans oublier de travailler les exemples et lesd monstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les m canismes de , vous devrez passer autant de temps pratiquer les math matiques : il est indispensable de r soudreactivement par vous-m me des exercices , sans regarder les solutions. Pour vous aider, vous trouverez sur lesite Exo7 toutes les vid os correspondant ce Cours , ainsi que des exercices corrig bout du chemin, le plaisir de d couvrir de nouveaux univers, de chercher r soudre des probl etd y parvenir.

4 Bonne route !Sommaire1 Logique et raisonnements11 Logique ..22 Raisonnements ..62 Ensembles et applications111 Ensembles ..122 Applications ..153 Injection, surjection, bijection ..174 Ensembles finis ..205 Relation d quivalence ..273 Nombres complexes311 Les nombres complexes ..312 Racines carr es, quation du second degr ..363 Argument et trigonom trie ..384 Nombres complexes et g om trie ..424 Arithm tique451 Division euclidienne et pgcd ..452Th or me de B zout ..483 Nombres premiers ..514 Congruences ..545 Polyn mes591D finitions ..592 Arithm tique des polyn mes ..613 Racine d un polyn me, factorisation ..654 Fractions rationnelles.

5 686 Groupes711 Groupe ..712 Sous-groupes ..763 Morphismes de groupes ..774Le groupeZ/nZ..805Le groupe des permutationsSn..827 Syst mes lin aires871 Introduction aux syst mes d quations lin aires ..872Th orie des syst mes lin aires ..913R solution par la m thode du pivot de Gauss ..938 Matrices991D finition ..992 Multiplication de matrices .. 1013 Inverse d une matrice : d finition .. 1064 Inverse d une matrice : calcul .. 1085 Inverse d une matrice : syst mes lin aires et matrices l mentaires .. 1106 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices sym triques .. 1179L espace vectorielRn1231 Vecteurs deRn.

6 1232 Exemples d applications lin aires .. 1263 Propri t s des applications lin aires .. 13210 Espaces vectoriels1371 Espace vectoriel (d but) .. 1372 Espace vectoriel (fin) .. 1403 Sous-espace vectoriel (d but) .. 1444 Sous-espace vectoriel (milieu) .. 1475 Sous-espace vectoriel (fin) .. 1506 Application lin aire (d but) .. 1567 Application lin aire (milieu) .. 1588 Application lin aire (fin) .. 16111 Dimension finie1671 Famille libre .. 1672 Famille g n ratrice .. 1713 Base .. 1734 Dimension d un espace vectoriel .. 1785 Dimension des sous-espaces vectoriels .. 18212 Matrices et applications lin aires1871 Rang d une famille de vecteurs.

7 1872 Applications lin aires en dimension finie .. 1923 Matrice d une application lin aire .. 1984 Changement de bases .. 20413D terminants2111D terminant en dimension 2 et 3 .. 2112D finition du d terminant .. 2153 Propri t s du d terminant .. 2204 Calculs de d terminants .. 2245 Applications des d terminants .. 228 IndexLogique etraisonnementsChapitre1 Vid o partie 1. LogiqueVid o partie 2. RaisonnementsFiche d' exercices Logique, ensembles, raisonnementsQuelques motivations Il est important d avoir unlangage rigoureux. La langue fran aise est souvent ambig e.

8 Prenonsl exemple de la conjonction ou ; au restaurant fromage ou dessert signifie l un ou l autre mais pasles deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche les as ou les c urs alors il ne faut pas exclurel as de c ur. Autre exemple : que r pondre la question As-tu10euros en poche ? si l on dispose de15 euros ? Il y a des notions difficiles expliquer avec des mots : par exemple la continuit d une fonction estsouvent expliqu e par on trace le graphe sans lever le crayon . Il est clair que c est une d finition peusatisfaisante. Voici la d finition math matique de la continuit d une fonctionf:I Ren un pointx0 I: >0 >0 x I(|x x0|< = |f(x) f(x0)|< ).

9 C est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C est lalogique. Enfin les math matiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Par exemple Est-ce qu une augmentationde20%, puis de30%est plus int ressante qu une augmentation de50%? . Vous pouvez penser oui ou non , mais pour en tre s r il faut suivre une d marche logique qui m ne la conclusion. Cetted marche doit tre convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle math matiques sont un langage pour s exprimer rigoureusement, adapt aux ph nom nes complexes,qui rend les calculs exacts et v rifiables. Le raisonnement est le moyen de valider ou d infirmer unehypoth se et de l expliquer ET RAISONNEMENTS1.

10 LOGIQUE21. AssertionsUneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en m me : Il pleut. Je suis plus grand que toi. 2+2=4 2 3=7 Pour tout x R, on a x2>0. Pour tout z C, on a|z|=1. SiPest une assertion etQest une autre assertion, nous allons d finir de nouvelles assertions construites partir dePet op rateur logique et L assertion PetQ est vraie siPest vraie etQest vraie. L assertion P et Q est fausse r sume ceci en unetable de v rit :P\QVFVVFFFFFI G U R Table de v rit de P et Q Par exemple siPest l assertion Cette carte est un as etQl assertion Cette carte est c ur alors l assertion P et Q est vraie si la carte est l as de c ur et est fausse pour toute autre op rateur logique ou L assertion PouQ est vraie si l une (au moins) des deux assertionsPouQest vraie.


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