Ejercicios Resueltos - Dinámica del Cuerpo Rígido

1 F sicaI(2020)EjerciciosResueltos-Din micadelCuerpoR gidoEjercicio1(183delaGu a)Aldescenderelcuerp odemasam1,hacegirarlap oleacil ndricaydesplazahacialaizquierdaelcuerp e cientedero cecin ticoentre ste ltimocuerp oyelplanohorizontales c= 0, ,demasasyesp esoresdespreciables,calcularlaalturaqued escendi elcuerp o1hastaquedardetenidoapartirdelap osici nparalacuallap oleaten aunavelo cidadangularde 0= 3s :m1= 1kg;m2= 20kg;M3= 60kg;M4= 30kg;R3= 40cm;R4= [Respuesta:h= 1,32m] jadoenproblemasdedin micadelapart culaenlosquesenecesitabahallarlaevoluci ntemp ,alcanzabaconcono ,altratarsedecuerp osextensos,nosolamentelaspartesdelsistem apuedentrasladarsesinoqueadem doalasecuacionescono cidasdetraslaci nseagregar unconjuntoqueregulalosmovimientosderotac i ,ap esardequelosproblemastendr anahoraciertacomplejidadadicional,p o demosaplicarlasmismasestrategiasutilizad asparaelab orda jedeaquellosproblemasdedin micadelapart cula,esdecir.

2 A)Hacerlosdiagramasdecuerp )De nirunsistemadeco )EscribirlasecuacionesdeNewtonparacadacu erp oyencadacomp )Reducireln merodeinc gnitasconsiderandolosv ) olibrevamosaescribirlasecuacionesdeNewto neligiendounsistemadeco ordenadasparaelqueelsentidodescendentede lamasam1compatibleconlarotaci ninicialdelap oleaseap ciadaescompatibleconestaelecci otendremosunaunicaecuaci ,unacorresp onder almovimientodetraslaci nprovenientedesuv nculoconlamasacolganteylaotraalequilibri oenladirecci nverticalyp or ltimotendremosunaecuaci ndemomentoquerigeelmovimientoderotaci ndelap sicaI(2020)EcuacionesdeNewtonParalamasam 1P1 T1=m1a1(1)Paralamasam2T2 frc=m2a2(2)N2 P2= 0(3)Yp or ltimoparalap oleaT4R4 T3R3=Ip (4)Algunasdelasinc tesisdequelacuerdaesdemasadespreciable,s iconsideramosquesobreellaseejercenlasrea ccionesdelastensionesaplicadasalap oleayloscuerp osvinculadosatrav sdelacuerda,setienequelaecuaci ndeNewtonparalasogaancladaalradiomenorde lap oleaesT4 -T1 =msas=0yresultaT4 =T1 ycomop oracci nyreacci nsonresp ectivamenteigualesT1 =T1yT4 =T4resultaquesonigualeslastensionesT4=T1 (5)yp orconsideracionesan logasT3=T2(6)Dadoquelacuerdaesinextensib le,lasp osicionesrelativasdedospuntoscualesquier adelamismasemantienenconstanteslocualimp licaquesonigualeslasvelo cidadesyaceleracionesento onemosquenohaydeslizamientoentrelacuerda ylap oleap orloquelasaceleracionesdeloscuerp osylaaceleraci nangulardelap oleasevinculanp orlasrelaciones.

3 A1= R4(7)ylomismoparalasogaqueseenrollaenelr adiomayordelap oleaa2= R3(8)Sireemplazamoslafuerzaderozamientoc ineticop orsuvalorenterminosdelco e cientederozamientocin ticondicadoyelvalordelanormaldebidaalcon tactodelamasa2ylasup er ciedeap oyo,esdecirfrc= cN= cP2,reunimosto dalainformaci ndelosv nculosyreemplazamosenlasecuacionesdeNewt on,elsistemaaresolverquedareducidoeneln merodeinc gnitasP1 T1=m1 R4(9)2F sicaI(2020)T2 cP2=m2 R3(10)T1R4 T2R3=Ip (11)PararesolverdemanerasencillahagamosR 4(9)yR3(10)ysumemoslosresultadosalaecuac i n(11).Esop ermitecancelarlost rminosqueinvolucranalastensionesyarribar aunaexpresi nquenosp ermitedesp ejarlaaceleraci nangularenfunci ndevariablescono er: =P1R4 cP2R3m1R42+m2R32+Ip(12)Elmomentodeinerci adelap oleaesIp=12M3R32+12M4R42,conlocuallaexpr esi n nalparalaaceleraci nangulares: = [m1R4 cm2R3(m1+12M4)R42+ (m2+12M3)R32]g(13)Sisereemplazanlosvalor esdelosdatosresultaquelaaceleraci nangularquebuscamoses: = 0,68s 2 Susignonosmuestraqueenefectoeldescensoin cialdelamasa1cesar debidoalrozamientoyalarelaci nentrelasmasasrelativasylosradiosenlap ticasdelmovimientoconaceleraci nconstante.

4 Y=y(t) y0=v0t+12a1t2= 0R4t+12 R4t2parat talquev(t ) = 0 Reemplazandolosvaloreselresultado nales: y=1, napartirdeconsideracionesenerg ticas:Esteproblemapuedeserresueltoplante andolarelaci nentrelavariaci ndelaenerg amec nicadelsistemayeltraba :WFNC= EM(14)Comencemosanalizandoqu fuerzasdelsistemasonnoconservativasyveam osquetraba joefec-t ,sab emosquedeb emoscalculareltraba jonetoquerealizanlastensiones T1, T2, T3, T4ylafuerzaderozamiento N2y Fvnoreali-zantraba jop orserp erp endicularaldesplazamientoenuncasoyp ornoexistirdesplazamientoresp josdelastensiones T3y jorealizadop orlaprimerafuerzaparahacerrotarlap oleaes:3F sicaI(2020)WT3= T3 dl= T3R3 = T3 l= T3 ysiendo lelrecorridosobreelp er metrodelap oleadeunpuntodelasogacuando stagiraenun ngulo.

5 Comolacuerdaesinextensibleeserecorridoes eldesplazamientodelamasam2sujetaenelextr emodelacuerda ,eltraba jorealizadop orlafuerzaT2es:WT2= T3 dx=T2 yPorlotanto,recordandoquep orserlacuerdademasadespreciablesetienequ eT2=T3,lasumadeestostraba logaalconsiderarlostraba josdelastensiones T1y T4,detalmo doqueeltraba n,lavariaci ndelaenerg amec nicadelsistemaser igualaltraba EM(15)Veamosc moseescrib enlaenerg amec nicainicialeligiendolap osici nh0delamasam1enelinstantequelavelo cidaddelap oleaes 0comocerodelaenerg ap otencialgravitatoriaEimec=Epolcin+Em1cin +Em2cin+Em2potEnelinstanteenelquelap oleasedetiene,lamasam1hadescendidohastal ap osici nhfdemo doquelaenerg amec nica nales:Efmec= m1ghf+Em2potEntonceslaecuaci n(15)quedaWfrc= cN2 y= m1ghf+Em2pot (Epolcin+Em1cin+Em2cin+Em2pot)(16)Lamasa m2nocambiasuenergiap otencialgravitoriaysudesplazamiento y= hR3R4=hfR3R4puestoquehemoselegidoh0= 0 Epolcin=14(M3R23+M4R24) 20Em1cin=12m1 20R24Em2cin=12m2 20R234F sicaI(2020)Reemplazandosetieneque cN2 y= m1ghf (14(M3R23+M4R24) 20+12m1 20R24+12m2 20R23)(17) cm2ghfR3R4=m1ghf+14(M3R23+M4R24) 20+12m1 20R24+12m2 20R23(18)hf=14(M3R23+M4R24) 20+12m1 20R24+12m2 20R23 cm2gR3R4 m1g(19)Si nalmentesereemplazap orlosdatosenestaultimaecuaci nseobtieneelvalordehfcoin-cidenteconelen contradoplanteandolasecuacionesdin ,32m5F sicaI(2020)

6 Ejercicio2 Uncilindrodemasam=2 KgyradioR=20cmruedasindeslizarp orunasup er ciehorizontalqueluegoadquiereunap endientede37 p orlaqueasciendetambi nro cidadangular olibreytomandocomop ordenadascompatiblecondichaelecci nydemo ndemomentosesequivalentetomarladesdeelCM delcilindroodesdedelpuntodecontactodelci lindroconlasup er ciedondeestaaplicadalafuerzaderozamiento est ltimafuerzaeslaqueejercer momentosobreelcilindroyenelsegundo,ser lacomp onentedelp esoparalelaalasup er n,elmomentodeinerciadelcilindrodeb er calcularseusandoelteoremadeSteinerconsid erandoelpuntodecontactocomocentrodemomen tos,Enestaresoluci ntomaremoselCMcomocentrodemomentosEcuaci onesdeNewtonParalatrasclaci ndelCMdelcilindrofre Px=maCM(20)Ycomoecuaci ndemomentostomadosdesdeelCM Rfre=ICM (21)quenoinvolucranialp esop orqueest aplicadoenelCMnialanormalp orqueesparalelaalvectorquese alasupuntodeaplicaci nPararesolvermultipliquemoslaecuaci ndetraslaci np orRmiembroamiembroysumemoslaalaecuacip ondemomementosusandoqueaCM= Ryqueelmomentodeinerciadelcilindrodesdes uCMesICM=12m R2delocualresultaquelaaceleracip onangulardelsistemaser :6F sicaI(2020) = msen R32mR2g(22)Quereemplazandop orlosdatosnosquedan.

7 = 20s 2aCM= 4m/s 2 Elsignonegativonosindicaqueefectivamente elcilindrosedetendr enalg ninstantedesurecorridosobreelplanoycomen zar adescenderconlaaceleraci ncalculadaDelaecuaci ndemomentosesinmediataladeterminaci ndelvalordelafuerzaderozamientofre= ICMR Quereemplzandoresultafre= 4 Ncuyosignop ositivoesconsistenteconelplanteoinicialV eamosahoraqu velo cidadangular 0=v0/Rten emosque: x=x(t) x0=v0t+12aCMt2= 0Rt+12 Rt2yqueparauntiemp ot talquev(t ) = 0eldesplazamientosobreelplanoinclinadoes x=1mDesp ejandoestetiemp odelaecuaci ndelavelo cidadyreemplazandoloenlaecuaci ndelap osici nseobtieneque:v0= 2aCMyenconsecuencia 0= 2aCM/Rquereemplazandop orlosdatosnosda: 0= 14,1s napartirdeconsideracionesenerg ticas:Dadoqueeltraba jodelasfuerzasnoconservativasesnulo,ento nceslaenerg amec onemoselcerodeenerg ap otencialgravitatoriaalpiedelplanoinclina do,entonceslaenerg amec nicaser soloenerg acin ticayluegodelrecorridodelongitud xsobrelasup er ciedelarampa,laenerg amec nicaser allisolamenteenerg ap acin tica,obiencomounarotaci npuraentornoalejeinstantaneoderotaci nquepasap orelpuntodecontactoentreelcilindroyelpis o,obienseparpandolaendost rminos,unaenerg adetraslaci ndelCMyunaenerg aderotaci orestasegundaop ci n7F sicaI(2020)Eimec=12mv2CM+12 ICM 20=34mR2 20=mg xsen =EfmecDedonderesulta 0= 4 xgsen 3R2=14,1s 1 Elitemb)seresuelvedemo doid nticoalplanteoanteriorapartirdelasecuaci onesdeNewton8F sicaI(2020)

8 Ejercicio3 Unavarillademasamv= 3kgylongitudl= 1mtieneadosadoundiscodemasamd= 2kgyradioR= (queesse aladoenla guracomopuntoO)demo doquelep osici nhorizontalyselasueltadesdesup osici nenrep ,hallar:a)Lavelo cidadangular cuandolavarillaest enp osici )Lavelo )ElimpulsoangulardeldiscodesdeelpuntoOcu andoalcanzaelpuntom sba jodefuerzasnoconservativasp orloquelaenerg amec ap otencialalaalturadelap osici nincialdelosCMdeamb oscuerp nlaEimec= osici nvertical,elCMdelavarilladesciendeunadis tancial/2yeldeldiscounadistancialp orlocuallaenerg ap otencialgravitaroriaeneseinstantevaldr :Efpot= mdgl mvgl2 Laenerg acin ticarequierelacorrecci ndelosmomentosdeinerciaresp ectivosre riendolosalejeisntantaneoderotaci n(EIR)quepasap orelpuntoOusandoelteoremadeSteiner,esdec ir:Efcin=12(IEIRd+IEIRv) 2 Efcin=12(ICMd+mdl2+ICMv+mvl24) 2 Efcin=12(12mdR2+mdl2+13mvl2) 29F sicaI(2020)Reuniendoto dalainformaci nlaconservaci ndelaenerg amec nicaquedaexpresadadelsi-guientemo do.

9 Eimec=0=12(12mdR2+mdl2+13mvl2) 2 mdgl mvgl2=EfmecDedondep o demosdesp ejarlavelo cidadangular = 2gl(md+mv2)12mdR2+mdl2+13mvl2(23)sireemp lazamosp orlosdatosenesta ltimaecuaci n = 4,8s 1 Conlavelo cidadangularsepuedecalcularlavelo cidaddelCMdelavarillamultiplicandop orladistancial/2vvarillaCM= 2,4msPor ltimop o demoscalcularelmomentoangulardeldiscodes deelEIRsabiendoquesumo duloes:|Lod|=IEIRd| |=12md(R2+l2)| |queresultareemplazando:|Lod|= 4,99 NmsSiendosudirecci