FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1

1 FONCTIONS DE CLASSE C1 La notion de classe1 Cpour une fonction QXPpULTXH G XQH YDULDEOH UpHOOH est pr sente en analyse ( tude de FONCTIONS num riques une variable r elle, int grations par parties) et en probabilit s ( fonction de UpSDUWLWLRQ G XQe variable al atoire densit ). $ O DLGH de plusieurs exercices, nous allons travailler cette notion. Ces exercices nous permettront GH WUDYDLOOHU OHV IRQGDPHQWDX[ GH O DQDO\VH (continuit , d rivabilit , limites, d riv es). Cours 1) D finition Une fonction num riquefG XQH YDULDEOH UpHOOH G finie sur un intervalleIest dite de CLASSE 1 Csi elle est d rivable sur cet intervalle et si sa d riv e'fest continue sur cet intervalle. 2) Propri t s a) Si fetgsont deux FONCTIONS de CLASSE 1 Csur un intervalleIalors les FONCTIONS fg etfgusont de CLASSE 1 CsurI Si de plusgQH V DQQXOH SDU VXUI, alorsfgest de classe1 CsurI. b) Si fest une fonction de CLASSE 1 Csur un intervalleIet si gest une fonction de classe1 Csur un intervalleJFRQWHQDQW O LQWHUYDOOH fI ,alors la fonction gffest de classe1 CVXU O LQWHUYDOOHI Remarque.]

2 La fonction f tant de CLASSE 1 CVXU O LQWHUYDOOHI, elle est d rivable donc continue sur cet intervalle. FONCTIONS DE CLASSE C1/ LPDJH G XQ LQWHUYDOOH SDU XQH IRQFWLRQ FRQWLQXH HVW XQ LQWHUYDOOH (th or me des valeurs interm diaires), on peut donc affirmer que fIest un intervalle. Exercice 1 On consid re la fonction num riquefde la variable r ellextelle que 0 si 0 sinon lnxfxxx 1) 'RQQHU O HQVHPEOH GH GpILQLWLRQ GH OD IRQFWLRQf. 2) La fonctionf est-elle d rivable en 0 ? 3) Justifier que la fonctionfest de classe1 Csur >>0,1. 4) Dresser le tableau des variations de la fonction f. (On y fera appara tre les diff rentes limites et la valeur de fe) On consid re la suitevtelle que 03v et 1,lnnnnvnvv 1,lnnv,n 1nv,n 5) Montrer que,nnve t,nve,ntv,n. 6) Justifier que la suite vconverge et d terminer sa limite. Correction 1. lnxxexiste si et seulement si 0x!et ln0xz. lnxxexiste si et seulement si 0x!

3 Et 1xz. 0fexiste donc la fonctionfest d finie sur>>@ >0,11, f@>1,@ f 2. Pour@> 001ln0,1 ,00lnxxfx fxxxxxo o puisque0lim lnxxo f La fonctionfest donc d rivable en 0 et '0 0f FONCTIONS DE CLASSE C110 3. La fonctionfest de classe1 Csur@>0,1et sur@>1, fcomme quotient de FONCTIONS de classe1 CGRQW OH GpQRPLQDWHXU QH V DQQXOH SDV VXU@>0,1 et sur@>1, f. Pour tablir le caract re 1 Cde la fonctionfsur chaque intervalle ouvert on utilise les th or mes g n raux rappel s en d but de chapitre. @>@ > 22211lnln1110,11,, 'ln(ln )lnlnxxxxxfxxxxxu u f 0lim lnxxo fdonc 01lim0lnxxo et 201lim0lnxxo Finalement 0lim '0' 0'xfxffo continue en 0. La fonction fest de CLASSE 1 Csur>>0,1. 4. @>@ > 221ln1ln10,11,, 'lnlnxxxxxfxxxu u f est du signe de ln1x : ln1 0ln1xxxe ln1 0ln1xxxe ! ! ! La fonctionfest d rivable donc continue en 0 : 0lim00xfx fo . 111lim1limlim ln0xxxxfxx o oo f 111lim1limlim ln0xxxxfxx o oo f 11 FONCTIONS DE CLASSE C1lnlim0xxx o f (Limite usuelle) limxfxo f f x 0 1 e f 'fx - - 0 + fx 0 f f f e 5.

4 Montrons le r sultat par r currence. On note :nPn v et Initialisation :03ve t , puisque |. H r dit : on suppose que pour un0nt, nvet et on veut montrer que 1nve t. Si nvet, alors 1nnfvvfe e t car la fonctionfest croissante sur >>,e f. Conclusion : ,nnve t,nve,ntv,n 6. 11ln,lnlnnnnnnnnnvvnvvvvvv u,nn1n1v,nvv1,nn1 10ln11 ln00ln1 0nnnnnnnnveve vvv vve v t! t t d d t t! La suite nvest d croissante et minor e par e : elle converge vers un r elLet. 1lnnnnvvv . On passe la limite quand ntend vers f : lnLLL car la fonctionlnest continue en Let. On a donc ln01 ln00lnLLLLLLLLL ou Le . CommeLet, on a Le : la suite nvconverge vers e. FONCTIONS DE CLASSE C112 Exercice 2 Soit f O DSSOLFDWLRQ GpILQLH VXU par : 21si00si 0xexfxxx z 1. Montrer que f est impaire et continue sur. 2. Montrer que f est de CLASSE 1 Csur . 3. Donner le tableau des variations de f. 4. (Q GpGXLUH O H[LVWHQFH G XQH DSSOLFDWLRQ UpFLSURTXH GH f impaire.)]

5 Correction 1. La fonctionfest d finie sur intervalle sym trique par rapport 0 donc ,xx ,x , x ,. 2211 si 00 si 0xxeexfxfxxxx z : f est impaire La fonction 21xxe 21xe est continue sur comme compos e et diff rence de FONCTIONS continues sur, par cons quent la fonctionfest continue sur @>,0 fet sur @>0, fcomme quotient de FONCTIONS continues dont le GpQRPLQDWHXU QH V DQQXOH SDV VXU FKDFXQ GH FHV LQWHUYDOles. Continuit en 0 : 220011xxexe x 22001xx1 xe, on a donc 2000limlim00xxxfxxfxxfxoo 20xx0xxce qui assure la continuit de la fonctionfen 0. Conclusion : la fonctionfest continue sur 2. La fonction 21xxe 21xe est de CLASSE 1C sur comme compos e et diff rence de FONCTIONS de classe1 Csur, par cons quent la fonctionfest de CLASSE 1 Csur @>,0 fet sur @>0, fcomme quotient de FONCTIONS de CLASSE 1 CGRQW OH GpQRPLQDWHXU QH V DQQXOH SDV VXU FKDFXQ GH FHV LQWHUYDOOHs. 13 FONCTIONS DE CLASSE C1 Etude en 0 a) D rivabilit en 0 Pour 22000010,1lim100xxfx ffx fexxxxo z 00001li1li1lim00.

6 La fonctionf est donc d rivable en 0 et '0 1f . b) Continuit de 'f en 0. @>@> 222222211211,00,, 'xxxxe xeexxfxxx f f Pour x au voisinage de 0, 1xexox donc 2221xexox 2222222202111211xe xxox xxox x 20x , et donc 220'1xfxx 22012xx. Finalement 0lim '1' 0xfxfo : la fonction 'fest continue en 0. Les conclusions de D HW E SHUPHWWHQW G DIILUPHU TXH : La fonction fest de CLASSE 1 Csur Pour tablir le caract re 1 Cde la fonctionfsur@>,0 fet sur @>0, fon utilise les th or mes g n raux rappel s en d but de chapitre. Pour tablir le caract re 1 Cde la fonctionfsur, on traite le SUREOqPH ORFDO HQ HQ UHYHQDQW j OD GpILQLWLRQ G XQH IRQFWLRQ GH CLASSE 1C. Les tudes de limites n cessaires la r solution du probl me se font ventuellement j O DLGH G pTXLYDOHQWV HW VL QpFHVVDLUH j O DLGH GH Gpveloppements limit s. 3. Pour 0, 'xfxz est du signe de 22211xgx ex Cherchons donc le signe de gx. La fonction gest d rivable sur comme compos e, produit et diff rence de FONCTIONS d rivables sur.

7 22222,'22 1442 4xxxxgxxex exxex ' gx , ' ,'' 22,'(2 4 )xxgxxe x ' gx , ' ,'' : 'gxest du signe de x. FONCTIONS DE CLASSE C114 La fonction g est donc d croissante sur @@,0 fet croissante sur >>0, f : elle admet un minimum absolu en 0 qui vaut 00g . Conclusion : la fonction gest positive sur et strictement positive sur **. Revenons f. Pour 0, '0xfxz! , or '0 1f donc ,'0xfx ! f , f ' ,' : la fonctionfest strictement croissante sur. Limites j O LQILQL 22221110,xxxeeexfxxxxxxx z u 2222limlimlimlimxxxAxxAxexeexAxo fo fo fo f f u f f (en posant2Ax ) Comme1lim0xxo f , il vient : limxfxo f f. limlimxXfxf Xo fo f (en posantXx HW GRQF HQ XWLOLVDQW O LPSDULWp de la fonctionf, il vient : limlimxXfxfXo fo f f . x f 0 +f 'fx - + ()fx +f f 4.)

8 La fonction f est continue et strictement croissante sur : la fonction fest une bijection desur f . La fonction fadmet donc une bijection r ciproque 1f d finie sur avec 1f . 1fxyf y y 15 FONCTIONS DE CLASSE C1 Montrons que 1f est impaire. On a : ,yy y , y ,. 1fyxyfx 1fyx y fx 1fyx yfx , car f est impaire 11fyx f y x Finalement 11fyxfy : 1f est impaire. La fonctionfadmet donc une bijection r ciproque 1f impaire Exercice 3 Soit la fonctionfd finie sur>@0,1par : @> ln si 0,1100 et 11xxxfxxff 1. Etudier la continuit de la fonctionf sur 2. La fonction fest-elle de CLASSE 1C sur>@0,1 ? 3. Dresser le tableau des variations de la fonction fsur Correction 1. La fonction lnxxx lnxx lnest continue sur @@0,1comme produit de FONCTIONS continues sur@@0,1, par cons quent la fonctionfest continue sur @>0,1cRPPH TXRWLHQW GH IRQFWLRQV FRQWLQXHV GRQW OH GpQRPLQDWHXU QH V DQQXOH SDV sur O LQWHUYDOOH Continuit en 0 000lim ln( ) 0 limite usuelle0lim001lim11xxxxxfxfxooo , Donc fest continue en 0.

9 Continuit en 1 11ln( )1xxfxx 11 xfxx 11 1 1 1 ; 1lim11xfxfo ; doncfest continue en 1. FONCTIONS DE CLASSE C116