Transcription of Exo7 - Cours de mathématiques
1 Espaces vectorielsVid o partie 1. Espace vectoriel (d but)Vid o partie 2. Espace vectoriel (fin)Vid o partie 3. Sous-espace vectoriel (d but)Vid o partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu)Vid o partie 5. Sous-espace vectoriel (fin)Vid o partie 6. Application lin aire (d but)Vid o partie 7.
2 Application lin aire (milieu)Vid o partie 8. Application lin aire (fin)Fiche d'exercices Espaces vectorielsFiche d'exercices Applications lin airesLa notion d espace vectoriel est une structure fondamentale des math matiques modernes. Il s agit de d gager lespropri t s communes que partagent des ensembles pourtant tr s diff rents. Par exemple, on peut additionner deuxvecteurs du plan, et aussi multiplier un vecteur par un r el (pour l agrandir ou le r tr cir).
3 Mais on peut aussiadditionner deux fonctions, ou multiplier une fonction par un r el. M me chose avec les polyn mes, les matrices,.. Lebut est d obtenir des th or mes g n raux qui s appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, de l espace, aux espacesde fonctions, aux polyn mes, aux matrices,.. La contrepartie de cette grande g n ralit de situations est que la notiond espace vectoriel est difficile appr hender et vous demandera une quantit cons quente de travail ! Il est bon d avoird abord tudi le chapitre L espace vectorielRn.
4 1. Espace vectoriel (d but)Dans ce chapitre,Kd signe un corps. Dans la plupart des exemples, ce sera le corps des r D finition d un espace vectorielUn espace vectoriel est un ensemble form de vecteurs, de sorte que l on puisse additionner (et soustraire) deuxvecteursu,vpour en former un troisi meu+v(ouu v) et aussi afin que l on puisse multiplier chaque vecteurud un facteur pour obtenir un vecteur u. Voici la d finition formelle :D finition vectorielest un ensemble non videEmuni : d une loi de composition interne , c est- -dire d une application deE EdansE:E E E(u,v)7 u+v d une loi de composition externe, c est- -dire d une application deK EdansE:K E E( ,u)7 uqui v rifient les propri t s suivantes +v=v+u(pour tousu,v E)ESPACES VECTORIELS1.
5 ESPACE VECTORIEL(D BUT) +(v+w)=(u+v)+w(pour tousu,v,w E)3. Il existe un l ment neutre0E Etel queu+0E=u(pour toutu E)4. Toutu Eadmet unsym triqueu tel queu+u =0E. Cet l mentu est not 1 u=u(pour toutu E)6. ( u)=( ) u(pour tous , K,u E)7. (u+v)= u+ v(pour tous K,u,v E)8.( + ) u= u+ u(pour tous , K,u E)Nous reviendrons en d tail sur chacune de ces propri t s juste apr s des Premiers exemplesExemple 1(LeR-espace vectorielR2).PosonsK=RetE=R2. Un l mentu Eest donc un couple(x,y)avecx l ment deRety l ment deR.
6 Cecis critR2= (x,y)|x R,y R . D finition de la loi (x,y)et(x ,y )sont deux l ments deR2, alors :(x,y)+(x ,y )=(x+x ,y+y ). D finition de la loi est un r el et(x,y)est un l ment deR2, alors : (x,y)=( x, y).L l ment neutre de la loi interne est le vecteur nul(0,0). Le sym trique de(x,y)est( x, y), que l on note aussi (x,y). uuvu+v u0L exemple suivant g n ralise le pr c dent. C est aussi le bon moment pour lire ou relire le chapitre L espace vectorielRn .Exemple 2(LeR-espace vectorielRn).Soitnun entier sup rieur ou gal 1.
7 PosonsK=RetE=Rn. Un l mentu Eest donc unn-uplet(x1,x2, .. ,xn)avecx1,x2, .. ,xndes l ments deR. D finition de la loi (x1, .. ,xn)et(x 1, .. ,x n)sont deux l ments deRn, alors :(x1, .. ,xn)+(x 1, .. ,x n)=(x1+x 1, .. ,xn+x n). D finition de la loi est un r el et(x1, .. ,xn)est un l ment deRn, alors : (x1, .. ,xn)=( x1, .. , xn).ESPACES VECTORIELS1. ESPACE VECTORIEL(D BUT)3L l ment neutre de la loi interne est le vecteur nul(0,0, .. ,0). Le sym trique de(x1, .. ,xn)est( x1, .. , xn), quel on note (x1, .. ,xn).De mani re analogue, on peut d finir leC-espace vectorielCn, et plus g n ralement leK-espace plan passant par l origine dansR3est un espace vectoriel (par rapport aux op rations habituelles sur les vecteurs).
8 SoientK=RetE=Pun plan passant par l origine. Le plan admet une quation de la forme :a x+b y+cz=0o a,betcsont des r els non tous l mentu Eest donc un triplet (not ici comme un vecteur colonne) xyz tel quea x+b y+cz= xyz et x y z deux l ments deP. Autrement dit,a x+b y+cz=0,eta x +b y +cz = x+x y+y z+z est aussi dansPcar on a bien :a(x+x )+b(y+y )+c(z+z )= autres propri t s sont aussi faciles v rifier : par exemple l l ment neutre est 000 ; et si xyz appartient P,alorsa x+b y+cz=0, que l on peut r crirea( x)+b( y)+c( z)=0 et ainsi xyz appartient !
9 Un plan ne contenant pas l origine n est pas un espace vectoriel, car justement il ne contient pas le vecteurnul 000 . Terminologie et notationsRassemblons les d finitions d j vues. On appelle les l ments deEdesvecteurs. Au lieu deK-espace vectoriel, on dit aussi espace vectoriel surK. Les l ments deKseront appel s desscalaires. L l ment neutre0Es appelle aussi levecteur nul. Il ne doit pas tre confondu avec l l ment0 deK. Lorsqu iln y aura pas de risque de confusion, 0 Esera aussi not 0. Lesym trique ud un vecteuru Es appelle aussi l oppos.
10 La loi de composition interne surE(not e usuellement+) est appel e couramment l addition etu+u est appel esomme des vecteursuetu . La loi de composition externe surEest appel e couramment multiplication par un scalaire. La multiplication duvecteurupar le scalaire sera souvent not e simplement u, au lieu de est possible de d finir, par r currence, l addition denvecteurs,n>2. La structure d espacevectoriel permet de d finir l addition de deux vecteurs (et initialise le processus). Si maintenant la somme den 1vecteurs est d finie, alors la somme denvecteursv1,v2.
