Transcription of Dérivation - MATHEMATIQUES
1 D rivationNombre d riv . TangentebbbbbM0Mx0f(x0)x=x0+hf(x) M0(x0, f(x0))etM(x, f(x)). Pourx6=x0,le coefficient directeur de la droite(M0M)estf(x) f(x0)x x0. fest d rivable enx0si et seulement si le tauxf(x) f(x0)x x0a une limite finie quandxtend revient au m me de dire que le tauxf(x0+h) f(x0)ha une limite finie quandhtend vers0. Dans ce cas, lenombre d riv defenx0estf (x0) =limx x0f(x) f(x0)x x0. f (x0)est le coefficient directeur de la tangente Cfau pointM0(x0, f(x0)). Une quation de la tangente CfenM0(x0, f(x0))esty=f (x0)(x x0) +f(x0).Trois situations o la fonction f n est pas d rivable en x0) f(x0)x0f(x0)x0f(x0)x0limx x0f(x)6=f(x0).limx x0f(x) f(x0)x x0= .limx x0x<x0f(x) f(x0)x x06=limx x0x>x0f(x) f(x0)x est pas continue une tangente parall le (Oy).Cfadmet deux demi-tangentes dedirections diff d rivables sur un intervalle. Fonction d riv eSoitfune fonction d finie sur un d rivable surIsi et seulement sifest d rivable en chaque r elxdeILafonction d riv e def, not ef , est alors la fonction qui chaque r elxdeIassocie le nombre d riv f (x)de la avec la continuit Sifest d rivable ena, alorsfest continue continue ena,fn est pas obligatoirement d rivable fonction valeur absolue est continue surRmais n est pas d rivable en0.
2 La fonction racine carr e est continue sur[0,+ [mais n est pas d rivable en0. On a ainsi deux exemples de fonctions continues et non d rivables en un ne peut pas dire fest d rivable et continue surI et encore moins fest continue et donc d rivable surI .D riv es et sens de variationSoitfune fonctiond rivablesur unintervalleI. Sif >0(respectivementf 60),fest croissante surI(respectivement d croissante surI). Sif > 0(respectivementf < 0) sauf peut- tre en un nombre fini de points o f s annule, alorsfest strictementcroissante surI(respectivement strictement d croissante surI).D riv es et extrema des fonctionsSoientfune fonctiond rivablesur unintervalle ouvertIetx0un r el deI. Sif(x0)est un extremum local defalorsf (x0) =0. Sif s annule enx0en changeant de signe,fadmet un extremum local Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits r serv]]
