Folgen und Reihen - Mathesite

1 Folgen und Reihen Glege 03/01. In diesem Script werden folgende Themen behandelt: Folgen (Einf hrung) .. 1. Arithmetische Folgen .. 2. Geometrische Folgen .. 3. Monotonie .. 4. Konvergenz .. 5. Grenzwert .. 6. Schranken .. 7. Arithmetische Reihen .. 7. Geometrische Reihen .. 8. 9. L sungen der bungsaufgaben .. 11. Folgen (Einf hrung). Bei einer Folge bestehen die Elemente der Definitionsmenge (n) aus IN (Menge der nat rlichen Zahlen: 1, 2, ) und der Wertebereich (an) aus IR (rationale Zahlen). Die Folgeglieder <an>. entstehen durch Bildungsgesetze. n gibt die Nummer des Folgegliedes an. Das n-te Folgeglied hei t an , sein Vorg nger an-1 und sein Nachfolger an+1.

2 Beispiel: Das Bildungsgesetz sei <an> = <n2>. Da n IN (sprich: n ist Element aus IN), ergibt sich f r <an> die Folge der Quadratzahlen. f r n = 1 ergibt sich: a1 = 12 = 1. f r n = 2 ergibt sich: a2 = 22 = 4. f r n = 3 ergibt sich: a3 = 32 = 9. usw. Wertetabelle: n 1 2 3 .. an 1 4 9 .. Aufgabe 1). Bilde a1 bis a5 (die ersten 5 Folgeglieder) f r die folgenden Bildungsgesetze: 1. a) <an> = <2n> b) <an> = <2n 1> c) <an> =. n 1. Aufgabe 2). Bestimmen Sie aus den angegebenen Folgegliedern a1 bis a5 die Bildungsgesetze: a1 a2 a3 a4 a5. a) <an> 4 7 10 13 16. b) <an> 2 8 18 32 50. 1 2 3 4 5. c) <an>. 2 3 4 5 6. Arithmetische Folgen Bei arithmetischen Folgen ist die Differenz zweier benachbarter Folgeglieder konstant.

3 Es gilt: an+1 an = d (d = Differenz). Beispiel: <an> = < 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 .. >. +4 +4 +4 +4. Das n-te Folgeglied einer arithmetischen Folge wird errechnet, indem zum ersten Folgeglied (n 1)-mal die Differenz d hinzuaddiert wird. Skizze: Daraus ergibt sich ein allgemeines Bildungsgesetz f r arithmetische Folgen : an = a1 + (n 1) d 2. Aufgabe 3). Bestimmen Sie die fehlenden Gr en: an a1 n d a) 5 7 9. b) 27 4 8. c) 71 16 5. d) 69 9 21. Geometrische Folgen Bei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier benachbarter Folgeglieder konstant. a Es gilt n 1 q (q = Quotient). an Beispiel: <an> = < 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 .. >. 2 2 2 2. Das n-te Folgeglied einer geometrischen Folge wird errechnet, indem zum ersten Folgeglied (n 1)-mal der Quotient q hinzumultipliziert wird.

4 Skizze: Daraus ergibt sich ein allgemeines Bildungsgesetz f r geometrische Folgen : an = a1 qn-1. 3. Aufgabe 4). Bestimmen Sie die fehlenden Gr en: an a1 n q a) 3 4 2. b) 567 5 3. c) 245 5 7. d) 3,125 100 6. Monotonie Bei der Untersuchung auf Monotonie m chte man herausfinden, ob die Folgeglieder einer Folge stets steigen oder fallen. Es handelt sich dann um monoton steigende oder monoton fallende Folgen . Bei einer streng monotonen Folge d rfen zwei benachbarte Folgeglieder nicht den selben Wert haben. f r eine monoton steigende Folge gilt: an+1 an f r eine monoton fallende Folge gilt: an+1 an f r eine streng monoton steigende Folge gilt: an+1 > an f r eine streng monoton fallende Folge gilt: an+1 an Beispiel: n2 1.

5 Berpr ft wird die Folge <an> = < > auf die Eigenschaft streng monoton steigend . n an+1 > an (n 1) 2 1 n 2 1. | (n + 1) n n 1 n (n 1) 1 n (n 1) (n 1). 2 2. n 2n 1 1 n n n n 1. 2 3 2. n3 2n 2 n3 n 2 n 1 | n3 n2 + n + 1. n2 n 1 0. Diese Aussage stimmt f r alle n , d. h. die Folge ist streng monoton steigend. Aufgabe 5). 1. a) Ist die Folge <an> = < > streng monoton fallend? n 1. n2. b) Ist die Folge <an> = < > monoton steigend? 2n 2. 4. Konvergenz Der Konvergenznachweis best tigt die Annahme eines Grenzwertes g. Dazu bestimmt man einen Bereich um den Grenzwert ( -Umgebung). Wenn die Annahme stimmt, m ssen ab einem bestimmten n alle weiteren Folgeglieder innerhalb der -Umgebung liegen.

6 Skizze: Beispiel: n berpr ft wird, ob die Folge <an> = < > den Grenzwert g = 1 hat. Dazu wird eine n 1. -Umgebung von = 0,01 angenommen. Gesucht wird nun das n , ab dem alle weiteren Folgeglieder an in der -Umgebung liegen. Dazu muss gelten: an g | g an g . n 1 0,01 | Betrag, falls sich die Folge aus dem negativen Bereich dem n 1. Grenzwert n hert n n 1. 0,01. n 1 n 1. n (n 1). 0,01. n 1. 1. 0,01 | Kehrwert bilden (Ungleichheitszeichen dreht sich um!). n 1. n 1 100 | Betragstriche sind nicht notwendig, da n+1 positiv ist n 99. Ab dem 100. Folgeglied liegen alle weiteren in der -Umgebung. Aufgabe 6). Nehmen Sie f r die folgenden Aufgaben eine -Umgebung von = 0,01 an und berechnen jeweils das n.

7 1. a) Zeigen Sie, dass die Folge <an> = < > den Grenzwert g = 0 hat. n 1. n2 1. b) Zeigen Sie, dass die Folge < an > = < 2 > den Grenzwert g = hat. 2n 2 2. 1. c) Zeigen Sie, dass die Folge < an > = < n > den Grenzwert g = 0 hat. 3. 5. Grenzwert Bei der Grenzwertuntersuchung m chte man herausfinden, ob die Folgeglieder einer Folge sich einem Wert ann hern (konvergentes Verhalten = hat einen Grenzwert) oder ob sich die Werte ins Unendliche bewegen (divergentes Verhalten = hat keinen Grenzwert). gibt es einen Grenzwert g, so gilt: lim an g n . gibt es keinen Grenzwert g, so gilt: lim an oder . n . Der Grenzwert kann ein beliebiger Wert sein. Ist der Grenzwert Null, so spricht man von einer Nullfolge.

8 Das lim steht f r Limes (lat. Grenze) und bedeutet, dass in Gedanken ein unendlich gro er Wert f r n in das Bildungsgesetz der Folge einzusetzen ist. Beispiel: 2n 6. Gesucht wird der Grenzwert der Folge <an> = < > . Dazu wird der Grenzwert f r n gegen n 2. Unendlich gebildet. Bei Br chen werden alle Summanden des Z hlers und des Nenners durch die h chste Nennerpotenz dividiert. Nach dem K rzen entstehen Konstanten und Nullfolgen (Br che mit n im Nenner). 2n 6 6 . 2 . 2n 6 . lim = lim n n = lim n = 2 0 = 2.. n n 2. n n 2 n 1 2 1 0.. n n n . Diese Folge hat den Grenzwert g = 2 . Mit wachsendem n n hern sich die Folgeglieder immer mehr dem Wert 2. Beispiel: n 1.

9 1 . Gesucht wird der Grenzwert der Folge <an> = < > . Dazu wird der Grenzwert f r n gegen 2 . Unendlich gebildet. Ist n ein Exponent, wird der Ausdruck so umgeformt, dass ein konvergentes oder divergentes Verhalten zu erkennen ist. 1 n .. n 1. 1 n . 1 2 2 = lim 2 1 = lim 2n = 0. n lim = lim = lim . n 2 n 1 n 2 n 2 n n 2 .. 2 .. Hier handelt es sich um eine Nullfolge (Grenzwert g = 0) . Mit wachsendem n n hern sich die Folgeglieder immer mehr dem Wert Null. Aufgabe 7). Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen (falls vorhanden): n 1 3n 3 . a) <an> = < > b) <an> = < > c) <an> = < >. n 1 2n 2 4 . 6. Schranken Eine Schranke ist ein Wert, der von einer Folge nicht unter- oder berschritten wird.

10 Bei konvergenten Folgen n hern sich die Folgeglieder immer mehr dem Grenzwert, der dann auch gleichzeitig eine Schranke ist. Bei alternierenden Folgen kann es zwei Schranken geben, zwischen denen die Folgeglieder pendeln. Beispiel: Die Glieder der alternierenden Folge <an> = < 1 > pendeln st ndig zwischen 1 und +1. n Dieses sind sogenannte H ufungspunkte der Folge. Diese Folge konvergiert nicht. Sie hat zwei Schranken bei s1 = 1 und s2 = +1, die nie unter- bzw. berschritten werden. Skizze: Rechnerisch zeigen wir mit der Behauptung, es g be Werte, die kleiner als 1 sind, dass s1 eine untere Schranke ist: ( 1) n 1. Da ( 1) n nur die Werte +1 und 1 annehmen kann, ist die Behauptung falsch, d.