Transcription of Ejemplo de Simpson 1/3
1 M etodos Num ericosApuntes y EjemplosUnidad No. 6M etodo de Simpson 1/3 Este m etodo consiste en la aproximaci on del c alculo del area plana bajo una curva utilizandotrapecios curvil neos a partir una interpolaci on con una funci on cuadr atica: baf(x)dx b a6[f(a) + 4f(a+b2)+f(b)](1)Esta aproximaci on es denominada simple debido a que utiliza tan s olo un polinomio. Requiere elconocimiento de tres puntos equiespaciados: los extremos y un punto central. Aplicando esta expresi onutilizando mayor cantidad de puntos intermedios (es decir, realizando m as de un Simpson 1/3 dentrodel intervalo) puede definirse la variante compuesta del m etodo para el cual se utilizanNpuntosque corresponden an=N 1 subintervalos.
2 Este caso requiere que la cantidad de subintervalos seanpares (el caso simple utiliza dos, por lo tanto este debe ser un m ultiplo). Por lo tanto, se define unvalorhque corresponde a el ancho del subintervalo o el paso que hay entre puntos. Se calcula comoh=b an. Finalmente, la aproximaci on del area se puede calcular como: baf(x)dx h3 f(a) +f(b) + 4n 22 k=0f(x2k+1) + 2n 22 k=1f(x2k) (2)A modo de interpretaci on, las sumatorias corresponden a los valores de la funci on en los puntosimpares y pares respectivamente sin contar los extremos. Esto es debido a que, en los puntos impares,se encuentra el factor de 4 que introduce la f ormula de Simpson 1/3 simple para los puntos intermediosy, en los puntos pares, el factor de 2 se debe a que ese punto es compartido por los trapecios curvil el area def(x) =e x2desdex= 1hastax= calcular el area debe calcularse su integral y, por lo tanto, la primitiva de la funci on.
3 Eneste caso, no es posible hallarla en t erminos de funciones elementales; por lo tanto, se realizar a unaaproximaci on. En primer lugar, se realizar a la aproximaci on simple utilizando la f ormula (1): 1 1e x2dx 1 ( 1)6[f( 1) + 4f(1 12)+f(1)] 13[0,3678 + 4 1 + 0,3678] 1,5786Se espera que a medida que aumente la cantidad de puntos, la separaci on entre ellos disminuyey debe acercarse al valor de la integral definida. Por lo tanto, se plantea para el caso compuestoutilizando la f ormula (2) con cuatro puntos:n= 4 h=1 ( 1)4= 0,5 Luego se realiza una tabla para identificar qu e valores es necesario calcular y en qu e parte dela ecuaci on se utiliza.
4 En este caso, se construye utilizando los valores dexespaciados porh. Si elvalor dehes calculado correctamente, la tabla deber a partir del valor inicial y llegar al valor , se calculan los valores correspondientes deyy se observan los puntos pares e este caso, los rojos son los impares y los azules impares. Estos son ubicados correspondientementeen la f ormula (2).C atedra de M etodos Num ericos - Dpto. de Matem atica - Facultad de Ingenier a - etodos Num ericosApuntes y EjemplosUnidad No. 6ixf(x) 1: Tabla de valores def(x) 1 1e x2dx 0,53[f( 1) +f(1) + 4(f( 0,5) +f(0,5)) + 2f(0)] 0,53[0,3678 + 0,3678 + 4(0,7788 + 0,7788) + 2 1] 1,4943A modo de verificaci on, se calcular a por software, el valor del area paran= 100, un valor muchom as elevado al que se utiliz o anteriormente.
5 Si lo calculado previamente es correcto, se esperar a quesea pr oximo al valor presentado a continuaci on para ser una buena aproximaci on. 1 1e x2dx 1,4936C atedra de M etodos Num ericos - Dpto. de Matem atica - Facultad de Ingenier a.
