Etude de fonctions - e Math

1 Exo7 Etude de fonctionsExercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche * tr s facile ** facile ** difficult moyenne ** difficile ** tr s difficileI : Incontournable T : pour travailler et m moriser le coursExercice 1 Etude compl te des fonctions (x) =1+x2x3(arctanx x1+x2). (x) =|tanx|+ (x) =x ln 120+60x+12x2+x3120 60x+12x2 x3 .4. 4(x) =xe2xx2 (x) =1xln(ex 1x). (x) =x+ |x2 1|. (x) = (x) =(1+1x) (x) =log2(1 log12(x2 5x+6)). (x) =E(x)+(x E(x)) (x) =arcsin 12 x+arcsin 12+ (x) = (x) =e1/x x+ (x) =arccos(1chx).

2 (x) =ln(y+ y2 1) ln(1+x1 x)o y=1+x21 (x) =ln|shx 1|. (x) =x(xx). (x) = (cosx+sinx)1 (x) =3 x3+1 x2 (x) =arcsin(2x 1)+2 arctan 1 (x) =ln(chx). (x) =32x 1 1 xln (x) =ln 1ex 1 .CorrectionH[005443]1 Correction de l exercice d finie et de classeC surR en vertu de th or mes g n raux. De plus,f1est paire. On tudieraf1sur[0,+ [(se m fier alors pour la d rivabilit en 0). Etude en 0( gauche et droite).f1(x) =x 01x3(1+x2)[x x33+x55+o(x5) x(1 x2+x4+o(x4))]= (1+x2)(2x33 4x55+o(x5)) = (1+x2)(23 4x25+o(x2))=23 2x215+o(x2).Par suite,f1se prolonge par continuit en 0 en posantf1(0) =23.]]

3 Puisquef1admet en 0 un d veloppementlimit d ordre 1, le prolongement encore not f1est d rivable en 0 etf 1(0) = au pointd abscisse 0 une tangente parall le (0x)d quationy=23. Enfin, puisquef(x) 23est, au voisinage de0, du signe de 2x215, la courbe est localement en dessous de sa en+ (et ).f1(x) x + 2x x + 0, et de m mef1(x) x riv e, >0,f (x) = ( 3x4 1x2)(arctanx x1+x2)+1+x2x3(11+x2 1 x2(1+x2)2)= 3+x2x4(arctanx x1+x2)+1+x2x32x2(1+x2)2=3+x2x4( arctanx+x1+x2+x43+x22x(1+x2))=3+x2x4( arctanx+x(3+x2)+2x3(1+x2)(3+x2))=3+x2x4g (x)o , pour tout r elx,g(x) = arctanx+3x3+ d rivable surRet pourxr el,g (x) =3(3+x2) 2x2(3+x2)2 1+x2=3(3 x2)(1+x2) (3+x2)2(1+x2)(3+x2)2= 4x4(3+x2)2(1+x2).

4 G est donc strictement n gative sur]0,+ [et par suite,gest donc strictement d croisante sur[0,+ [.Puisqueg(0) =0, pourx>0,g(x)<0. Finalement,f 1est strictement n gative sur]0,+ [etf1eststrictement d croissante sur[0,+ [.Le tableau de variations def1n apporte rien de 2 3 4 5 1 2 3 4 512/3y=f1(x) d finie surD=R\( 2+ Z), paire et 2 -p continue surDen vertu de th or mesg n raux. On tudief2sur[0, 2[ ] 2, ]. Etude en (x) x /2|tanx|et donc, limx /2f(x) = + .C2admet la droite d quationx= 2pour droite rivabilit et d riv d rivable surR\ 2 Zen vertu de th or mes g n raux et pourx/ 2Z,f 2(x) = 1cos2x sinxo est le signe de aussi d rivable droite en 0 et(f2) d(0) =1.]]]]

5 Par sym trie,f2est d rivable gauche en 0 et(f2) g(0) = est pas d rivable en m me,f2est d rivable gauche et droite en avec(f2) g( ) = 1 et(f2) d( ) =1, et n est doncpas d rivable en . strictement d croissante sur] 2, ]en tant que somme de deux fonctions strictement d croissantessur] 2, ]. Puis, pourx l ment de]0, 2[,f 2(x) =1cos2x sinx>1 1= 2est strictement positive sur]0, 2[et doncf2est strictement croissante sur[0, 2[. 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7123456 1y=f2(x) 3. Pourxr el, posonsP(x) =x3+12x2+60x+120.

6 Pour tout r elx, on aP (x) =3(x2+8x+20) =3((x+4)2+4)> une fonction polyn me de degr 3 strictement croissante surRet s annuledonc une et une seule fois en un certain r el not . De plus,P( 5)P( 4)<0 et ] 5, 4[.Enfin,Pest strictement n gatif sur] , [et strictement positif sur] ,+ [.f3est d finie surR\{ , }, et pourx R\{ , },f3(x) =x ln P(x)P( x) =x ln|P(x)|+ln|P( x)|.3 Notons quef3est rivabilit et d riv de classeC surR\{ , }en vertu de th or mes g n raux et pourx R\{ , },f 3(x) =1 P (x)P(x) P ( x)P( x)=P(x)P( x) P (x)P( x) P ( x)P(x)P( x)P(x).

7 Puis,P(x)P( x) P (x)P( x) P ( x)P(x)= ((12x2+120)+(x3+60x))((12x2+120) (x3+60x)) 3((x2+20)+8x)((12x2+120) (x3+60x))) 3((x2+20) 8x))((12x2+120)+(x3+60x))=144(x2+10)2 x2(x2+60)2 6((x2+20)(12x2+120) (8x)(x3+60x))= ( x6+24x4 720x2+14400) 6(4x4 120x2+2400) = x6,et doncf 3(x) = x6P(x)P( x). Etude en+ .f3(x) x=x + ln(1+12x+o(1x))+ln(1 12x+o(1x)) = 24x+o(1x).On en d duit tout d abord que limx + f3(x) = + ( f3(x) = , puis queC3admet en+ (resp. ) la droite d quationy=xpour droite asymptote et queC3est au-dessous (resp. au-dessus)de cette droite au voisinage de+ (resp.

8 Une part,f 3(0) =0. D autre part, pourx>0,P(x)> 3est donc du signe de P( x)sur]0,+ [\{ }. Ainsi,f 3est strictement n gative sur]0, [et strictement positive sur] ,+ [.On en d duit le tableau de variations + f 3(x)0 +0+ f3 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7123456 1 2 3 4y=xy=f3(x) d finie surR\{ 1,1}. De plus, pourx6=0,f4(1x) =1xe2/x1/x2 1=1xe 2xx2 1=1f4(x).Ce genre de constatation peut servir calculer limx + f4(x)si l on connait limx 0,x>0f4(x), obtenir lesvariations def4sur]0,1[si on les connait sur]1,+ [..On peut aussi noter que x R\{ 1,1},f4( x)f4(x) = x2et donc, pourx6=0,f4( x) = x2f4(x).

9 Cetteconstatation pourra tre utile pour d duire l tude def4en 1 de l tude en en+ et .Puisque2xx2 1 x 0, on af4(x) x xce qui montre d j que limx + f4(x) = + , limx f4(x) = et queC4admet en+ et , une direction asymptotique d quationy=x. Plus pr cis ment,2xx2 1=x 2x(1 1x2) 1=2x+o(1x2),puis,e2xx2 1=x 1+(2x)+(2x)2+o(1x2) =1+2x+2x2+o(1x2).On en d duit quef4(x) =x x+2+2x+o(1x).Par suite,C4admet la droite d quationy=x+2 pour droite asymptote en+ et . De plus, le signedef4(x) (x+2) tant localement le signe de2x,C4est au-dessus de son asymptote au voisinage de+ et au-dessous au voisinage de.

10 Etude en 1 (et -1).Clairement, limx 1,x>1f4(x) = + et limx 1,x> 1f4(x) = . Ensuite, limx 1,x<1f4(x) =0 et limx 1,x< 1f4(x) = prolongef4par continuit gauche en 1 en posantf4(1) =0, et de m me en 1 et on tudie lad rivabilit du prolongement encore not continue sur] 1,1], de classeC1sur] 1,1[et pourx ] 1,1[(voir d riv e-variations),5f 4(x) =x4 2x3 2x2 2x+1(x2 1)2e2xx2 1 x 1,x< apr s un th or me classique d analyse,f4est de classeC1sur] 1,1]et en particulier d rivable gauche en 1 etf g(1) = m me,f4est d rivable gauche en 1 etf g( 1) = en ces points des demi-tangentesparall les l axe(Ox).