Exo7 - Cours de mathématiques

1 Les suitesVid o partie 1. Premi res d finitionsVid o partie 2. LimiteVid o partie 3. Exemples remarquablesVid o partie 4. Th or mes de convergenceVid o partie 5. Suites r currentesFiche d'exercices SuitesIntroductionL tude des suites num riques a pour objet la compr hension de l volution de s quences de nombres (r els, ). Ceci permet de mod liser de nombreux ph nom nes de la vie quotidienne.

2 Supposons par exemple que l on placeune sommeS un taux annuel de 10%. SiSnrepr sente la somme que l on obtiendra apr snann es, on aS0=S S1=S 1, 1..Sn=S (1, 1) bout den=10ans, on poss dera doncS10=S (1,1)10tS 2,59: la somme de d part avec les int r ts cumul D D finition d une suiteD finition 1. Unesuiteest une applicationu:N R. Pourn N, on noteu(n)parunet on l appellen- metermeouterme g n ralde la suite est not eu, ou plus souvent(un)n Nou simplement(un). Il arrive fr quemment que l on consid re des suitesd finies partir d un certain entier natureln0plus grand que 0, on note alors(un)n> 1.

3 (pn)n>0est la suite de termes : 0, 1,p2,p3,.. (( 1)n)n>0est la suite qui alterne+1, 1,+1, 1,.. La suite (Sn)n>0de l introduction d finie parSn=S (1, 1)n, (Fn)n>0d finie parF0=1,F1=1 et la relationFn+2=Fn+1+Fnpourn N( suite de Fibonacci). Les premierstermes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .. Chaque terme est la somme des deux pr c dents. 1n2 n>1. Les premiers termes sont 1,14,19,116, ..LES SUITES1. D suite major e, minor e, born eD finition (un)n Nune suite . (un)n Nestmajor esi M R n Nun6M. (un)n Nestminor esi m R n Nun>m.

4 (un)n Nestborn esi elle est major e et minor e, ce qui revient dire : M R n N|un| +++++++m+++++++ suite croissante, d croissanteD finition (un)n Nune suite . (un)n Nestcroissantesi n Nun+1>un. (un)n Neststrictement croissantesi n Nun+1>un. (un)n Nestd croissantesi n Nun+16un. (un)n Neststrictement d croissantesi n Nun+1<un. (un)n Nestmonotonesi elle est croissante ou d croissante. (un)n Neststrictement monotonesi elle est strictement croissante ou strictement d un exemple d une suite croissante (mais pas strictement croissante) :++++++++Remarque.

5 (un)n Nest croissante si et seulement si n Nun+1 un>0. Si(un)n Nest une suite termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si n Nun+1un> 2. La suite (Sn)n>0de l introduction est strictement croissante carSn+1/Sn=1, 1>1. La suite (un)n>1d finie parun=( 1)n/npourn>1, n est ni croissante ni d croissante. Elle est major e par1/2(borne atteinte enn=2), minor e par 1 (borne atteinte enn=1).LES SUITES2. LIMITES3123456112 12-1++++++ La suite 1n n>1est une suite strictement d croissante. Elle est major e par1 (borne atteinte pourn=1), elle estminor e par 0 mais cette valeur n est jamais La suite nn+1 n Nest-elle monotone ?

6 Est-elle born e ?2. La suite nsin(n!)1+n2 n Nest-elle born e ? crire les phrases suivantes en une phrase math matique. crire ensuite la n gation math matique de chacunedes phrases. (a) La suite (un)n Nest major e par7. (b) La suite (un)n Nest constante. (c) La suite (un)n Neststrictement positive partir d un certain rang. (d)(un)n Nn est pas strictement Est-il vrai qu une suite croissante est minor e ? Major e ?5. Soitx>0 un r el. Montrer que la suite xnn! n Nest d croissante partir d un certain IntroductionPour un trajet au prix normal de 20 euros on ach te une carte d abonnement de train 50euros et on obtient chaquebillet 10 euros.

7 La publicit affirme 50% de r duction . Qu en pensez-vous ?Pour mod liser la situation en termes de suites, on pose pour un entiern>1 :un=20nvn=10n+50unest le prix pay au bout denachats au tarif plein, etvncelui au tarif r duit, y compris le prix de l abonnement. Lar duction est donc, en pourcentage :1 vnun=un vnun=10n 5020n=0, 5 52n n + 0, 5Il faut donc une infinit de trajets pour arriver 50% de r duction !50%++++++++LES SUITES2. Limite finie, limite infinieSoit(un)n Nune finition suite (un)n Na pourlimite` Rsi : pour tout >0, il existe un entier naturelNtel que sin>Nalors|un `|6 : >0 N N n N(n>N= |un `|6 )On dit aussi que la suite (un)n Ntend vers`.

8 Autrement dit :unest proche d aussi pr s que l on veut de`, partird un certain rang.``+ ` +++++++++++++NnunD finition La suite (un)n Ntend vers+ si : A>0 N N n N(n>N= un>A)2. La suite (un)n Ntend vers si : A>0 N N n N(n>N= un6 A) On note limn + un=`ou parfoisun n + `, et de m me pour une limite .2. limn + un= limn + un=+ .3. On raccourcit souvent la phrase logique en : >0 N N(n>N= |un `|6 ).Noter queNd pend de et qu on ne peut pas changer l ordre du pour tout et du il existe . in galit |un `|6 signifie` 6un6`+.

9 On aurait aussi pu d finir la limite par la phrase : >0 N N(n>N= |un `|< ), o l on a remplac la derni re in galit large par une in galit finition suite (un)n Nestconvergentesi elle admet une limitefinie. Elle estdivergentesinon (c est- -dire soit la suitetend vers , soit elle n admet pas de limite).On va pouvoir parler delalimite, si elle existe, car il y a unicit de la limite : proposition une suite est convergente, sa limite est proc de par l absurde. Soit(un)n Nune suite convergente ayant deux limites`6=`.

10 Choisissons >0 tel que <|` ` | limn + un=`, il existeN1tel quen>N1implique|un `|< .De m me limn + un=` , il existeN2tel quen>N2implique|un ` |< .NotonsN=max(N1,N2), on a alors pour ceN:|uN `|< et|uN ` |< LES SUITES2. LIMITES5 Donc|` ` |=|` uN+uN ` |6|` uN|+|uN ` |d apr s l in galit triangulaire. On en tire|` ` |6 + =2 <|` ` |.On vient d aboutir l in galit |` ` |<|` ` |qui est impossible. Bilan : notre hypoth se de d part est fausse etdonc`=` . Propri t s des limitesProposition + un=` limn + (un `)=0 limn + |un `|=0, + un=`= limn + |un|=|`|.