Exo7 - Cours de mathématiques

1 Cours de math matiquesPremi re ann eExo72 SommaireExo71 Logique et raisonnements .. 91 Logique .. 92 Raisonnements .. 142 Ensembles et applications .. 191 Ensembles .. 202 Applications .. 233 Injection, surjection, bijection .. 254 Ensembles finis .. 295 Relation d quivalence .. 363 Nombres complexes .. 411 Les nombres complexes .. 412 Racines carr es, quation du second degr .. 453 Argument et trigonom trie .. 484 Nombres complexes et g om trie .. 524 Arithm tique .. 551 Division euclidienne et pgcd .. 552Th or me de B zout .. 593 Nombres premiers .. 634 Congruences.

2 665 Polyn mes .. 731D finitions .. 732 Arithm tique des polyn mes .. 763 Racine d un polyn me, factorisation .. 804 Fractions rationnelles .. 856 Groupes .. 891 Groupe .. 892 Sous-groupes .. 943 Morphismes de groupes .. 964Le groupeZ/nZ.. 995Le groupe des permutationsSn.. 1017 Les nombres r els .. 1071L ensemble des nombres rationnelsQ.. 1082 Propri t s deR.. 1103 Densit deQdansR.. 1144 Borne sup rieure .. 11634 SOMMAIRE8 Les suites .. 1211D finitions .. 1212 Limites .. 1243 Exemples remarquables .. 1304Th or me de convergence .. 1355 Suites r currentes.

3 1409 Limites et fonctions continues .. 1471 Notions de fonction .. 1482 Limites .. 1523 Continuit en un point .. 1584 Continuit sur un intervalle .. 1635 Fonctions monotones et bijections .. 16610 Fonctions usuelles .. 1731 Logarithme et exponentielle .. 1732 Fonctions circulaires inverses .. 1773 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses .. 18011D riv e d une fonction .. 1851D riv e .. 1862 Calcul des d riv es .. 1893 Extremum local, th or me de Rolle .. 1934Th or me des accroissements finis .. 19712Z ros des fonctions .. 2031La dichotomie.

4 2032La m thode de la s cante .. 2083La m thode de Newton .. 21213 Int grales .. 2171L int grale de Riemann .. 2192 Propri t s de l int grale .. 2253 Primitive d une fonction .. 2284 Int gration par parties Changement de variable .. 2345 Int gration des fractions rationnelles .. 23814D veloppements limit s .. 2431 Formules de Taylor .. 2442D veloppements limit s au voisinage d un point .. 2503Op rations sur les d veloppements limit s .. 2534 Applications des d veloppements limit s .. 25715 Courbes param tr es .. 2631 Notions de base .. 2642 Tangente une courbe param tr e.

5 2713 Points singuliers Branches infinies .. 2774 Plan d tude d une courbe param tr e .. 2845 Courbes en polaires : th orie .. 2916 Courbes en polaires : exemples .. 298 SOMMAIRE516 Syst mes lin aires .. 3031 Introduction aux syst mes d quations lin aires .. 3032Th orie des syst mes lin aires .. 3073R solution par la m thode du pivot de Gauss .. 31017L espace vectorielRn.. 3171 Vecteurs deRn.. 3172 Exemples d applications lin aires .. 3203 Propri t s des applications lin aires .. 32618 Matrices .. 3331D finition .. 3332 Multiplication de matrices .. 3363 Inverse d une matrice : d finition.

6 3414 Inverse d une matrice : calcul .. 3435 Inverse d une matrice : syst mes lin aires et matrices l mentaires .. 3466 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices sym triques .. 35319 Espaces vectoriels .. 3611 Espace vectoriel (d but) .. 3612 Espace vectoriel (fin) .. 3653 Sous-espace vectoriel (d but) .. 3694 Sous-espace vectoriel (milieu) .. 3735 Sous-espace vectoriel (fin) .. 3766 Application lin aire (d but) .. 3837 Application lin aire (milieu) .. 3858 Application lin aire (fin) .. 38820 Dimension finie .. 3951 Famille libre .. 3952 Famille g n ratrice.

7 4003 Base .. 4024 Dimension d un espace vectoriel .. 4085 Dimension des sous-espaces vectoriels .. 41321 Matrices et applications lin aires .. 4191 Rang d une famille de vecteurs .. 4192 Applications lin aires en dimension finie .. 4253 Matrice d une application lin aire .. 4324 Changement de bases .. 43822D terminants .. 4471D terminant en dimension2et3.. 4472D finition du d terminant .. 4513 Propri t s du d terminant .. 4574 Calculs de d terminants .. 4625 Applications des d terminants .. 4666 SOMMAIREC ours et exercices de Creative Commons BY-NC-SA FRLogique &RaisonnementsEnsembles &ApplicationsArithm tiqueNombrescomplexesPolyn mesEspacesvectorielsGroupesSyst meslin airesDimension finieMatricesApplicationslin airesD terminantsDroites et plansCourbes pa-ram tr sG om trie affineet euclidienneNombres r elsSuites IFonctionscontinuesZ ros defonctionsD riv esTrigonom trieFonctionsusuellesD veloppementslimit sInt grales IInt grales IISuites II quationsdiff rentiellesLicence Creative Commons BY-NC-SA FR8 SOMMAIRE1 Logique et raisonnementsExo71 Logique2

8 RaisonnementsVid o partie 1. LogiqueVid o partie 2. RaisonnementsExercices Logique, ensembles, raisonnementsQuelques motivations Il est important d avoir unlangage rigoureux. La langue fran aise est souvent ambig l exemple de la conjonction ou ; au restaurant fromage ou dessert signifie l unou l autre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche les as ou lesc urs alors il ne faut pas exclure l as de c ur. Autre exemple : que r pondre la question As-tu10euros en poche ? si l on dispose de 15 euros ?

9 Il y a des notions difficiles expliquer avec des mots : par exemple la continuit d une fonctionest souvent expliqu e par on trace le graphe sans lever le crayon . Il est clair que c est uned finition peu satisfaisante. Voici la d finition math matique de la continuit d une fonctionf:I Ren un pointx0 I: >0 >0 x I(|x x0|< = |f(x) f(x0)|< ).C est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C est lalogique. Enfin les math matiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Par exemple Est-ce qu uneaugmentation de20%, puis de30%est plus int ressante qu une augmentation de50%?

10 Vouspouvez penser oui ou non , mais pour en tre s r il faut suivre une d marche logiquequi m ne la conclusion. Cette d marche doit tre convaincante pour vous mais aussi pourles autres. On parle math matiques sont un langage pour s exprimer rigoureusement, adapt aux ph nom nescomplexes, qui rend les calculs exacts et v rifiables. Le raisonnement est le moyen de valider ou d infirmer une hypoth se et de l expliquer AssertionsUneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en m me : Il pleut. Je suis plus grand que toi. 2+2=4 10 Logique et raisonnements 2 3=7 Pour toutx R, on ax2 0.