Transcription of Los números complejos - UOC
1 Los n meros complejos Los n meros complejos Forma bin mica Forma polar Definici n z = a + bi, o bien, z = (a, b) z = r siendo r el m dulo y . siendo a la parte real y b la parte el argumento. imaginaria. a = r cos r = z = a 2 + b2. b = r sen b . = arctan . a . Opuesto z = a bi Conjugado z = a bi Representaci n Operaciones si z = a + bi y z' = a' + b'i si z = r y z ' = s . Suma z + z' = (a + a') + (b + b')i z z' = (a a') + (b b')i Resta z z' = (a a') + (b b')i Multiplicaci n z z' = (aa' bb') + (ab' + a'b)i r s = ( r s ) + . Divisi n z ' a ' a + b ' b ab ' a ' b r . = 2 + 2 i = ( r / s ) . z a + b2 a + b2 s . Potencia z n = ( r ) = ( r n ). n n . 1 . ( r). 1. n r = ( r ) = r n . n = n + 2 k k va desde 0 hasta n 1.
2 + 2 k n n Qu es un n mero complejo? Un n mero complejo, z, est formado por una parte real, a = Re(z), y una parte imaginaria, b = Im(z), y se escribe a + bi , o bien, (a, b). Un n mero complejo es una expresi n con dos sumandos: uno es un n mero real y el otro es un n mero real por una letra i. Por ejemplo, z es un ejemplo de n mero complejo: z = 3 + 4i El sumando sin la i se denomina parte real, mientras que el n mero que acompa a a la i se denomina parte imaginaria del n mero complejo. En el ejemplo anterior, 3 es la parte real y se indica 3 = Re(z); mientras que 4 es la parte imaginaria y se indica 4. = Im(z). Un n mero complejo tambi n puede escribirse en forma de par ordenado; en el ejemplo, el n mero complejo z = 3 + 4i tambi n puede escribirse como (3, 4), siendo la primera coordenada la parte real, y la segunda coordenada la parte imaginaria.
3 As pues, un n mero complejo es un n mero formado por una parte real, a, y una parte imaginaria, b, que se escribe a + bi o bien, (a, b). C mo se representa un n mero complejo? Para representar un n mero complejo pueden utilizarse los ejes coordenados cartesianos, el eje X para la parte real y el eje Y para la parte imaginaria. Para representar un n mero complejo pueden utilizarse los ejes coordenados cartesianos, el eje X para la parte real (eje real) y el eje Y para la parte imaginaria (eje imaginario). As , por ejemplo, el n mero z = 3 + 4i, o tambi n (3, 4), se representa por el siguiente vector: 1. Son necesarios los n meros complejos ? Los n meros complejos son imprescindibles, ya que permiten que cualquier ecuaci n polin mica tenga soluci n.
4 Para ello, se requiere que los n meros reales sean completados con el denominado n mero i, cuyo valor es i = 1 . Es f cil observar que existen ecuaciones que no tienen soluci n real. Por ejemplo, la ecuaci n x2 + 1 = 0. no tiene soluci n, ya que si aislamos la x2: x2 = 1. y no existe ning n n mero real que elevado al cuadrado sea 1, porque deber a suceder que: x = 1. y ya sabemos que no existe la ra z cuadrada de un n mero negativo. Para permitir que ecuaciones del tipo anterior tambi n tengan soluci n, se completan los n meros reales a adiendo la ra z cuadrada de 1, con lo que obtenemos los n meros complejos . A la ra z cuadrada de 1 se le denomina i: i = 1 es decir i2 = 1. y, cualquier n mero complejo se puede expresar de la forma: z = a + bi Veamos que la ecuaci n anterior tiene soluci n compleja: x2 = 1.
5 Por lo tanto, x = 1 = i Es decir, las soluciones de la ecuaci n son +i y i. Ve moslo: i2 + 1 = 1 + 1 = 0. ( i)2 + 1 = 1 + 1 = 0. De este modo, cualquier ecuaci n polin mica tiene soluci n compleja. C mo se representan las potencias de i? Las potencias de i son f ciles de hallar y de representar. Tan s lo es necesario calcular las cuatro primeras porque el resto a partir de la quinta potencia de i, i5, se repiten c clicamente. Las potencias de i son f ciles de hallar: i1 = i i2 = 1. i3 = i2 i = i i4 = (i2)2 = ( 1)2 = 1. i5 = i4 i = i vemos que a partir de i5 se vuelven a repetir los valores, es decir, i5 = i i6 = i2 i7 = i3 i8 = i4. 2. C mo se calculan el opuesto y el conjugado de un n mero complejo?
6 El opuesto de un n mero complejo z = a + bi, se indica z y es igual a z = a bi. El conjugado de dicho complejo z, se indica z , y es z = a bi Dado un n mero complejo z = a + bi, su opuesto, que se indica z, es el n mero complejo con los signos opuestos, es decir, z = a bi. El conjugado de dicho complejo z, que se indica z , se construye cambiando de signo la parte imaginaria de z; as pues, z = a bi . Por ejemplo, el opuesto de z = 3 + 4i es z = 3 4i. Mientras que su conjugado es z = 3 4i. En este gr fico pueden observarse el opuesto y el conjugado de z = 3 + 4i: 3. C mo se realizan la suma y la resta entre complejos ? Para sumar dos n meros complejos z = a + bi y z' = a' + b'i, se suman las partes reales e imaginarias, z + z' = (a + a') + (b + b')i.
7 La resta se realiza de manera similar: z z' = (a a') + (b b')i. Para sumar dos n meros complejos z = a + bi y z' = a' + b'i, se suman las partes reales e imaginarias de la siguiente manera: z + z' = (a + a') + (b + b')i Por ejemplo, si z = 2 + i y z' = 1 + 4i z + z' = ( 2 + 1) + (1 + 4)i = 1 + 5i como puede verse gr ficamente: La resta se realiza de modo similar, restando las partes reales e imaginarias: z z' = (a a') + (b b')i Por ejemplo, si z = 2 + i y z' = 1 + 4i z + z' = ( 2 1) + (1 4)i = 3 3i C mo se realiza el producto de n meros complejos ? El producto de dos n meros complejos z = a + bi y z' = a' + b'i es igual a z z' = (aa' bb') + (ab' + a'b)i. La multiplicaci n de dos n meros complejos se realiza de manera semejante a la multiplicaci n de polinomios: si los n meros son z = a + bi y z' = a' + b'i, para obtener el resultado se sit an uno sobre el otro, y se multiplican factor a factor, teniendo en cuenta que i i = i2 = 1: a + bi a' + b' i aa' + ab'i bb'i2 + a'bi (aa' bb') + (ab' + a'b)i es decir, z z' = (aa' bb') + (ab' + a'b)i As , por ejemplo, si z = 2 + i y z' = 1 + 4i z z' = ( 2 1 1 4) + ( 2 4 + 1 1)i = 6 7i 4.
8 C mo se realiza el cociente de n meros complejos ? El cociente de dos n meros complejos z = a + bi y z' = a' + b'i es igual a z ' a ' a + b ' b ab ' a ' b = 2 + 2 i. z a + b2 a + b2. Para realizar el cociente de dos n meros complejos se deben multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador. Si los n meros son z = a + bi y z'. = a' + b'i, y teniendo en cuenta que i i = i2 = 1: z ' a '+ b ' i ( a '+ b ' i )( a bi ) (a ' a + b ' b) + (ab ' a ' b)i = = = =. z a + bi ( a + bi )( a bi ) a 2 + b2. a ' a + b ' b ab ' a ' b = + 2 i a2 + b2 a + b2. a ' a + b 'b ab ' a ' b es decir, la parte real del cociente es y la parte imaginaria es 2 . a +b 2 2. a + b2. As , por ejemplo, si z' = 3 + i y z = 1 + 2i z ' 1 ( 3) + 2 1 1 1 ( 3) 2.
9 = + i = 0, 2 + 1, 4i z 12 + 22 12 + 22. 5. C mo se representa un n mero complejo en forma polar? Un n mero complejo z = a + bi puede representarse por z = r , siendo r el m dulo de z, y el argumento o ngulo que forma con el eje real. Observando la representaci n de un n mero complejo, es f cil comprobar que el n mero z puede tambi n caracterizarse por la longitud del vector, denominada m dulo, z , y el ngulo que forma con el eje real, denominado argumento. Si el n mero es z = 3 + 4i, la longitud del segmento es z = 32 + 42 = 5 , mientras que el ngulo puede establecerse buscando el arcotangente del cociente entre la parte 4 . imaginaria y la aparte real: = arctan 0,93 rad . 3 . En general, pues, un n mero complejo z = a + bi, o (a, b), puede representarse por z = r , siendo r el m dulo de z, y el ngulo que forma dicho segmento con el eje real: b.
10 R = z = a 2 + b2 = arctan . a . Cabe destacar que el argumento debe ser un ngulo entre 0 y 2p (en ocasiones es mejor utilizar ngulos entre -p y p); si fuese mayor o menor, debe buscarse el ngulo entre 0 y 2p que se corresponda; por ejemplo: el ngulo p se corresponde con el ngulo p. el ngulo 9p/2 se corresponde con el ngulo p/2. C mo se transforma un complejo de forma polar a forma bin mica? La forma bin mica de un n mero complejo en forma polar, z = r , es z = r cos + i r sen . Si z es un n mero complejo en forma polar, z = r , para hallar su forma bin mica, tan s lo deben calcularse las coordenadas del eje real e imaginario, (a, b): a = r cos . b = r sen . es decir, la forma bin mica es z = r cos + i r sen.
