Exo7 - Exercices de mathématiques

1 Exo7 Calculs d int gralesFiche d Arnaud Bodin, soigneusement relue par Chafiq Benhida1 Utilisation de la d finitionExercice 1 Soitfla fonction d finie sur[0,4]parf(x) = 1six=01si 0<x<13six=1 2si 1<x624si 2< Calculer 40f(t) Soitx [0,4], calculerF(x) = x0f(t) Montrer queFest une fonction continue sur[0,4]. La fonctionFest-elle d rivable sur[0,4]?CorrectionHVid o [002081]Exercice 2 Soient les fonctions d finies surR,f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex,Justifier qu elles sont int grables sur tout intervalle ferm born deR. En utilisant les sommes de Riemann,calculer les int grales 10f(x)dx, 21g(x)dxet x0h(t) o [002082]Exercice 3 Soitf:[a,b] Rune fonction continue sur[a,b](a<b).1. On suppose quef(x)>0 pour toutx [a,b], et quef(x0)>0 en un pointx0 [a,b].

2 Montrer que baf(x)dx>0. En d duire que : sifest une fonction continue positive sur[a,b]telle que baf(x)dx=0alorsfest identiquement nulle .2. On suppose que baf(x)dx=0. Montrer qu il existec [a,b]tel quef(c) = Application : on suppose quefest une fonction continue sur[0,1]telle que 10f(x)dx=12. Montrerqu il existed [0,1]tel quef(d) = o [002085]Exercice 4 Soitf:R Rune fonction continue surRetF(x) = x0f(t)dt. R pondre par vrai ou faux aux affirmationssuivantes continue d rivable surRde d riv Sifest croissante surRalorsFest croissante Sifest positive surRalorsFest positive Sifest positive surRalorsFest croissante SifestT-p riodique surRalorsFestT-p riodique Sifest paire alorsFest o [002091]2 Calculs de primitivesExercice 5 Calculer les primitives suivantes par int gration par x2lnxdx2.

3 Xarctanxdx3. lnxdxpuis (lnx)2dx4. cosxexpxdxIndicationHCorrectionHVid o [006864]Exercice 6 Calculer les primitives suivantes par changement de (cosx)1234sinxdx2. 1xlnxdx3. 13+exp( x)dx4. 1 4x x2dxIndicationHCorrectionHVid o [006865]Exercice 7 Calculer les primitives suivantes, en pr cisant si n cessaire les intervalles de validit des calculs :1. x+2x2 3x 4dx2. x 1x2+x+1dx3. sin8xcos3xdx4. 1sinxdx5. 3 sinx2 cosx+3 tanxdxIndicationHCorrectionHVid o [006866]3 Calculs d int gralesExercice 8 Calculer les int grales suivantes :1. 20xsinxdx(int gration par parties)2. 10ex ex+1dx( l aide d un changement de variable simple)3. 101(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)24. 103x+1(x+1)2dx(d composition en l ments simples)5.

4 212(1+1x2)arctanxdx(changement de variableu=1x)IndicationHCorrectionHVid o [006867]Exercice 9 Calculer les int grales suivantes : 2011+sinxdxet 20sinx1+ o [002095]Exercice 10 Int grales de WallisSoitIn= 20(sinx)ndxpourn Montrer queIn+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En d duire 1 1(1 x2) Montrer que(In)nest positive d croissante. Montrer queIn In+13. SimplifierIn In+1. Montrer queIn 2n. En d duire1 3 (2n+1)2 4 (2n) 2 n .IndicationHCorrectionHVid o [002096]Exercice 11 SoitIn= 10xn1+ En majorant la fonction int gr e, montrer que limn + In= CalculerIn+In+ D terminer limn + (n k=1( 1)k+1k).IndicationHCorrectionHVid o [002097]4 Applications : calculs d aires, calculs de limitesExercice 12 Calculer l aire de la r gion d limit e par les courbes d quationy=x22ety=11+ o [002099]Exercice 13 Calculer l aire int rieure d une ellipse d quation :x2a2+y2b2= pourra calculer seulement la partie de l ellipse correspondant x>0,y>0.

5 Puis exprimeryen fonction dex. Enfin calculer une int o [006863]Exercice 14 Calculer la limite des suites suivantes 1 k=01k2+ k=1(1+k2n2)1nIndicationHCorrectionHVid o [002100]4 Indication pour l exercice 2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas int grables ?Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carr s desnpremiers entierset la somme d une suite g om trique. La formule g n rale pour les sommes de Riemann est que baf(x)dxestla limite (quandn + ) deSn=b ann 1 k=0f(a+kb an).Indication pour l exercice 3N1. Revenir la d finition de la continuit enx0en prenant =f(x0)2par Soitfest tout le temps de m me signe (et alors utiliser la premi re question), soit ce n est pas le cas (etalors utiliser un th or me ).

6 3. On remarquera que 10f(x)dx 12= 10(f(x) x) pour l exercice 5N1. Pour x2lnxdxposerv =x2,u= Pour xarctanxdxposerv =xetu= Pour les deux il faut faire une int gration par parties avecv = Pour cosxexpxdxil faut faire deux int grations par pour l exercice 6N1. cos1234xsinxdx= 11235cos1235x+c(changement de variableu=cosx)2. 1xlnxdx=ln|lnx|+c(changement de variableu=lnx)3. 13+exp( x)dx=13ln(3 expx+1)+c(changement de variableu=expx)4. 1 4x x2dx=arcsin(12x 1)+c(changement de variableu=12x 1)Indication pour l exercice 7N1. x+2x2 3x 4dx= 15ln|x+1|+65ln|x 4|+c(d composition en l ments simples)2. x 1x2+x+1dx=12ln|x2+x+1| 3 arctan(2 3(x+12))+c3. sin8xcos3xdx=19sin9x 111sin11x+c4. 1sinxdx=12ln 1 cosx1+cosx +c=ln tanx2 +c(changement de variableu=cosxouu=tanx2)5.

7 3 sinx2 cosx+3 tanxdx= 15ln|2 sinx|+75ln|1+2 sinx|+c(changement de variableu=sinx)Indication pour l exercice 8N1. 20xsinxdx=1 (int gration par partiesv =sinx,u=x)2. 10ex ex+1dx=2 e+1 2 2 ( l aide du changement de variableu=ex)3. 101(1+x2)2dx= 8+14(changement de variablex=tant,dx= (1+tan2t)dtet 1+tan2t=1cos2t)4. 103x+1(x+1)2dx=3 ln 2 1 (d composition en l ments simples de la forme3x+1(x+1)2= x+1+ (x+1)2)55. 212(1+1x2)arctanxdx=3 4(changement de variablesu=1xet arctanx+arctan1x= 2)Indication pour l exercice 9N 2011+sinxdx=1 (changement de variablest=tanx2). 20sinx1+sinxdx= 2 1 (utiliser la pr c dente).Indication pour l exercice 10N1. Faire une int gration par parties afin d exprimerIn+2en fonction deIn.

8 Pour le calcul explicite ondistinguera le cas desnpairs et Rappel :un vnest quivalent unvn 1. Utiliser la d croissance deInpour encadrerIn+ pour l exercice 11N1. Majorer On pourra calculer(I0+I1) (I1+I2)+(I2+I3) Indication pour l exercice 12 NUn dessin ne fait pas de mal ! Il faut ensuite r soudre l quationx22=1x2+1puis calculer deux int pour l exercice 13 NIl faut se ramener au calcul de a0b 1 pour l exercice 14 NOn pourra essayer de reconna tre des sommes de Riemann, puis calculer des int grales. Pour le produit com-poser par la fonction ln, afin de transformer le produit en une de l exercice 1N1. On trouve 40f(t)dt= +7. Il faut tout d abord tracer le graphe de cette fonction. Ensuite la valeur d uneint grale ne d pend pas de la valeur de la fonction en un point, c est- -dire ici les valeurs enx=0,x=1,x=2 n ont aucune influence sur l int grale.

9 Ensuite on revient la d finition de 40f(t)dt: pour lasubdivision de[0,4]d finie par{x0=0,x1=1,x2=2,x3=3,x4=4}, on trouve la valeur de l int grale(ici le sup et l inf sont atteints et gaux pour cette subdivision et toute subdivision plus fine). Une autrefa on de faire est consid rer quefest une fonction en escalier (en oubliant les accidents enx=0,x=1,x=2) dont on sait calculer l int C est la m me chose pour x0f(t)dt, mais au lieu d aller jusqu 4 on s arr te x, on trouveF(x) = xsi 06x613 2xsi 1<x624x 9si 2< Les seuls points discuter pour la continuit sont les pointsx=1 etx=2, mais les limites droite et gauche deFsont gales en ces points doncFest continue. Par contreFn est pas d rivable enx=1(les d riv es droite et gauche sont distinctes),Fn est pas non plus d rivable enx= de l exercice 2 NLes fonctions sont continues donc int grables !

10 1. En utilisant les sommes de Riemann, on sait que 10f(x)dxest la limite (quandn + ) de1n n 1k=0f(kn).NotonsSn=1n n 1k=0f(kn). AlorsSn=1n n 1k=0kn=1n2 n 1k=0k=1n2n(n 1)2. On a utilis que la somme desentiers de 0 n 1 vautn(n 1)2. DoncSntend vers12. Donc 10f(x)dx= M me travail : 21g(x)dxest la limite deS n=2 1n n 1k=0g(1+k2 1n) =1n n 1k=0(1+kn)2=1n n 1k=0(1+2kn+k2n2). En s parant la somme en trois nous obtenons :S n=1n(n+2n n 1k=0k+1n2 n 1k=0k2) =1+2n2n(n 1)2+1n3(n 1)n(2n 1)6. Donc la limite on trouveS n 1+1+13=73. Donc 21g(x)dx=7/3. Remarque : on autilis que la somme des carr s des entiers de 0 n 1 est(n 1)n(2n 1) M me chose pour x0h(t)dtqui est la limite deS n=xn n 1k=0g(kxn) =xn n 1k=0ekxn=xn n 1k=0(exn)k.