Exo7 - Cours de mathématiques

1 A N A LY S ECO U R S D E M AT H M AT I Q U E SPR E M I R E A N N EExo7 la d couverte de l analyseLes math matiques , vous les avez bien s r manipul es au lyc e. Dans le sup rieur, il s agit d apprendre les construire ! La premi re ann e pose les bases et introduit les outils dont vous aurez besoin par la est aussi l occasion de d couvrir la beaut des math matiques , de l infiniment grand (les limites) l infiniment petit (le calcul de d riv e).L outil central abord dans ce tome d analyse, ce sont les fonctions. Vous en connaissez d j beaucoup,racine carr e, sinus et cosinus, logarithme, Elles interviennent d s que l on s int resse des ph nom nes qui varient en fonction de certains param tres. Position d une com te en fonction dutemps, variation du volume d un gaz en fonction de la temp rature et de la pression, nombre de bact rie enfonction de la nourriture disponible : physique, chimie, biologie ou encore conomie, autant de domainesdans lesquels le formalisme math matique s applique et permet de r soudre des probl tome d bute par l tude des nombres r els, puis des suites.

2 Les chapitres suivants sont consacr s auxfonctions : limite, continuit , d rivabilit sont des notions essentielles, qui reposent sur des d finitions etdes preuves minutieuses. Toutes ces notions ont une interpr tation g om trique, qu on lit sur le graphe de lafonction, et c est pourquoi vous trouverez dans ce livre de nombreux dessins pour vous aider comprendrel intuition cach e derri re les nonc s. En fin de volume, deux chapitres explorent les applications des tudes de fonctions au trac de courbes param tr es et la r solution d quations diff efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d abord comprendre le Cours , ensuite conna trepar c ur les d finitions, les th or mes, les sans oublier de travailler les exemples et lesd monstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les m canismes de , vous devrez passer autant de temps pratiquer les math matiques : il est indispensable de r soudreactivement par vous-m me des exercices, sans regarder les solutions !

3 Pour vous aider, vous trouverez sur lesite Exo7 toutes les vid os correspondant ce Cours , ainsi que des exercices corrig n h sitez plus : manipulez, calculez, raisonnez, et dessinez, vous de jouer !Sommaire1 Les nombres r els11L ensemble des nombres rationnelsQ..22 Propri t s deR..43 Densit deQdansR..84 Borne sup rieure ..92 Les suites151D finitions ..152 Limites ..173 Exemples remarquables ..234Th or me de convergence ..265 Suites r currentes ..303 Limites et fonctions continues371 Notions de fonction ..382 Limites ..423 Continuit en un point ..474 Continuit sur un intervalle ..515 Fonctions monotones et bijections ..544 Fonctions usuelles591 Logarithme et exponentielle ..592 Fonctions circulaires inverses ..633 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses ..665D riv e d une fonction691D riv e ..702 Calcul des d riv es ..733 Extremum local, th or me de Rolle.

4 774Th or me des accroissements finis ..806 Int grales851L int grale de Riemann ..872 Propri t s de l int grale ..933 Primitive d une fonction ..954 Int gration par parties Changement de variable .. 1005 Int gration des fractions rationnelles .. 1047D veloppements limit s1091 Formules de Taylor .. 1102D veloppements limit s au voisinage d un point .. 1143Op rations sur les d veloppements limit s .. 1174 applications des d veloppements limit s .. 1228 Courbes param tr es1271 Notions de base .. 1282 Tangente une courbe param tr e .. 1353 Points singuliers Branches infinies .. 1404 Plan d tude d une courbe param tr e .. 1475 Courbes en polaires : th orie .. 1536 Courbes en polaires : exemples .. 1589 quations diff rentielles1651D finition .. 1662 quation diff rentielle lin aire du premier ordre .. 1683 quation diff rentielle lin aire du second ordre coefficients constants.

5 1744 Probl mes conduisant des quations diff rentielles .. 17810Le ons de choses1851 Alphabet grec .. 1852 crire des math matiques : LATEX en cinq minutes .. 1863 Formules de trigonom trie : sinus, cosinus, tangente .. 1884 Formulaire : trigonom trie circulaire et hyperbolique .. 1935 Formules de d veloppements limit s .. 1956 Formulaire : primitives .. 196 IndexLes nombres r elsChapitre1 Vid o partie 1. L'ensemble des nombres rationnelsQVid o partie 2. Propri t s deRVid o partie 3. Densit deQdansRVid o partie 4. Borne sup rieureFiche d'exercices Propri t s deRMotivationVoici une introduction, non seulement ce chapitre sur les nombres r els, mais aussi aux premiers chapitresde ce Cours d temps des Babyloniens (en M sopotamie de 3000 600 avant ) le syst me de num ration taiten base60, c est- -dire que tous les nombres taient exprim s sous la formea+b60+c602+.

6 On peutimaginer que pour les applications pratiques c tait largement suffisant (par exemple estimer la surfaced un champ, le diviser en deux parties gales, calculer le rendement par unit de surface,..). En langagemoderne cela correspond compter uniquement avec des nombres pythagoriciens (vers 500 avant en Gr ce) montrent quep2n entre pas ce cadre l . C est- -dire quep2ne peut s crire sous la formepqavecpetqdeux entiers. C est un double saut conceptuel : d une partconcevoir quep2 est de nature diff rente mais surtout d en donner une d fil rouge de ce Cours va tre deux exemples tr s simples : les nombresp10et1,101/12. Le premierrepr sente par exemple la diagonale d un rectangle de base3 et de hauteur1 ; le second correspond parexemple au taux d int r t mensuel d un taux annuel de10 %. Dans ce premier chapitre vous allez apprendre montrer quep10n est pas un nombre rationnel mais aussi encadrerp10et 1,101/12entre deux entierscons pouvoir calculer des d cimales apr s la virgule, voire des centaines de d cimales, nous aurons besoind outils beaucoup plus sophistiqu s : une construction solide des nombres r els, l tude des suites et de leur limites, l tude des fonctions continues et des fonctions d trois points sont li s et permettent de r pondre notre probl me, car par exemple nous verrons en tudiant la fonctionf(x)=x2 10que la suite des rationnels(un)d finie paru0=3 etun+1=12 un+10un tend tr s vite versp10.

7 Cela nous permettra de calculer des centaines de d cimales dep10et de certifierqu elles sont exactes :p10=3, 1622776601683793319988935444327185337195 551393252168 ..LES NOMBRES R ELS1. L ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELSQ21. L ensemble des nombres criture d cimalePar d finition, l ensemble desnombres rationnelsestQ= pq|p Z,q N .On a not N =N\{0}.Par exemple :25; 710;36= nombres d cimaux, c est- -dire les nombres de la formea10n, aveca Zetn N, fournissent d autresexemples :1, 234=1234 10 3=123410000, 00345=345 10 5=345100 nombre est rationnel si et seulement s il admet une criture d cimale p riodique ou exemple :35=0, 613=0, 3333 ..1, 179 325 325 325 ..Nous n allons pas donner la d monstration mais le sens direct (= ) repose sur la division euclidienne. Pourla r ciproque ( =) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons quex=12,342021 2021.

8 Est un id e est d abord de faire appara tre la partie p riodique juste apr s la virgule. Ici la p riode commencedeux chiffres apr s la virgule, donc on multiplie par 100 :100x=1234, 2021 2021 ..(1)Maintenant on va d caler tout vers la gauche de la longueur d une p riode, donc ici on multiplie encore par10 000 pour d caler de 4 chiffres :10 000 100x=1234 2021, 2021 ..(2)Les parties apr s la virgule des deux lignes(1)et(2)sont les m mes, donc si on les soustrait en faisant(2)-(1) alors les parties d cimales s annulent :10 000 100x 100x=12 342 021 1234donc 999 900x=12 340 787 doncx=12 340 787999 donc bien s rx est pas un nombre rationnelIl existe des nombres qui ne sont pas rationnels, lesirrationnels. Les nombres irrationnels apparaissentnaturellement dans les figures g om triques : par exemple la diagonale d un carr de c t 1 est le nombreirrationnelp2; la circonf rence d un cercle de rayon12est qui est galement un nombre irrationnel.

9 Enfine=exp(1)est aussi NOMBRES R ELS1. L ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELSQ31p2 12 Nous allons prouver quep2 n est pas un nombre QD l absurde supposons quep2soit un nombre rationnel. Alors il existe des entiersp Zetq N tels quep2=pq, de plus ce sera important pour la suite on suppose quepetqsont premiersentre eux (c est- -dire que la fractionpqest sous une criture irr ductible).En levant au carr , l galit p2=pqdevient2q2=p2. Cette derni re galit est une galit d entier de gauche est pair, donc on en d duit quep2est pair ; en terme de divisibilit 2 si2 divisep2alors2 divisep(cela se prouve par facilement l absurde). Donc il existe un entierp Ztel quep=2p .Repartons de l galit 2q2=p2et rempla onsppar2p . Cela donne2q2=4p 2. Doncq2=2p 2. Maintenantcela entra ne que 2 diviseq2et comme avant alors 2 avons prouv que2 divise la foispetq. Cela rentre en contradiction avec le fait quepetqsontpremiers entre eux.

10 Notre hypoth se de d part est donc fausse :p2 n est pas un nombre ce r sultat est important en voici une deuxi me d monstration, assez diff rente, mais toujours parl d l absurde, supposonsp2=pq, doncqp2=p N. Consid rons l ensembleN= n N |np2 N .Cet ensemble n est pas vide car on vient de voir queqp2=p Ndoncq N. AinsiNest une partie nonvide deN, elle admet donc un plus petit l mentn0= n0=n0(p2 1),il d coule de cette derni re galit et de 1<p2<2 que 0<n1< plusn1p2=(n0p2 n0)p2=2n0 n0p2 N. Doncn1 Netn1<n0: on vient de trouver un l mentn1deNstrictement plus petit quen0qui tait le minimum. C est une hypoth se de d part est fausse, doncp2/ quep10/ repr sente souvent les nombres r els sur une droite num rique : 3 2 1012345 ep2 LES NOMBRES R ELS2. PROPRI T S DER4Il est bon de conna tre les premi res d cimales de certains r elsp2'1,4142.. '3,14159265.