Ecuaciones algebraicas Angel del R´ıo Mateos

1 Ecuaciones algebraicas Angel del R o Mateos Indice generalIntroducci on01. Anillos .. Ideales y anillos cociente .. Homomorfismos de anillos .. Teoremas de isomorf a .. Cuerpos y dominios; ideales maximales y primos .. El cuerpo de fracciones de un dominio .. Divisibilidad .. Problemas .. 272. Anillos de polinomios .. Ra ces de polinomios .. Divisibilidad en anillos de polinomios .. Polinomios en varias indeterminadas .. Polinomios sim etricos.

2 Problemas .. Proyectos .. 553. Definiciones y ejemplos .. Subgrupos .. Subgrupos normales y grupos cociente .. Homomorfismos y Teoremas de Isomorf a .. El orden de un elemento de un grupo .. Conjugaci on y acciones de grupos en conjuntos .. Problemas .. 694. Grupos de Ciclos y trasposiciones .. El grupo alternado .. El Teorema de Abel .. Problemas .. 8035. Grupos El subgrupo derivado y la serie derivada .. Grupos resolubles .. Problemas.

3 876. Extensiones de Extensiones de cuerpos .. Adjunci on de ra ces .. Extensiones algebraicas .. Problemas .. 987. Cuerpos de descomposici Cuerpos algebraicamente cerrados .. Clausura algebraica .. Cuerpos de descomposici on y Extensiones normales .. Problemas .. 1088. Extensiones ciclot Ra ces de la unidad .. Extensiones ciclot omicas .. Problemas .. 1149. Extensiones Grado de separabilidad .. Extensiones separables .. Elementos primitivos.

4 Problemas .. de La correspondencia de Galois .. Extensiones de Galois .. Problemas .. con regla y comp Construcciones con regla y comp as .. Teorema de Wantzel .. Construcci on de pol gonos regulares .. Problemas .. c Polinomio caracter stico, norma y traza .. Teorema 90 de Hilbert .. Caracterizaci on de las extensiones c clicas .. Problemas .. Extensiones radicales .. Caracterizaci on de extensiones radicales .. Problemas .. de Ecuaciones por El Teorema de Galois.

5 La ecuaci on general de gradon.. Resoluci on efectiva .. Resolubilidad de las Ecuaciones de grado primo .. Calculo efectivo del grupo de Galois .. Problemas .. 1850 Introducci onEn la escuela aprendimos a resolver Ecuaciones linealesaX+b= 0(1)y cuadr aticasaX2+bX+c= 0.(2)dondea,bycson n umeros y suponemos quea6= 0. Es bien sabido que la unica soluci on de la ecuaci on(1) es bay que la ecuaci on (2) tiene a lo sumo dos soluciones que se obtienen al elegir el signo de lara z cuadrada en la siguiente expresi on: b b2 4ac2a.

6 (3)En realidad, sib2= 4ac, entonces la ecuaci on (2) tiene una unica soluci on y, si nos restringimos a losn umeros reales, entonces la ecuaci on no tiene soluci on sib2 4aces Ecuaciones (1) y (2) aparecen naturalmente en multitud de problemas y sus soluciones sonconocidas desde tiempos de los babilonios. Sin embargo, hasta el Renacimiento no se descubrieronf ormulas para resolver las Ecuaciones de tercer y cuarto grado, conocidas con el nombre de c ubicas ycu articas respectivamente. Al parecer Scipione del Ferro(1465?)

7 -1526) fue el primero en descubrir unaf ormula para resolver Ecuaciones de tercer grado. Los descubrimientos de del Ferro no fueron divulgadosy fueron redescubiertos m as tarde por Nicolo Fontana (1500?-1557), conocido con el nombre de Tartaglia( El Tartamudo ). El m etodo para resolver la c ubica fue guardado en secreto por Tartaglia hasta quese lo comunic o a Hieronymo Cardano (1501-1576) con la condici on de que no lo hiciera p ublico. Sinembargo, Cardano rompi o su promesa con Fontana y en 1545 public o la f ormula de Tartaglia en sulibroArtis Magnae sive de Regulis Algebricis, m as conocido con el nombre deArs Magna.

8 En este libroCardano no s olo publica la f ormula de Tartaglia, sino tambi en la soluci on de la cu artica que entretantohab a sido descubierta por Ludovico Ferrari (1522-1565).Vamos a ver como resolver la c ubicaaX3+bX2+cX+d(a6= 0).(4)Est a claro que dividiendo porapodemos suponer quea= 1. Adem as podemos suponer queb= 0haciendo el cambioX7 X+ para un valor de apropiado. M as concretamente, si ponemosX3+bX2+cX+d= (X+ )3 3 X2 2 2X 3+bX2+cX+d= (X+ )3+ (b 3 )X2+ (c 3 2)X+d tanto, si elegimos =b3y ponemosY=X+b3, entonces la ecuaci on (4) es equivalente a la siguienteY3+ c 3 ba 2!

9 Y b3 +d ba 3.(5)12Es decir, para resolver la ecuaci on (4) podemos primero resolver la ecuaci on (5) y despu es calcular lassoluciones de la ecuaci on (4) poniendoX=Y ba. La ecuaci on (5) tiene la formaX3+pX+q= 0.(6)Por ejemplo, podemos plantearnos el problema de calcular lalongitud de las aristas de un cubo cuyovolumen sea seis unidades mayor que el area total de las caras exteriores. SiXes la longitud de unaarista, entonces el volumen esX3y cada una de las seis caras exteriores tiene una area igual aX2.

10 PortantoXsatisface la ecuaci onX3= 6X2+ 6 oX3 6X2 6 = 2 nos quedamos con la ecuaci on0 = (Y+ 2)3 6(Y+ 2) 6=Y3+ 6Y3+ 12Y+ 8 6Y2 24Y 24 6=Y3 12Y resolver la ecuaci on (6) del Ferro y Tartaglia pon anX=u+vcon lo que la ecuaci on (6) se convierte enu3+ 3u2v+ 3uv2+v3+pu+pv+q= 0ou3+v3+ (3uv+p)(u+v) +q= hemos cambiado una variable por otras dos, es natural imponer alguna condici on adicional entrelas dos variablesuyv. Por ejemplo, la ultima ecuaci on se simplifica bastante siponemos 3uv+p= 0,con lo que nos quedamos con el siguiente sistemau3+v3+q= 0, v= p3ude donde se obtieneu3 p327u3+q= poru3obtenemosu6+qu3 p3 3= 0(7)que parece m as complicada que la ecuaci on original de grado 3 ya que tiene grado 6.