Diferencias divididas (Interpolaci on de Newton)

1 Diferencias divididas (Interpolaci on de Newton) by Rodrigo RussoPartiendo denpuntos (x; y), podemos obtener un polinomio de gradon 1. El m etodo que seutilizar a es el de las Diferencias divididas para obtener los coe cientes, el cual facilita la tarea deresolver un sistema de ecuaciones usando el cociente de sumas y una colecci on denpuntos dexy sus im agenesf(x), se pueden calcular los coe cientes delpolinomio interpolante utilizando las siguientes expresiones:f[xk] =f(xk)k2[0; n]f[xk; xk+1] =f[xk+1] f[xk]xk+1 xkk2[0; n 1]f[xk; xk+1; xk+2] =f[xk+1; xk+2] f[xk; xk+1]xk+2 xkk2[0; n 2]: : :f[xk; xk+1; : : : ; xk+i] =f[xk+1; xk+2; : : : ; xk+i] f[xk; xk+1; : : : ; xk+i 1]xk+i xkk2[0; n i]Finalmente, a partir de los valores obtenidos, se pueden obtener dos formas de representar elpolinomio:Progresivo (desde 0 hastan 1):Pn 1(x) =f[x0] +f[x0; x1] (x x0) +f[x0; x1; x2] (x x0) (x x1)++ +f[x0; x1.]

2 Xn] (x x0) (x x1): : :(x xn 1)Regresivo (desdenhasta 1):Pn 1(x) =f[xn] +f[xn; xn 1] (x xn) +f[xn; xn 1; xn 2] (x xn) (x xn 1)++ +f[xn; xn 1; : : : ; x1] (x xn) (x xn 1): : :(x x1)EjemploDados los puntos (1,2), (3,3), (4,2) y (8,10), se quiere obtener el polinomio interpolante que pasapor ellos. Hallar, por medio de las Diferencias divididas , el polinomio progresivo y tener cuatro puntos, sabemos que el grado del polinomio interpolante ser a tres. Por lo tanto,necesitaremos de cuatro coe cientes para tener nuestro polinomio de nido. Aplicando los pasos de lasdiferencias divididas :xkf[xk]f[xk; xk+1]f[xk; xk+1; xk+2]f[xk; xk+1; xk+2; xk+3]1f[1] = 2f[1;3] =3 23 1=12f[1;3;4] = 1 124 1= 12f[1;3;4;8] = 12 358 1=11703f[3] = 3f[3;4] =2 34 3= 1f[3;4;8] =2+18 3=354f[4] = 2f[4;8] =10 28 4= 28f[8] = 101De esta manera, podemos ver que los valores de la primer la ser an los coe cientes obtenidos deforma progresiva y, si tomamos los ultimos de cada columna, tendremos los coe cientes obtenidos deforma embargo, a medida que aumenta la cantidad de puntos, el m etodo puede volverse confuso debidoa la cantidad de Diferencias a obtener.

3 Por lo tanto, aprovechando la forma en la que se disponen loscoe cientes y por la forma de realizar las operaciones, se emplea una tabla m as simple para seguirvisualmente. Consiste en escribir los puntosxeyen las dos primer columnas; luego, se realizan lasdiferencias de la columna de Diferencias anterior y los valores dexcorrespondientes. Dada la formaque tiene la tabla, se denomina m etodo [xk]f[xk; xk+1]f[xk; xk+1; xk+2]f[xk; xk+1; xk+2; xk+3]121233 12 1117042352810Se puede ver f acilmente qu e c alculo hacer para obtener el siguiente elemento. Cada uno es la restaentre los valores que est an en la columna anterior que est an por encima y debajo de la diferencia encuesti on de forma tal que el valor obtenido queda en el medio de ambos valores. Luego, se divide por ladiferencia entre dos valores dexque se obtienen siguiendo la diagonal desde la diferencia actual, hastaprimer diferencia (f[xk]), hacia arriba y hacia abajo.

4 Finalmente, se resta el inferior con el al ejemplo, si tomamos la diagonal superior de la ultima tabla, obtendremos los coe- cientes del polinomio progresivo; si lo tomamos por la diagonal inferior, obtendremos al (x)progresivo= 2 +12(x 1) 12(x 1)(x 3) +1170(x 1)(x 3)(x 4) ==1170x3 12370x2+19235x 6655P3(x)regresivo= 10 + 2(x 8) 35(x 8)(x 4) +1170(x 8)(x 4)(x 3) ==1170x3 12370x2+19235x 6655 Ambos polinomios resultan ser iguales. Esto es l ogico pues estamos buscando el polinomio de gradotres que pasa por cuatro puntos. Dado que, si plante aramos un sistema de ecuaciones, tendr amoscuatro ecuaciones con cuatro inc ognitas, esta debe ser la unica posible soluci veri car que, efectivamente, el polinomio pase por los puntos. A continuaci on se muestra lagr a ca del polinomio junto con los puntos por los que deb a pasar:20246810 5051015202530353